# 微分

> CIE IGCSE 数学 · 0580 (2025-2027)
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0580-u2-differentiation/

本指南涵盖CIE IGCSE 数学0580拓展考试要求的全部微分内容，包括正整数次幂多项式求导、使用斜率函数、求解和分类驻点。

**先修:** [直线的斜率](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0580-u2-straight-line-graphs/); [多项式化简](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0580-u2-polynomials/)

## 学习目标

- 对形式为 $ax^n$（n为正整数或0）的项以及最多3个此类项的和进行求导
- 将导数理解为曲线在任意点处的斜率函数
- 计算多项式函数驻点的坐标
- 使用一阶或二阶导数检验将驻点分类为极大值点或极小值点

## 对$ax^n$项的基础求导

**微分幂法则** — 对于项 $f(x) = ax^n$，其中a为常数，n为正整数或0，导数为 $f'(x) = nax^{n-1}$。任意常数的导数（对应n=0，即$x^0=1$）为0。

对最多3个$ax^n$项的和求导时，对每一项单独求导再将结果相加即可。本教学大纲不要求使用链式法则、乘积法则、商法则等额外规则。

**例题:** 对 $f(x) = 3x^2 + 5x + 7$ 求导

1. 对第一项$3x^2$求导：

   $$2 \times 3x^{2-1} = 6x$$
2. 对第二项$5x$求导：

   $$1 \times 5x^{1-1} = 5 \times 1 = 5$$
3. 对常数项7求导：导数=0
4. 合并结果：

   $$f'(x) = 6x + 5$$

> **考试提示:** 在乘以原指数后，一定要确认你已经将幂次减1，这是基础求导题中最常见的失分错误。

*计算器:* forbidden

## 作为斜率函数的导数

函数$f(x)$的导数被称为斜率函数。如果你将x的取值代入$f'(x)$，就可以得到曲线$y=f(x)$在该x坐标处的精确斜率，该值可用于求解切线或法线的方程。

**例题:** 求曲线$y = 2x^3 - 4x + 1$在$x=2$处的斜率

1. 对函数求导得到斜率函数：

   $$\frac{dy}{dx} = 6x^2 - 4$$
2. 将$x=2$代入导数：

   $$6(2)^2 - 4 = 6 \times 4 - 4 = 20$$
3. 曲线在$x=2$处的斜率为20

> **tip**
>
> 如果题目要求你求曲线的切线方程，在从原函数求出对应y值后，使用计算得到的斜率代入直线公式$y - y_1 = m(x - x_1)$即可。

*计算器:* allowed

## 求解驻点

**驻点** — 曲线上斜率为零（$f'(x) = 0$）的点。曲线在该点的切线是水平的，因此它是函数的局部极大值点或局部极小值点。

要求解驻点，首先计算函数的导数，令导数等于零并求解x。将得到的x值代回原函数，即可得到该点对应的y坐标。

**例题:** 求$y = x^2 - 4x + 3$的驻点坐标

1. 计算一阶导数：

   $$\frac{dy}{dx} = 2x - 4$$
2. 令导数等于零并求解x：

   $$2x - 4 = 0 \implies x = 2$$
3. 将$x=2$代回原函数求y值：

   $$y = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$
4. 驻点坐标为$(2, -1)$

*计算器:* allowed

## 对驻点进行分类

你可以使用教学大纲认可的两种方法之一将驻点分类为极大值点或极小值点：斜率符号检验，或二阶导数检验。

**方法对比**

根据题目选择最快捷的方法：

- **斜率符号检验** — 计算驻点x坐标略小于和略大于位置处的$f'(x)$值。如果斜率从正变负：该点为极大值点。如果斜率从负变正：该点为极小值点。
  - 优点: 不需要额外求导
  - 缺点: 需要多次计算

- **二阶导数检验** — 对$f'(x)$求导得到二阶导数$f''(x)$。代入驻点的x值：如果$f''(x) < 0$则为极大值点，如果$f''(x) > 0$则为极小值点。
  - 优点: 速度快，求出二阶导数后仅需一次计算
  - 缺点: 需要两次求导

**例题:** 对函数$y = x^2 - 4x + 3$的驻点$(2, -1)$进行分类

1. 一阶导数为$\frac{dy}{dx} = 2x - 4$，计算二阶导数：

   $$\frac{d^2y}{dx^2} = 2$$
2. 将$x=2$代入二阶导数：$f''(2) = 2$，结果为正
3. 结论：该驻点是极小值点

> **考试提示:** 在你的考试中，二阶导数检验几乎永远是处理多项式函数最快的方法，因此优先掌握该方法以节省答题时间。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 求导时忘记将幂次减1，例如将$3x^2$的导数写为$6x^2$
  - 原因: 你记错了幂法则的操作顺序
  - 正确做法: 始终应用规则$\frac{d}{dx}(ax^n) = nax^{n-1}$，在乘以原指数后记得将指数减1
- **错误做法:** 将常数项的导数写为常数本身，例如7的导数写为7
  - 原因: 你对$x^0$项误用了幂法则
  - 正确做法: 记住任意常数的导数永远是0，因为$0 \times ax^{-1} = 0$
- **错误做法:** 计算某点斜率时将x代入原函数而非导数
  - 原因: 你混淆了给出y坐标的原函数和给出斜率的斜率函数
  - 正确做法: 使用$f'(x)$进行斜率计算，仅使用$f(x)$求点的y坐标
- **错误做法:** 混淆二阶导数检验的结果，例如误以为正的$f''(x)$对应极大值点
  - 原因: 你搞反了符号的含义
  - 正确做法: 使用助记口诀：正=开心U型曲线（极小值），负=难过∩型曲线（极大值）
- **错误做法:** 对组合项尝试使用链式/乘积/商法则
  - 原因: 你不必要地超出了教学大纲的范围
  - 正确做法: 所有考试中的函数都是$ax^n$项的简单和，对每一项单独求导即可

## 速查表

| 任务 | 关键步骤 | 规则/公式 |
| --- | --- | --- |
| 对$ax^n$求导 | 乘以n，指数减1 | $\frac{d}{dx}(ax^n) = nax^{n-1}$ |
| 求$x=k$处的斜率 | 1. 对$f(x)$求导得到$f'(x)$ 2. 代入$x=k$ | $m = f'(k)$ |
| 求驻点 | 1. 令$f'(x)=0$，求解x 2. 将x代入$f(x)$求y | $f'(x) = 0$ |
| 用二阶导数分类驻点 | 1. 对$f'(x)$求导得到$f''(x)$ 2. 代入驻点x值 | $f''(x) >0$ = 极小值，$f''(x) <0$ = 极大值 |

## 下一步

在你掌握CIE IGCSE 0580拓展内容的微分知识后，你可以应用这些技能求解优化问题，即使用极大值和极小值来找到某个量的最优值（例如固定周长下形状的最大面积）。你还会遇到结合坐标几何的微分题，要求你求曲线的切线和法线方程。请务必练习该主题的历年真题，熟悉常见的考试表述并避开上述列出的常见陷阱。

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