# 设置同质性或独立性卡方检验

> AP 统计学 · AP 2024 统计学教学大纲
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-statistics-u12-setting-up-a-chi-square/

我们将介绍如何区分同质性卡方检验与独立性卡方检验、书写规范的假设表述、验证所有必需的有效性条件，以及从双向表数据计算期望单元格计数。

**先修:** [为分类数据构建和解读双向列联表](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-statistics-u11-two-way-tables/); [总体参数假设检验的核心逻辑](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-statistics-u10-intro-to-hypothesis-testing/)

## 学习目标

- 基于底层研究设计区分同质性卡方检验和独立性卡方检验
- 按照AP评分标准要求，正式表述两种检验类型的原假设和备择假设
- 从原始双向列联表数据中准确计算期望单元格计数
- 验证全部三项强制性有效性条件，确认可以执行卡方检验

## 识别同质性检验与独立性检验的适用场景

尽管两种检验的计算流程完全一致，但它们的适用场景完全由数据收集方式决定，而非双向表的结构。当你从两个或多个独立的独立总体中抽样，并在每个组中测量单个分类变量时，使用同质性检验。当你从单个合并总体中抽样，并对每个个体测量两个不同的分类变量时，使用独立性检验。

**同质性卡方检验** — 用于比较单个分类变量在2个及以上独立总体或处理组中分布的假设检验

*例:* 比较4个独立抽样的年龄组对3种不同汽水品牌的偏好

**独立性卡方检验** — 用于评估单个抽样总体内两个被测分类变量是否存在关联的假设检验

*例:* 检查学生课程选择（STEM/人文/艺术）是否与课后兼职状态相关

**考试命令词**

AP考试题目会使用隐晦的表述来提示正确的检验类型，请注意以下线索：

- **Random assignment to treatment groups** — 该研究为实验，应使用同质性卡方检验

- **Simple random sample from one population, two variables recorded** — 该研究为观测性研究，应使用独立性卡方检验

- **Compare distributions across groups** — 明确提示使用同质性检验

**例题:** 一名研究人员招募了200名大一新生，记录他们申报的专业和自我报告的每周锻炼频率。该场景适合使用同质性检验还是独立性检验？

1. 首先确定抽样设计：所有200名学生都来自大一新生这一单个总体
2. 对每个个体测量了两个独立的分类变量：专业和锻炼频率
3. 这是独立性卡方检验的适用场景，而非同质性检验

## 正确书写原假设与备择假设

AP考试中非常常见的失分点是卡方检验的假设表述错误，卡方检验不像单比例z检验那样仅引用单个总体比例。对于同质性检验，原假设表明分类变量的分布在所有总体中完全相同，备择假设表明至少有一个分布存在差异。对于独立性检验，原假设表明两个变量不相关（相互独立），备择假设表明两个变量存在关联（相互依赖）。

$$H_0: \text{ The distribution of [categorical variable] is the same across all groups.} \\ H_a: \text{ At least one group's distribution of [categorical variable] differs.}$$

$$H_0: \text{ [Variable 1] and [Variable 2] are independent (no association) in the population.} \\ H_a: \text{ [Variable 1] and [Variable 2] are dependent (associated) in the population.}$$

> **AP考试常见扣分提示**
>
> 永远不要在假设中对分类变量使用“相关系数”这类表述，也不要在备择假设中声称“所有比例都不同”。备择假设仅要求至少有一个单元格与原假设的预期存在差异。

**例题:** 请为一项调查电影类型偏好（动作、喜剧、剧情）是否在高一、高二、高三、高四学生间存在差异的检验书写正式假设，其中每个年级都是单独抽样的。

1. 首先确定检验类型：4个独立总体（每个年级），1个分类变量（类型偏好）→ 同质性检验
2. 原假设：电影类型偏好的分布在四个年级中完全相同。
3. 备择假设：至少有一个年级的电影类型偏好分布存在差异。

**概念自测**

测试你书写假设的知识：

1. 以下哪一项是独立性检验的有效原假设？

   - H0: 5个社区的养宠人群比例全部相等
   - H0: 养宠状态和住房类型在所调查的城市总体中相互独立
   - H0: 养宠状态和住房类型之间存在强关联

   *解析:* 正确，该表述正确为来自单个总体的两个变量的独立性检验设定了原假设。

## 计算期望单元格计数

双向表中的每个单元格都有一个期望计数，代表当原假设完全成立时你会观测到的数值。即使观测计数是整数，你也永远不应该将期望计数四舍五入为整数，这是AP考试中常见的扣分点。

$$E = \frac{\text{(Row total for the cell)} \times \text{(Column total for the cell)}}{\text{Grand total of all observations}}$$

