# 比、比例与比率

> CIE IGCSE 数学 · 2025-2027
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0580-u1-ratio-proportion-rates/

本指南涵盖 CIE IGCSE 数学 0580 全部核心级的比、比例和比率内容，包括化简比、分配数量、计算平均速度、密度、压强以及考试题目中常见的现实世界比率。

**先修:** [分数和小数的基础算术运算](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0580-u1-fractions-decimals/); [长度、质量和时间的单位换算](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-0580-u1-unit-conversion/)

## 学习目标

- 将比化简为最简整数形式
- 将指定数量按给定比例划分为对应部分
- 使用比例推理解决现实世界问题
- 计算常见比率，包括薪资、汇率和燃油消耗量
- 利用距离-时间关系计算平均速度
- 使用考试给出的公式计算密度和压强

## 化简比与分配数量

**比** — 对两个或多个相同单位的量的比较，三个或更多项时写作 a:b:c。

*例:* 6个苹果和9个橙子的比是6:9，化简后为2:3。

要化简一个比，将所有项除以它们的最大公因数（HCF）。化简前必须先将所有项转换为相同单位，例如200g与1kg的比首先要转换为200g:1000g，化简为1:5。要将一个数量按给定比例分配，首先计算总份数，求出1份对应的数值，再分别乘以比的每一项。

**例题:** 化简比 12:18:30，再将 \$180 按该化简后的比例分配。

1. 步骤1：求出12、18和30的最大公因数，结果为6。
2. 步骤2：所有项除以6：12/6 : 18/6 : 30/6 = 2:3:5
3. 步骤3：计算总份数：2 + 3 + 5 = 10份
4. 步骤4：求出1份对应的数值：180 ÷ 10 = \$18
5. 步骤5：将比的每一项乘以1份的数值：2×18 = \$36，3×18 = \$54，5×18 = \$90
6. 校验：36 + 54 + 90 = 180，与原始总金额一致。

> **考试提示:** 化简比前务必确认所有项的单位完全一致，这是核心级比类题目中最常见的失分点之一。

*计算器:* allowed

## 现实世界问题的比例推理

比例推理使用相等的比来求解未知量。单位法（先求出1个单位对应的数值）是核心级题目最可靠的解题方法，即便你掌握其他技巧也推荐使用。

**例题:** 5本相同的笔记本售价 \$3.75，计算12本相同笔记本的总价。

1. 步骤1：求出1本笔记本的价格：3.75 ÷ 5 = \$0.75
2. 步骤2：乘以12得到总价：0.75 × 12 = \$9.00

> **tip**
>
> 如果按比例放大或缩小，将所有项乘以或除以同一个系数，保证比值不变。

**概念自测**

1. 如果4升油漆可以覆盖16平方米的墙面，覆盖40平方米的墙面需要多少升油漆？

   *解析:* 1升油漆可覆盖4平方米，因此40 ÷ 4 = 10升即可满足需求。

*计算器:* allowed

## 常见比率的计算

**比率** — 对两个不同单位的量的比较，通常表示为某一量的每单位对应另一量的数值。

*例:* 时薪的单位是美元每小时（\$/h），燃油消耗量的单位是千米每升（km/l）。

核心级考试中考察的常见比率包括时薪、汇率、燃油消耗量和流速（升每分钟）。务必检查最终答案要求的单位，避免不必要的换算错误。

**例题:** 一辆汽车行驶315 km消耗了45升汽油，计算其燃油消耗量，单位为千米每升。

1. 步骤1：燃油消耗量 = 总行驶距离 ÷ 总消耗汽油量
2. $$315 \div 45 = 7$$
3. 最终答案：7 千米每升。

*计算器:* allowed

## 平均速度、密度与压强

这三类比率指标在核心级试卷中考察频率很高。密度和压强的公式会印在考试公式表中，但熟记平均速度的公式可以帮你在考试中节省时间。

**例题:** 一名骑行者1小时30分钟行驶了24 km，计算她的平均速度，单位为千米每小时。

1. 步骤1：将时间仅转换为小时：1小时30分钟 = 1.5小时
2. 步骤2：使用平均速度 = 总行驶距离 ÷ 总耗时
3. $$24 \div 1.5 = 16$$
4. 最终答案：16 km/h

**例题:** 一块金属块的质量为1800 g，体积为200 cm³，使用公式密度 = 质量 / 体积计算其密度，单位为克每立方厘米。

1. 步骤1：将数值代入给定公式
2. $$density = 1800 \div 200 = 9$$
3. 最终答案：9 g/cm³

> **考试提示:** 反复核对给定数值的单位与答案要求的单位是否匹配，尤其是计算平均速度时的时间单位（小时 vs 分钟）。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 未先转换单位，直接将500g : 2kg化简为250:1。
  - 原因: 比的两项使用了不同单位，导致结果颠倒、数值错误。
  - 正确做法: 先将2kg转换为2000g，再将500:2000化简为1:4。
- **错误做法:** 将\$100按2:3的比例分配，得到\$40和\$70。
  - 原因: 你忘记将比的各项求和得到总份数，因此错误计算了1份对应的数值。
  - 正确做法: 先将比的各项求和（2+3=5），1份的数值 = 100/5 = \$20，因此分配结果为\$40和\$60。
- **错误做法:** 将一段行程的平均速度计算为两段独立行程速度的平均值。
  - 原因: 平均速度由总距离和总耗时决定，并非分段速度的算术平均。
  - 正确做法: 计算全程的总行驶距离，除以整段行程的总耗时。
- **错误做法:** 将密度计算为体积除以质量。
  - 原因: 你颠倒了给定密度公式的分子和分母。
  - 正确做法: 使用考试给出的公式：密度 = 质量 / 体积，仅在求解未知量时按需变形。
- **错误做法:** 使用分钟为单位的时间计算以km/h为单位的平均速度。
  - 原因: 时间单位必须与答案要求的分母单位相匹配。
  - 正确做法: 计算前先将分钟除以60转换为小时。

## 速查表

| 概念 | 公式 / 方法 | 关键检查项 |
| --- | --- | --- |
| 化简比 | 所有项除以最大公因数 | 所有项先统一单位 |
| 按比例分配数量 | 总份数 = 比的各项之和；1份数值 = 总量 / 总份数 | 分配结果之和与原始总量相等 |
| 比例推理 | 单位法：先求出1个单位对应的数值 | 计算全程单位保持一致 |
| 平均速度 | 总距离 / 总时间 | 时间单位与速度分母匹配（例如km/h对应小时） |
| 密度 | 质量 / 体积（考试给出） | 单位与输出要求匹配（例如g/cm³） |
| 压强 | 力 / 面积（考试给出） | 计算全程面积单位保持一致 |

## 下一步

掌握CIE IGCSE 0580核心级的比、比例和比率技能后，你可以进一步练习结合多个核心概念的多步数字求解问题。如果你正在备考拓展级内容，接下来将在代数单元学习正、反比例的代数表达，它建立在你已经练习过的比例推理技能之上。请务必完成本主题的历年真题，在考试前巩固理解、规避常见错误。

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