二项分布

AP 统计学· 第4单元：概率、随机变量与概率分布· 12 分钟阅读

1. 验证二项分布场景★★☆☆☆⏱ 3 min

只有当全部四个必要条件都满足时，二项分布才适用。AP考试题几乎总是要求你明确验证这些条件才能获得全部分数，而不能直接假设场景服从二项分布。

📘 定义

BINS条件

二项分布场景的四项要求：结果二元、试验独立、试验次数固定、成功概率恒定。

📐 例题

一名篮球运动员的罚球命中率为75%，在一场比赛中出手10次。投中次数是否为二项随机变量？

1
检查B：每次投篮只有两种结果（投中或不中）→ 条件满足。
2
检查I：每次投篮的结果与其他投篮相互独立 → 条件满足。
3
检查N：试验次数固定为n=10 → 条件满足。
4
检查S：每次投篮的成功概率p=0.75保持不变 → 条件满足。
5
结论：是的，该场景是有效的二项分布场景。

✓ 快速检测

识别以下哪个场景服从二项分布：

从标准52张扑克牌中不放回抽取5张，统计抽到A的数量，总体大小为52
- 有效二项分布
- 不服从二项分布，违反10%条件
- 不服从二项分布，没有固定n
显示答案
不服从二项分布，违反10%条件 —
样本量5约占总体52的9.6%，虽然略低于10%，但试验并非严格独立，因此不属于完美的二项分布场景。

2. 二项概率计算★★★☆☆⏱ 3 min

二项概率公式用于计算n次试验中恰好得到k次成功的精确概率，它覆盖了k次成功和(n-k)次失败在固定试验中的所有不同排列顺序。

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

🔬 推导

目标:

推导二项概率公式

起点:

任意一组包含k次成功和n-k次失败的特定序列的概率为 $p^{k} (1 - p)^{n - k}$

1
n次试验中选出k次成功的唯一序列数量由组合公式 $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ 给出
2
将序列总数乘以单个序列的概率，即可得到总概率

结果:

由此即可得到标准二项概率公式。

📐 例题

对于出手10次、命中率p=0.75的篮球运动员，计算他恰好投中7次的概率。

1
确定参数：n=10，k=7，p=0.75
2
$\binom{10}{7} = 120$
3
$P(X=7) = 120 * (0.75)^7 * (0.25)^3$
4
计算最终结果：P(X=7) ≈ 0.2503

3. 二项分布的均值与标准差★★☆☆☆⏱ 2 min

二项随机变量的期望（均值）和标准差有简洁的闭式计算公式，无需手动对所有可能结果求和。

\mu_X = E(X) = np

\sigma_X = \sqrt{np(1-p)}

📐 例题

对于出手10次、命中率p=0.75的运动员，求投中次数的均值和标准差并作出解释。

1
$\mu_X = 10 * 0.75 = 7.5$
2
解释：在大量重复的10次罚球组中，该运动员平均每组可以投中7.5次。
3
$\sigma_X = \sqrt{10 * 0.75 * 0.25} ≈ 1.369$
4
解释：投中次数通常会在7.5的均值附近波动，波动幅度约为1.37次。

4. 二项分布的形态★★★☆☆⏱ 2 min

二项分布的形态由n和p的取值决定。当p接近0或1时，分布呈偏态；当np ≥ 10且n(1-p) ≥10时，分布近似对称。

📐 例题

描述参数为n=20、p=0.2的二项分布的形态。

1
$np = 20 * 0.2 = 4 < 10$
2
$n(1-p) = 20 * 0.8 = 16 ≥10$
3
由于np < 10，该分布呈强右偏态，不近似服从正态分布。

5. 常见陷阱

错误做法:

对不放回抽样直接套用二项分布，忽略10%条件

原因:

试验并非严格独立，违反了BINS的核心要求

正确做法:

使用二项分布近似前，先确认样本量不超过总体的10%

错误做法:

计算P(X ≥ k)时误写为P(X > k)，漏掉边界值k

原因:

二项分布统计的是离散成功次数，≥符号包含边界值k

正确做法:

将P(X ≥k)改写为1 - P(X ≤ k-1)，避免差一错误

错误做法:

将二项分布的均值在场景中描述为概率

原因:

期望值是长期平均结果，并非单次试验必然得到的结果

正确做法:

将均值解释为大量重复相同场景下的平均结果

错误做法:

当np < 10时仍对二项分布使用正态近似

原因:

分布严重偏态，正态近似会得到误差极大的概率值

正确做法:

当大计数条件不满足时，使用精确二项概率计算

错误做法:

自由作答部分的二项公式中遗漏组合项

原因:

AP判卷官会认为你仅使用计算器计算，没有理解底层逻辑

正确做法:

代入数值前先写出包含组合项的完整公式

6. 速查表

组成部分	公式/规则	AP考试要求
二项分布条件	BINS：二元结果、独立试验、固定n、恒定p	必须明确验证全部4项条件才能得满分
精确概率	$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$	展示推导过程后再给出计算器输出结果
均值	$μ_{X} = n p$	解释为长期平均结果
标准差	$σ_{X} = n p (1 - p)$	无需对平方根做额外化简
正态近似	$n p \geq 10, n (1 - p) \geq 10$	必须先声明大计数条件

7. 常见问题

我可以在AP考试自由作答部分直接写出binompdf的计算结果吗？

不可以。你必须明确说明分布参数，写出概率设定过程，展示推导步骤后再给出最终结果才能获得全部分数。仅写出计算器输出结果会丢失表达分。

什么时候我可以对不放回抽样使用二项分布？

如果你的样本量不超过总体的10%，则满足10%条件，此时可以将试验近似视为独立，从而使用二项分布。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · Paper 1
二项概率自由作答题计算
2021 · Paper 2
二项分布条件选择题组
2019 · Paper 1
二项分布均值解释自由作答题

下一步

掌握二项分布是学习AP统计学后续内容的关键基础，它直接支撑样本比例的抽样分布和分类数据的推断部分。你将运用二项分布逻辑建立对中心极限定理的直观理解，设计总体比例的假设检验，计算抽样调查结果的置信区间。该知识点也经常作为多问自由作答题的核心载体，融合概率、随机变量和推断相关内容。接下来你将学习几何分布——另一类用于统计首次成功前试验次数的核心离散分布，之后会进入抽样分布章节，研究重复抽样下样本统计量的变化规律。