比、比例与比率
CIE IGCSE 数学· 1.11, 1.12· 25 分钟阅读
1. 化简比与分配数量★★☆☆☆⏱ 7 min
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比
对两个或多个相同单位的量的比较，三个或更多项时写作 a:b:c。
例:
6个苹果和9个橙子的比是6:9，化简后为2:3。
要化简一个比，将所有项除以它们的最大公因数（HCF）。化简前必须先将所有项转换为相同单位，例如200g与1kg的比首先要转换为200g:1000g，化简为1:5。要将一个数量按给定比例分配，首先计算总份数，求出1份对应的数值，再分别乘以比的每一项。
化简比 12:18:30，再将 $180 按该化简后的比例分配。
- 1
步骤1：求出12、18和30的最大公因数，结果为6。
- 2
步骤2：所有项除以6：12/6 : 18/6 : 30/6 = 2:3:5
- 3
步骤3：计算总份数：2 + 3 + 5 = 10份
- 4
步骤4：求出1份对应的数值：180 ÷ 10 = $18
- 5
步骤5：将比的每一项乘以1份的数值：2×18 = $36，3×18 = $54，5×18 = $90
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校验：36 + 54 + 90 = 180，与原始总金额一致。
Exam tip:
化简比前务必确认所有项的单位完全一致，这是核心级比类题目中最常见的失分点之一。
2. 现实世界问题的比例推理★★☆☆☆⏱ 6 min
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比例推理使用相等的比来求解未知量。单位法（先求出1个单位对应的数值）是核心级题目最可靠的解题方法，即便你掌握其他技巧也推荐使用。
5本相同的笔记本售价 $3.75，计算12本相同笔记本的总价。
- 1
步骤1：求出1本笔记本的价格：3.75 ÷ 5 = $0.75
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步骤2：乘以12得到总价：0.75 × 12 = $9.00
如果4升油漆可以覆盖16平方米的墙面，覆盖40平方米的墙面需要多少升油漆？
显示答案
10升 —1升油漆可覆盖4平方米，因此40 ÷ 4 = 10升即可满足需求。
3. 常见比率的计算★★★☆☆⏱ 6 min
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比率
对两个不同单位的量的比较，通常表示为某一量的每单位对应另一量的数值。
例:
时薪的单位是美元每小时（$/h），燃油消耗量的单位是千米每升（km/l）。
核心级考试中考察的常见比率包括时薪、汇率、燃油消耗量和流速（升每分钟）。务必检查最终答案要求的单位，避免不必要的换算错误。
一辆汽车行驶315 km消耗了45升汽油，计算其燃油消耗量，单位为千米每升。
- 1
步骤1：燃油消耗量 = 总行驶距离 ÷ 总消耗汽油量
- 2
- 3
最终答案：7 千米每升。
4. 平均速度、密度与压强★★★☆☆⏱ 6 min
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这三类比率指标在核心级试卷中考察频率很高。密度和压强的公式会印在考试公式表中，但熟记平均速度的公式可以帮你在考试中节省时间。
一名骑行者1小时30分钟行驶了24 km，计算她的平均速度，单位为千米每小时。
- 1
步骤1：将时间仅转换为小时：1小时30分钟 = 1.5小时
- 2
步骤2：使用平均速度 = 总行驶距离 ÷ 总耗时
- 3
- 4
最终答案：16 km/h
一块金属块的质量为1800 g，体积为200 cm³，使用公式密度 = 质量 / 体积计算其密度，单位为克每立方厘米。
- 1
步骤1：将数值代入给定公式
- 2
- 3
最终答案：9 g/cm³
Exam tip:
反复核对给定数值的单位与答案要求的单位是否匹配，尤其是计算平均速度时的时间单位（小时 vs 分钟）。
5. 常见陷阱
错误做法:
未先转换单位，直接将500g : 2kg化简为250:1。
原因:
比的两项使用了不同单位，导致结果颠倒、数值错误。
正确做法:
先将2kg转换为2000g，再将500:2000化简为1:4。
错误做法:
将$100按2:3的比例分配，得到$40和$70。
原因:
你忘记将比的各项求和得到总份数，因此错误计算了1份对应的数值。
正确做法:
先将比的各项求和（2+3=5），1份的数值 = 100/5 = $20，因此分配结果为$40和$60。
错误做法:
将一段行程的平均速度计算为两段独立行程速度的平均值。
原因:
平均速度由总距离和总耗时决定，并非分段速度的算术平均。
正确做法:
计算全程的总行驶距离，除以整段行程的总耗时。
错误做法:
将密度计算为体积除以质量。
原因:
你颠倒了给定密度公式的分子和分母。
正确做法:
使用考试给出的公式：密度 = 质量 / 体积，仅在求解未知量时按需变形。
错误做法:
使用分钟为单位的时间计算以km/h为单位的平均速度。
原因:
时间单位必须与答案要求的分母单位相匹配。
正确做法:
计算前先将分钟除以60转换为小时。
6. 速查表
概念 | 公式 / 方法 | 关键检查项 |
|---|---|---|
化简比 | 所有项除以最大公因数 | 所有项先统一单位 |
按比例分配数量 | 总份数 = 比的各项之和；1份数值 = 总量 / 总份数 | 分配结果之和与原始总量相等 |
比例推理 | 单位法：先求出1个单位对应的数值 | 计算全程单位保持一致 |
平均速度 | 总距离 / 总时间 | 时间单位与速度分母匹配（例如km/h对应小时） |
密度 | 质量 / 体积（考试给出） | 单位与输出要求匹配（例如g/cm³） |
压强 | 力 / 面积（考试给出） | 计算全程面积单位保持一致 |
7. 常见问题
备考核心级考试我需要熟记密度和压强的公式吗？
不需要，这些公式会印在试卷首页。你只需要为核心级考试熟记平均速度的公式。
我可以直接化简单位不同的比吗？
不行，你必须先将所有项转换为相同单位再化简比，否则结果会出错。
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下一步
掌握CIE IGCSE 0580核心级的比、比例和比率技能后，你可以进一步练习结合多个核心概念的多步数字求解问题。如果你正在备考拓展级内容，接下来将在代数单元学习正、反比例的代数表达，它建立在你已经练习过的比例推理技能之上。请务必完成本主题的历年真题，在考试前巩固理解、规避常见错误。