集合与维恩图

Q: 核心卷考试需要学习集合构造式记法吗？

需要，集合构造式记法在核心卷和拓展卷考试中都会使用，例如 {x : x 是12的因数} 定义了所有12的因数构成的集合。

Q: 考试最多会考察几个集合？

核心卷考试最多只考察2个集合。拓展卷可能考察最多3个集合，这类题目经常和概率题结合出现。

Q: 我可以在答案中使用真子集符号 ⊂ 吗？

不可以，CIE 0580仅接受 ⊆ 和 ⊈ 作为子集记法，使用真子集符号 ⊂ 不会得分。

数学· 1.2· 12 分钟阅读

1. 核心内容：集合记法与双集合维恩图★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

集合

由共享规则或明确列表定义的不同项（称为元素）的集合。集合构造式记法常用来简洁地定义集合。

例:

$A = {2, 4, 6, 8} = {x : x 是小于 10 的偶数}$

核心内容涵盖5个关键符号： $E$ （全集，问题中的所有元素）、 $A^{'}$ （A的补集，所有不属于A的元素）、 $\cap$ （交集，同时属于两个集合的元素）、 $\cup$ （并集，属于任意一个集合的元素）和 $n (A)$ （集合A的元素个数）。

📐 例题

已知 $E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}$ ， $A = {x : x 是 2 的倍数}$ ， $B = {x : x 是 3 的倍数}$ 。写出 $A \cap B$ 和 $A \cup B^{'}$ 的所有元素。

1
首先列出每个集合的元素： $A = {2, 4, 6, 8, 10}$ ， $B = {3, 6, 9}$ ，因此 $B^{'} = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}$
2
$A \cap B$ 是A和B的重叠部分：只有6同时属于两个集合，因此 $A \cap B = {6}$
3
$A \cup B^{'}$ 合并所有属于A或B'的元素： ${1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10}$

Exam tip:

核心卷考试最多只考察2个集合，如果你只参加第1和第3卷考试，可以跳过仅面向拓展内容的章节。

2. 核心内容：维恩图涂色与区域描述★★☆☆☆⏱ 3 min

维恩图用矩形表示全集，用圆形表示每个定义的集合。重叠区域代表集合的交集，圆形外的区域代表补集。

📐 例题

a) 在双集合维恩图上涂色表示 $A \cap B^{'}$ 对应的区域。b) 写出覆盖所有不在A或B内的区域的涂色区域对应的集合记法。

1
对于(a)部分：首先确定 $B^{'}$ ，即B圆外的所有区域。该区域与A圆的重叠部分就是A中不与B重叠的部分：仅给这一区域涂色。
2
对于(b)部分：不在A或B内的区域是A和B并集的补集，因此记法为 $(A \cup B)^{'}$ （等价形式为 $A^{'} \cap B^{'}$ ）。

Exam tip:

正确写出涂色区域对应的集合记法得1分，补集遗漏或并集/交集符号误用都不会给部分分，所以请务必仔细检查答案。

3. 拓展内容：额外集合记法与三集合维恩图★★★☆☆Extended 专属⏱ 3 min

📘 定义

拓展集合符号

拓展内容新增5个符号： $\in$ （属于元素）、 $\in /$ （不属于元素）、 $\emptyset$ （空集，无元素）、 $\subseteq$ （是子集）、 $⊈$ （不是子集）。

例:

若 $A = {1, 2, 3}$ ，则 $2 \in A$ 成立； $\emptyset \subseteq$ 所有集合； ${1, 2} ⊈ {2, 3, 4}$

📐 例题

已知 $E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}$ ， $C = {x : x 是 12 的因数}$ ， $D = {x : x 是质数}$ 。判断以下命题的对错：a) $5 \in C$ ，b) $\emptyset \subseteq D$ ，c) ${2, 3} \subseteq C \cap D$ 。

1
首先列出所有集合： $C = {1, 2, 3, 4, 6}$ ， $D = {2, 3, 5, 7}$ ， $C \cap D = {2, 3}$
2
a) 5不在C中，因此错误。
3
b) 空集是所有集合的子集，因此正确。
4
c) ${2, 3}$ 的所有元素都属于 $C \cap D$ ，因此正确。

📐 例题

对50名学生进行调查：25人踢足球，22人打网球，18人打曲棍球，10人同时踢足球和打网球，7人同时踢足球和打曲棍球，6人同时打网球和打曲棍球，3人三项运动都参加。请问有多少学生不参加任何运动？