> **tip**
>
> 作为校验手段，任意单行的所有期望计数之和必须等于原始观测行总和，任意列的期望计数之和必须等于原始观测列总和。

**例题:** 计算对应行总和为45、列总和为62、总样本量为180的单元格的期望计数。

1. 将数值直接代入期望计数公式
2. $$E = \frac{45 \times 62}{180} = \frac{2790}{180} = 15.5$$

## 验证有效性条件

要在AP考试的卡方检验设置部分获得满分，你必须明确陈述并验证全部三个条件。即使题目提示中已经隐含这些条件，你也不能跳过任何一项。

1. 随机条件：数据必须来自目标总体的简单随机样本，或者来自实验中随机分配到处理组的分组。
2. 独立性条件：单个观测值必须相互独立，如果是无放回抽样则适用10%条件：总样本量必须小于总体规模的10%。
3. 大样本计数条件：所有期望单元格计数必须大于或等于5。该检查使用的是期望值，而非观测值。

**例题:** 一项独立性卡方检验使用3行4列的双向表，总样本量为220，所有计算得到的期望计数都≥7。数据来自220名美国成年人的随机样本。请验证全部三个条件。

1. 随机：题目明确说明数据来自美国成年人的随机样本，条件满足。
2. 独立性：220远小于美国成年总人口（约2.5亿）的10%，因此观测值相互独立，条件满足。
3. 大计数条件：全部12个期望单元格都≥7，大于5，条件满足。

## 常见错误

- **错误做法:** 使用观测单元格计数来检查大计数条件
  - 原因: 大计数规则明确针对原假设下的期望计数定义，而非观测值，这会在AP评分标准中直接导致扣分。
  - 正确做法: 始终引用你预先计算的期望计数，确认所有值都≥5。
- **错误做法:** 将备择假设表述为“所有比例都不同”
  - 原因: 卡方检验的备择假设仅要求至少有一个单元格偏离原假设的预期，而非每个比例都必须不同。
  - 正确做法: 同质性检验写“至少有一个组的分布存在差异”，独立性检验写“两个变量存在关联”。
- **错误做法:** 将期望计数四舍五入为整数
  - 原因: 期望计数是理论平均值，不是真实观测值，对其取整会给最终卡方统计量引入不必要的误差。
  - 正确做法: 所有计算过程中期望计数至少保留1位小数。
- **错误做法:** 混淆同质性检验和独立性检验的适用场景
  - 原因: 即使所有计算都正确，如果你错误识别了检验类型，AP考试评分标准也会扣分。
  - 正确做法: 在继续解题前，先确认你是从多个独立总体抽样（同质性）还是从单个总体抽样（独立性）。
- **错误做法:** 在假设中对分类变量使用“相关系数”表述
  - 原因: 相关系数是专门针对两个定量变量的统计量，不适用于分类数据，这种表述说明你存在概念误解。
  - 正确做法: 使用“关联”或“依赖”这类术语来描述两个分类变量之间的关系。

## 速查表

| 检查项 | 同质性检验 | 独立性检验 |
| --- | --- | --- |
| 研究设计 | 从2个及以上独立总体抽样，测量1个分类变量 | 从1个总体抽样，测量2个分类变量 |
| 原假设 | 变量的分布在所有组中完全相同 | 两个变量相互独立，不存在关联 |
| 期望计数公式 | $E = \frac{\text{Row Total} \times \text{Column Total}}{\text{Grand Total}}$ | $E = \frac{\text{Row Total} \times \text{Column Total}}{\text{Grand Total}}$ |
| 必需条件 | 随机、独立、所有E≥5 | 随机、独立、所有E≥5 |

## 下一步

现在你已经掌握了卡方检验的完整设置流程，接下来可以计算卡方检验统计量、自由度和p值来完成假设检验。这些计算步骤是在AP考试卡方推断类自由作答题中获得满分的下一个必需环节。你还将学习如何解读显著卡方检验的结果，使用单独的分量计算来识别是哪些特定单元格导致了显著结果。掌握本设置步骤可以确保你不会在任何卡方FRQ的前半部分丢失简单分数，这部分内容约占AP统计学考试总分权重的10-15%。

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