样本比例之差的抽样分布

AP 统计学· 12 分钟阅读

1. 核心定义与关键参数★★☆☆☆⏱ 3 min

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📘 定义

$\hat{p}_1 - \hat{p}_2$的抽样分布

$\overset{p}{^}_{1} - \overset{p}{^}_{2}$

从两个独立组中抽取所有样本量为 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ 的随机样本，计算得到的全部样本比例差值的集合

例:

对比支持某一政策的18-24岁选民比例与支持同一政策的25-40岁选民比例

\mu_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = p_1 - p_2

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\sigma_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}

📐 例题

总体1的真实比例 $p_{1} = 0.6$ ，样本量 $n_{1} = 100$ 。总体2的真实比例 $p_{2} = 0.45$ ，样本量 $n_{2} = 80$ 。计算 $\overset{p}{^}_{1} - \overset{p}{^}_{2}$ 抽样分布的均值和标准差。

1
步骤1：直接使用总体比例计算分布的均值
2
$\mu_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = 0.6 - 0.45 = 0.15$
3
步骤2：先分别计算每个样本比例的方差
4
$\text{Var}(\hat{p}_1) = \frac{0.6(0.4)}{100} = 0.0024, \quad \text{Var}(\hat{p}_2) = \frac{0.45(0.55)}{80} = 0.00309$
5
步骤3：将方差求和后开平方，得到合并后的标准差
6
$\sigma_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = \sqrt{0.0024 + 0.00309} \approx 0.074$

2. 正态近似的适用条件★★★☆☆⏱ 4 min

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随机性：两个样本均通过简单随机抽样从各自总体中独立选取
独立性（10%条件）：不放回抽样时，每个样本量不超过其所属总体的10%
正态性（大计数条件）：两组的期望成功数和失败数均至少为10

📐 例题

已知 $n_{1} = 50$ ， $p_{1} = 0.2$ ， $n_{2} = 40$ ， $p_{2} = 0.3$ ，检验 $\overset{p}{^}_{1} - \overset{p}{^}_{2}$ 的抽样分布是否近似正态。

1
步骤1：确认题目背景说明两个样本均为独立随机样本
2
步骤2：验证10%条件：两个总体分别至少有500人和400人，这在实际调查场景中是常规情况
3
步骤3：检查全部四个大计数乘积
4
$n_1p_1 = 10, n_1(1-p_1) = 40, n_2p_2 =12, n_2(1-p_2)=28$
5
所有数值均≥10，因此正态近似完全有效。

3. $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$的概率计算★★★☆☆⏱ 3 min

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z = \frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - (p_1 - p_2)}{\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}}

📐 例题

使用之前均值为0.15、标准差为0.074的分布，计算 $\overset{p}{^}_{1} - \overset{p}{^}_{2} > 0.2$ 的概率。

1
步骤1：将观测差值、均值和标准差代入z分数公式
2
$z = \frac{0.2 - 0.15}{0.074} \approx 0.676$
3
步骤2：使用标准正态分布表或计算器找到z=0.676右侧的面积
4
步骤3：最终概率≈0.249，意味着所有可能的样本差值中约有25%会超过0.2

4. 常见陷阱

错误做法:

直接将标准差相加，而不是先加方差再开平方

原因:

独立变量的方差可加，但标准差不可加，这种错误会高估合并后的标准差

正确做法:

分别计算每个样本比例的方差，将两个方差求和后开平方，得到合并后的标准差

错误做法:

使用合并比例计算抽样分布的标准差

原因:

合并比例仅在双比例假设检验中需要，描述理论抽样分布时不需要使用

正确做法:

抽样分布标准差计算中，直接使用已知的独立总体比例 $p_{1}$ 和 $p_{2}$

错误做法:

仅检查合并总样本的大计数条件，而不对每个组单独检查

原因:

正态性要求两个单比例抽样分布各自都近似正态，而不只是合并后的差值分布

正确做法:

验证全部四个乘积项 $n_{1} p_{1}$ 、 $n_{1} (1 - p_{1})$ 、 $n_{2} p_{2}$ 、 $n_{2} (1 - p_{2})$ 均≥10

错误做法:

不放回抽样时忘记确认10%独立性条件

原因:

如果样本量超过所属总体的10%，观测值就不独立，标准差公式会出现偏差

正确做法:

考试作答时明确说明两个样本均小于各自总体的10%，以获得满分

错误做法:

在标准差的分母中使用合并总样本量 $n_{1} + n_{2}$

原因:

两个样本完全独立，方差计算时不能将样本量合并

正确做法:

组1的方差仅使用 $n_{1}$ ，组2的方差仅使用 $n_{2}$

5. 速查表

参数	公式	适用条件
$\overset{p}{^}_{1} - \overset{p}{^}_{2}$ 的均值	$p_{1} - p_{2}$	独立随机样本
$\overset{p}{^}_{1} - \overset{p}{^}_{2}$ 的标准差	$\frac{p _{1} ( 1 - p _{1} )}{n _{1}} + \frac{p _{2} ( 1 - p _{2} )}{n _{2}}$	两个样本均满足10%条件
概率计算的Z分数	$z = \frac{( p ^ _{1} - p ^ _{2} ) - ( p _{1} - p _{2} )}{σ _{\overset{p}{^}_{1} - \overset{p}{^}_{2}}}$	两个样本均满足大计数条件

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

掌握样本比例之差的抽样分布是学习双比例正式推断的关键基础步骤。你将直接应用这些性质构造双总体比例差值的置信区间，以指定置信水平估计两个群体之间的真实差距。你还会使用相同的核心框架执行双比例z假设检验，判断是否存在统计显著的证据证明两个总体比例存在差异。该考点在AP统计学考试中占比很高，近年考试中约占全部自由问答题分值的15%，熟练掌握条件检验和参数计算将直接提升你在多步推断题中的得分。