二项分布

Q: 我可以在AP考试自由作答部分直接写出binompdf的计算结果吗？

请写明分布、参数和所求概率事件，让计算思路清楚可见。有效公式或说明清楚的计算器方法都可以表达计算过程；具体评分要求取决于题目。只写一个数值无法说明计算的是哪个概率。

Q: 什么时候我可以对不放回抽样使用二项分布？

随机不放回抽样时，若样本量不超过总体的10%，可在二项分布近似中将各次试验视为近似独立；原来的试验仍非严格独立。

AP 统计学· AP统计学课程与考试说明（2026年秋季生效）：Unit 2，Topic 2.10——二项分布· 12 分钟阅读

1. 验证二项分布场景★★☆☆☆⏱ 3 min

只有满足四项BINS条件，或已说明合理的近似依据时，才能使用二项分布模型。题目要求说明模型依据时，应结合情境解释相关条件。

📘 定义

BINS条件

二项分布场景的四项要求：结果二元、试验独立、试验次数固定、成功概率恒定。

📐 例题

一名篮球运动员投10次罚球。假设各次罚球相互独立，且每次命中的概率固定为0.75。在这些假设下，命中次数是否为二项随机变量？

1
检查B：每次投篮只有两种结果（投中或不中）→ 条件满足。
2
检查I：题目明确假设各次罚球相互独立。
3
检查N：试验次数固定为n=10 → 条件满足。
4
检查S：题目明确假设每次成功概率固定为p=0.75。
5
结论：在题设假设下，命中次数服从B(10, 0.75)。仅凭历史命中率，不能证明独立性或每次成功概率恒定。

✓ 快速检测

识别以下哪个场景服从二项分布：

从标准52张扑克牌中不放回抽取6张，并统计A的张数
- 有效二项分布
- 不服从二项分布，违反10%条件
- 不服从二项分布，没有固定n
显示答案
不服从二项分布，违反10%条件 —
各次抽取相互依赖，且6/52约为11.5%，超过10%，因此不能用10%条件说明二项近似合理。抽取次数固定为6次。

2. 二项概率计算★★★☆☆⏱ 3 min

二项概率公式用于计算n次试验中恰好得到k次成功的精确概率，它覆盖了k次成功和(n-k)次失败在固定试验中的所有不同排列顺序。

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

🔬 推导

目标:

推导二项概率公式

起点:

任意一组包含k次成功和n-k次失败的特定序列的概率为 $p^{k} (1 - p)^{n - k}$

1
n次试验中选出k次成功的唯一序列数量由组合公式 $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ 给出
2
将序列总数乘以单个序列的概率，即可得到总概率

结果:

由此即可得到标准二项概率公式。

📐 例题

对于出手10次、命中率p=0.75的篮球运动员，计算他恰好投中7次的概率。

1
确定参数：n=10，k=7，p=0.75
2
$\binom{10}{7} = 120$
3
$P(X=7) = 120 * (0.75)^7 * (0.25)^3$
4
计算最终结果：P(X=7) ≈ 0.2503

模拟（CED 2.10.D.1）：估计X ~ B(10, 0.75)的P(X ≥ 7)时，可用相互独立、从1到100等概率生成的随机整数代表每次罚球，1到75代表命中。每场模拟生成10个整数并统计命中次数，重复模拟很多场，用至少命中7次的场次占比估计概率。该模拟估计在不同运行中会变化，可与精确二项计算比较。

3. 二项分布的均值与标准差★★☆☆☆⏱ 2 min

二项随机变量的期望（均值）和标准差有简洁的闭式计算公式，无需手动对所有可能结果求和。

\mu_X = E(X) = np

\sigma_X = \sqrt{np(1-p)}

📐 例题

对于出手10次、命中率p=0.75的运动员，求投中次数的均值和标准差并作出解释。

1
$\mu_X = 10 * 0.75 = 7.5$
2
解释：在大量重复的10次罚球组中，该运动员平均每组可以投中7.5次。
3
$\sigma_X = \sqrt{10 * 0.75 * 0.25} ≈ 1.369$
4
解释：投中次数通常会在7.5的均值附近波动，波动幅度约为1.37次。

4. 二项分布的形态★★★☆☆⏱ 2 min

当0<p<1时，p=0.5的二项分布对称；p<0.5时右偏，p>0.5时左偏。偏态程度同时取决于n和p；固定p并增大n，分布会更接近对称。

📐 例题

描述参数为n=20、p=0.2的二项分布的形态。

1
$np = 20 * 0.2 = 4 < 10$
2
$n(1-p) = 20 * 0.8 = 16 ≥10$
3
由于p=0.2<0.5，分布右偏。由于np=4<10，不满足大计数条件，应计算精确二项概率，避免使用通常的正态近似。

5. 常见陷阱

错误做法:

对不放回抽样直接套用二项分布，忽略10%条件

原因:

试验并非严格独立，违反了BINS的核心要求

正确做法:

随机不放回抽样时，先确认样本量不超过总体的10%，再将各次试验视为近似独立。

错误做法:

计算P(X ≥ k)时误写为P(X > k)，漏掉边界值k

原因:

二项分布统计的是离散成功次数，≥符号包含边界值k

正确做法:

将P(X ≥k)改写为1 - P(X ≤ k-1)，避免差一错误

错误做法:

将二项分布的均值在场景中描述为概率

原因:

期望值是长期平均结果，并非单次试验必然得到的结果

正确做法:

将均值解释为大量重复相同场景下的平均结果

错误做法:

当np < 10时仍对二项分布使用正态近似

原因:

不满足大计数条件，意味着通常的正态近似缺乏依据；这并不必然意味着分布严重偏态。

正确做法:

当大计数条件不满足时，使用精确二项概率计算

错误做法:

只报告概率数值，没有说明分布和所求事件

原因:

只有计算器输出无法说明计算的是哪个概率。展开完整组合数公式并非所有题目的统一评分要求。

正确做法:

写明二项分布参数和所求事件，并按题目要求展示有效公式或说明清楚的计算器计算。

6. 速查表

组成部分	公式/规则	表达与检查
二项分布条件	BINS：二元结果、独立试验、固定n、恒定p	要求说明依据时，结合情境验证相关条件
精确概率	$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$	说明分布、参数和所求事件
均值	$μ_{X} = n p$	解释为长期平均结果
标准差	$σ_{X} = n p (1 - p)$	无需对平方根做额外化简
正态近似	$n p \geq 10, n (1 - p) \geq 10$	衔接Topic 3.2：检查两个计数

7. 常见问题

我可以在AP考试自由作答部分直接写出binompdf的计算结果吗？

请写明分布、参数和所求概率事件，让计算思路清楚可见。有效公式或说明清楚的计算器方法都可以表达计算过程；具体评分要求取决于题目。只写一个数值无法说明计算的是哪个概率。

什么时候我可以对不放回抽样使用二项分布？

随机不放回抽样时，若样本量不超过总体的10%，可在二项分布近似中将各次试验视为近似独立；原来的试验仍非严格独立。

下一步

二项模型是理解样本比例抽样分布和总体比例推断的基础。接下来可以把成功次数与样本比例联系起来，研究重复随机抽样如何产生抽样变异。