方程、不等式与变量关系

数学· 2.5, 2.6, E2.8· 25 分钟阅读

1. 核心内容：线性方程与公式主元变换★★☆☆☆⏱ 6 min

线性方程是未知变量最高次幂为1的代数表达式。你需要能够从文字题中构造线性方程，也要求解出未知变量的值。

📘 定义

线性方程

形式为 $a x + b = c$ 的方程，其中 $a, b, c$ 为常数且 $a \neq = 0$ ，变量的指数不超过1。

📐 例题

求解 $3 x + 7 = 22$

1
两边同时减去7，分离含 $x$ 的项：
$3x = 22 - 7 = 15$
2
两边同时除以3，解出 $x$ ：
$x = \frac{15}{3} = 5$
3
将结果代回原方程验算： $3 (5) + 7 = 22$ ，结果正确。

核心层级的公式主元变换仅要求单步变形，不需要嵌套运算或多步调整。

📐 例题

将公式 $y = 4 x + 9$ 变换为以 $x$ 为主元的形式

1
两边同时减去9，分离含 $x$ 的项：
$y - 9 = 4x$
2
两边同时除以4，完成主元变换：
$x = \frac{y - 9}{4}$

Exam tip:

即使你可以心算出方程的解，也要写出每一步变形过程才能拿到全部分数。

2. 核心内容：线性联立方程与表示不等式★★★☆☆⏱ 7 min

线性联立方程是包含两个未知量的成对方程，求解得到同时满足两个方程的变量值。你可以使用消元法或代入法，选择对当前题目更简便的方法即可。

📐 例题

求解联立方程组： $2 x + y = 7$ 和 $x - 2 y = 6$

1
将第一个方程两边乘以2，对齐 $y$ 的系数以便消元：
$4x + 2y = 14$
2
将调整后的第一个方程与第二个方程相加，消去 $y$ ：
$5x = 20 \implies x = 4$
3
将 $x = 4$ 代回第一个原方程，求出 $y$ ：
$2(4) + y =7 \implies y = -1$
4
将解代入第二个方程验算： $4 - 2 (- 1) = 6$ ，结果正确。最终解为 $x = 4, y = - 1$ 。

线性不等式使用 $<, >, \leq, \geq$ 比较两个表达式。核心层级只需在数轴上表示和解读给定的不等式：严格不等式（ $<$ 或 $>$ ）用空心圆圈，包含边界的不等式（ $\leq$ 或 $\geq$ ）用实心圆圈，再把满足条件的数值涂色。（构造和求解线性不等式属于拓展内容。）

📐 例题

在数轴上表示 $- 2 < x \leq 3$ ，并列出满足条件的整数 $x$ 。

1
在 $- 2$ 处画空心圆圈（严格 $<$ ，不包含），在 $3$ 处画实心圆圈（ $\leq$ ，包含）。
2
将两圆圈之间的线段涂色，表示所有满足 $- 2 < x \leq 3$ 的数值。
3
读出这个范围内的整数：
$-1, 0, 1, 2, 3$

Exam tip:

求出联立方程的解后，一定要把解代回两个原方程验算，在继续答题前先排查计算错误。

3. 拓展内容：含分数项的方程与二次方程★★★★☆Extended 专属⏱ 7 min

拓展层级要求求解含分数或代数分母的方程，以及使用三种方法求解二次方程：因式分解、配方法、二次公式。

📘 定义

二次方程

形式为 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的方程，其中 $a \neq = 0$ ， $x$ 的最高次幂为2。

📐 例题

求解含分数项的方程： $\frac{x + 2}{3} + \frac{x - 1}{2} = 4$

1
所有项乘以6（3和2的最小公倍数）消去分母：
$2(x+2) + 3(x-1) = 24$
2
展开并化简左侧：
$2x +4 + 3x -3 = 5x +1 = 24$
3
变形并求解 $x$ ：
$5x = 23 \implies x = 4.6$

📐 例题

使用二次公式求解 $2 x^{2} - 3 x - 7 = 0$ ，结果保留两位小数。

1
从标准二次形式中识别参数 $a = 2$ ， $b = - 3$ ， $c = - 7$ 。
2
代入二次公式 $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ ：
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-7)}}{2(2)}$
3
计算判别式并化简：
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 56}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{65}}{4}$
4
计算两个解： $x \approx 2.77$ 或 $x \approx - 1.27$

Exam tip:

当题目要求二次方程的精确解时，除非明确说明，否则不要把无理数计算为小数，最终答案保留根式形式。

4. 拓展内容：混合联立方程、不等式区域与比例★★★★☆Extended 专属⏱ 5 min

拓展层级学生需要构造并求解线性不等式（记住乘以或除以负数时要翻转不等号方向），求解一个线性方程加一个非线性方程（例如二次方程）的联立方程组，在坐标网格上将不等式表示为涂色区域，以及求解正比例和反比例问题。

