# 二项分布

> AP 统计学 · AP 统计
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-statistics-u11-the-binomial-distribution/

本模块涵盖二项分布场景条件、概率计算、汇总统计量，以及符合AP统计学考核要求的相关解释。

**先修:** [离散随机变量的基础性质](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-statistics-u10-discrete-random-variables/); [核心概率与组合计数规则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-statistics-u10-basic-probability-rules/)

## 学习目标

- 识别并验证有效二项分布场景所需的四项前提条件
- 使用公式和官方许可的计算器函数计算精确二项概率
- 计算并解释二项随机变量的均值与标准差
- 运用二项分布逻辑解答AP考试的自由作答题和选择题

## 验证二项分布场景

只有当全部四个必要条件都满足时，二项分布才适用。AP考试题几乎总是要求你明确验证这些条件才能获得全部分数，而不能直接假设场景服从二项分布。

**BINS条件** — 二项分布场景的四项要求：结果二元、试验独立、试验次数固定、成功概率恒定。

> **BINS记忆口诀**
>
> 考试当天使用BINS缩写就不会遗漏任何一项条件检查：二元（Binary）、独立（Independent）、固定次数（Number）、恒定成功概率（Success）。

**例题:** 一名篮球运动员的罚球命中率为75%，在一场比赛中出手10次。投中次数是否为二项随机变量？

1. 检查B：每次投篮只有两种结果（投中或不中）→ 条件满足。
2. 检查I：每次投篮的结果与其他投篮相互独立 → 条件满足。
3. 检查N：试验次数固定为n=10 → 条件满足。
4. 检查S：每次投篮的成功概率p=0.75保持不变 → 条件满足。
5. 结论：是的，该场景是有效的二项分布场景。

**概念自测**

识别以下哪个场景服从二项分布：

1. 从标准52张扑克牌中不放回抽取5张，统计抽到A的数量，总体大小为52

   - 有效二项分布
   - 不服从二项分布，违反10%条件
   - 不服从二项分布，没有固定n

   *解析:* 样本量5约占总体52的9.6%，虽然略低于10%，但试验并非严格独立，因此不属于完美的二项分布场景。

## 二项概率计算

二项概率公式用于计算n次试验中恰好得到k次成功的精确概率，它覆盖了k次成功和(n-k)次失败在固定试验中的所有不同排列顺序。

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

**推导:** 推导二项概率公式

*起点:* 任意一组包含k次成功和n-k次失败的特定序列的概率为$p^k(1-p)^{n-k}$

1. n次试验中选出k次成功的唯一序列数量由组合公式$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$给出
2. 将序列总数乘以单个序列的概率，即可得到总概率

*结论:* 由此即可得到标准二项概率公式。

**例题:** 对于出手10次、命中率p=0.75的篮球运动员，计算他恰好投中7次的概率。

1. 确定参数：n=10，k=7，p=0.75
2. $$\binom{10}{7} = 120$$
3. $$P(X=7) = 120 * (0.75)^7 * (0.25)^3$$
4. 计算最终结果：P(X=7) ≈ 0.2503

**考试命令词**

AP考试中二项概率题目的指令术语有明确的作答要求：

- **Calculate** — 在给出最终数值前，必须展示包含n、p和完整公式的全部推导过程 *(计算P(X ≥ 2)时，需要先写出1 - P(X=0) - P(X=1)，再代入数值计算。)*

## 二项分布的均值与标准差

二项随机变量的期望（均值）和标准差有简洁的闭式计算公式，无需手动对所有可能结果求和。

$$\mu_X = E(X) = np$$

$$\sigma_X = \sqrt{np(1-p)}$$

**例题:** 对于出手10次、命中率p=0.75的运动员，求投中次数的均值和标准差并作出解释。

1. $$\mu_X = 10 * 0.75 = 7.5$$
2. 解释：在大量重复的10次罚球组中，该运动员平均每组可以投中7.5次。
3. $$\sigma_X = \sqrt{10 * 0.75 * 0.25} ≈ 1.369$$
4. 解释：投中次数通常会在7.5的均值附近波动，波动幅度约为1.37次。

## 二项分布的形态

二项分布的形态由n和p的取值决定。当p接近0或1时，分布呈偏态；当np ≥ 10且n(1-p) ≥10时，分布近似对称。

> **warning**
>
> 只有当大计数条件（np ≥ 10，n(1-p) ≥10）明确满足时，才能对二项分布使用正态近似。

**例题:** 描述参数为n=20、p=0.2的二项分布的形态。

1. $$np = 20 * 0.2 = 4 < 10$$
2. $$n(1-p) = 20 * 0.8 = 16 ≥10$$
3. 由于np < 10，该分布呈强右偏态，不近似服从正态分布。

## 常见错误

- **错误做法:** 对不放回抽样直接套用二项分布，忽略10%条件
  - 原因: 试验并非严格独立，违反了BINS的核心要求
  - 正确做法: 使用二项分布近似前，先确认样本量不超过总体的10%
- **错误做法:** 计算P(X ≥ k)时误写为P(X > k)，漏掉边界值k
  - 原因: 二项分布统计的是离散成功次数，≥符号包含边界值k
  - 正确做法: 将P(X ≥k)改写为1 - P(X ≤ k-1)，避免差一错误
- **错误做法:** 将二项分布的均值在场景中描述为概率
  - 原因: 期望值是长期平均结果，并非单次试验必然得到的结果
  - 正确做法: 将均值解释为大量重复相同场景下的平均结果
- **错误做法:** 当np < 10时仍对二项分布使用正态近似
  - 原因: 分布严重偏态，正态近似会得到误差极大的概率值
  - 正确做法: 当大计数条件不满足时，使用精确二项概率计算
- **错误做法:** 自由作答部分的二项公式中遗漏组合项
  - 原因: AP判卷官会认为你仅使用计算器计算，没有理解底层逻辑
  - 正确做法: 代入数值前先写出包含组合项的完整公式

## 速查表

| 组成部分 | 公式/规则 | AP考试要求 |
| --- | --- | --- |
| 二项分布条件 | BINS：二元结果、独立试验、固定n、恒定p | 必须明确验证全部4项条件才能得满分 |
| 精确概率 | $P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ | 展示推导过程后再给出计算器输出结果 |
| 均值 | $\mu_X = np$ | 解释为长期平均结果 |
| 标准差 | $\sigma_X = \sqrt{np(1-p)}$ | 无需对平方根做额外化简 |
| 正态近似 | $np ≥ 10, n(1-p) ≥10$ | 必须先声明大计数条件 |

## 下一步

掌握二项分布是学习AP统计学后续内容的关键基础，它直接支撑样本比例的抽样分布和分类数据的推断部分。你将运用二项分布逻辑建立对中心极限定理的直观理解，设计总体比例的假设检验，计算抽样调查结果的置信区间。该知识点也经常作为多问自由作答题的核心载体，融合概率、随机变量和推断相关内容。接下来你将学习几何分布——另一类用于统计首次成功前试验次数的核心离散分布，之后会进入抽样分布章节，研究重复抽样下样本统计量的变化规律。

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