1
从维恩图最内层的交集开始填充：3名学生参加所有三项运动。
2
计算仅属于两个集合的区域：仅足球+网球 = $10 - 3 = 7$ ，仅足球+曲棍球 = $7 - 3 = 4$ ，仅网球+曲棍球 = $6 - 3 = 3$ 。
3
计算仅参加单项运动的区域：仅足球 = $25 - 7 - 4 - 3 = 11$ ，仅网球 = $22 - 7 - 3 - 3 = 9$ ，仅曲棍球 = $18 - 4 - 3 - 3 = 8$ 。
4
所有区域求和： $11 + 9 + 8 + 7 + 4 + 3 + 3 = 45$ 。不参加任何运动的学生数： $50 - 45 = 5$ 。

4. 维恩图计数问题★★☆☆☆⏱ 2 min

对于双集合计数问题，你可以使用公式 $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ 来避免重复计数交集中的元素，也可以从内到外填充维恩图区域以保证清晰。

📐 例题

一个班级共有30名学生，18人学习美术，16人学习生物，5人两门科目都不学习。请问有多少学生同时学习美术和生物？

1
计算至少学习一门科目的学生数： $30 - 5 = 25$ 。
2
代入并集公式： $25 = 18 + 16 - n (A \cap B)$ 。
3
整理求解： $n (A \cap B) = 34 - 25 = 9$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

计算并集总数时忘记减去重叠部分的计数

原因:

如果直接将 $n (A)$ 和 $n (B)$ 相加，交集中的元素会被重复计数两次

正确做法:

使用公式 $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ ，或者从最内层的交集开始依次填充维恩图区域

错误做法:

混淆 $\cap$ （交集）和 $\cup$ （并集）符号

原因:

两个符号外观相似，看错会导致涂色或集合描述错误

正确做法:

记住： $\cap$ 代表'且'（同时属于两个集合的元素）， $\cup$ 代表'或'（属于任意一个集合的元素）

错误做法:

子集记法中使用 $\subset$ 而非 $\subseteq$

原因:

CIE 0580 仅认可 $\subseteq$ 和 $⊈$ 得分，真子集符号 $\subset$ 不会给分

正确做法:

始终使用 $\subseteq$ 表示一个集合是另一个集合的子集，即使它是真子集

错误做法:

忘记全集包含所有绘制集合之外的元素

原因:

学生在计算补集或总计数时经常忽略圆形外的区域

正确做法:

始终标注全集矩形，计算总数或补集时记得统计外部区域

错误做法:

误解集合构造式记法的规则

原因:

常见错误是把 ${x : x < 5}$ 理解为包含5，而不是严格小于5的数

正确做法:

仔细阅读冒号后的条件，注意不等式符号或分类规则

6. 速查表

符号	名称	含义	层级
$E$	全集	所有被考虑的元素	核心
$A'	A的补集	所有不属于集合A的元素	核心
$\cap$	交集	同时属于两个集合的元素	核心
$\cup$	并集	属于任意一个集合（或同时属于两者）的元素	核心
$n (A)$	集合大小	集合A的元素个数	核心
$\in$	属于元素	项是集合的一部分	拓展
$\in /$	不属于元素	项不是集合的一部分	拓展
$\emptyset$	空集	不含任何元素的集合	拓展
$\subseteq$	子集	第一个集合的所有元素都属于第二个集合	拓展
$⊈$	非子集	第一个集合不是第二个集合的子集	拓展

7. 常见问题

核心卷考试需要学习集合构造式记法吗？

需要，集合构造式记法在核心卷和拓展卷考试中都会使用，例如 {x : x 是12的因数} 定义了所有12的因数构成的集合。

考试最多会考察几个集合？

核心卷考试最多只考察2个集合。拓展卷可能考察最多3个集合，这类题目经常和概率题结合出现。

我可以在答案中使用真子集符号 ⊂ 吗？

不可以，CIE 0580仅接受 ⊆ 和 ⊈ 作为子集记法，使用真子集符号 ⊂ 不会得分。

深入阅读

syllabusCIE IGCSE 数学 0580 2025-2027 教学大纲集合相关要求请参见第1.2节

下一步

现在你已经掌握了CIE IGCSE数学0580要求的集合与维恩图知识，可以将这些技能应用到使用维恩图计算复合事件概率的概率问题中，这类内容在教学大纲第8单元考察。后续学习统计数据分析时你也会用到维恩图。核心卷考生可以先练习维恩图相关题目，再进入下一个数主题的学习。拓展卷考生请务必练习三集合维恩图题目，这类内容经常在第2和第4卷中考察，且常和概率结合。定期复习记法规则，避免因为符号错误丢失简单分数。