📐 例题

求解 $5 - 2 x \leq 13$ 并在数轴上表示解集。

1
两边同时减去5：
$-2x \leq 8$
2
两边同时除以-2，翻转不等号方向：
$x \geq -4$
3
在数轴上-4的位置画实心圆圈，将-4右侧的所有数值涂色，表示解集。

📐 例题

求解联立方程组： $y = x + 1$ 和 $y = x^{2} - 3 x + 4$

1
将线性表达式中的 $y$ 直接代入二次方程：
$x + 1 = x^2 -3x +4$
2
整理为标准二次形式：
$x^2 -4x +3 = 0$
3
因式分解并求解 $x$ ：
$(x-1)(x-3) = 0 \implies x=1 \text{ or } x=3$
4
代回线性方程求出对应的 $y$ 值：最终解为 $(1, 2)$ 和 $(3, 4)$ 。

正比例指一个量随另一个量的增大而增大，记作 $y \propto x$ ，因此 $y = k x$ 。反比例指一个量随另一个量的增大而减小，记作 $y \propto \frac{1}{x}$ ，因此 $y = \frac{k}{x}$ ，其中 $k$ 是比例常数。

📐 例题

$y$ 与 $x$ 成反比例。当 $y = 6$ 时， $x = 4$ 。求当 $x = 8$ 时 $y$ 的值。

1
写出反比例公式：
$y = \frac{k}{x}$
2
代入已知值求解 $k$ ：
$6 = \frac{k}{4} \implies k = 24$
3
代入 $x = 8$ 和 $k$ 的值求出 $y$ ：
$y = \frac{24}{8} = 3$

Exam tip:

在坐标网格上给不等式区域涂色时，一定要明确标注出要求的区域，避免因为涂错直线的一侧失分。

5. 常见陷阱

错误做法:

乘以/除以负数时忘记翻转不等号方向

原因:

违反不等式基本规则，得到的解集与正确结果完全相反

正确做法:

每当你给不等式两边同时乘以或除以一个负值时，立刻翻转不等号的方向

错误做法:

核心层级学生尝试用代数方法求解二次方程

原因:

二次方程完全属于拓展层级内容，核心层级题目永远不会要求这项技能，只会浪费时间并导致不必要的错误

正确做法:

核心层级学生只需要学习线性相关内容，做混合层级的练习题时跳过拓展层级的二次方程题

错误做法:

求解混合联立方程组时把非线性方程代入线性方程

原因:

会导致代数运算不必要的复杂，大幅提升计算错误的概率

正确做法:

永远把线性表达式直接代入非线性方程，简化问题

错误做法:

在数轴上表示 $\leq$ 或 $\geq$ 不等式时使用空心圆圈

原因:

表示边界值不属于解集，而实际上边界值应该被包含在内

正确做法:

$\leq / \geq$ 使用实心圆圈，只有 $< / >$ 使用空心圆圈

错误做法:

混淆正比例和反比例公式，把反比例写成 $y = k x$

原因:

会算出错误的比例常数，最终答案也完全错误

正确做法:

记住反比例使用 $\frac{1}{x}$ ，即 $y = \frac{k}{x}$ ，而正比例使用 $y = k x$

6. 速查表

概念	核心层级要求	拓展层级要求
线性方程	构造并求解 $a x + b = c$	求解含分数/代数分母的线性方程
联立方程	求解两个线性方程组成的方程组	求解一个线性加一个非线性的联立方程组
公式变形	仅要求单步变形	多步变形（独立知识点）
不等式	在数轴上表示和解读	构造并求解线性不等式；表示为二维坐标区域
二次方程	不要求掌握	通过因式分解、配方法、二次公式求解，给出根式形式的精确解
比例	不要求掌握	求解正比例与反比例问题，计算比例常数 $k$

7. 常见问题

核心层级的学生需要学习二次方程吗？

不需要，二次方程的代数求解完全属于拓展层级内容。核心层级学生的考试中不会出现要求因式分解或使用二次公式的题目。

如果我给不等式两边乘以负数，必须翻转不等号方向吗？

是的，每当你给不等式两边同时乘以或除以一个负值时，必须立刻翻转不等号的方向，才能保证不等式仍然成立。

所有二次方程题都可以用二次公式求解吗？

是的，二次公式适用于所有有解的二次方程，不过对于形式简单的表达式，如果你能快速因式分解，解题速度通常会更快。

深入阅读

下一步

现在你已经掌握了CIE IGCSE数学0580要求的方程、不等式与变量关系全部内容，可以继续学习更进阶的代数知识点。核心层级学生接下来可以学习绘制和解读线性图像，这是线性方程技能的直接延伸。拓展层级学生可以把二次方程知识应用到二次函数绘图，同时挑战更复杂的代数运算题目。使用分层级的历年真题练习，巩固知识点，在考试前排查所有知识漏洞。