# 两个分类变量分布的表格与图形表示

> AP 统计学 · AP 统计学 2024-2026
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-statistics-u11-tabular-and-graphical-representations-for/

本模块涵盖双向列联表构建、所有相对频率类型的计算、分段条形图和马赛克图的创建，以及通过解读展示结果检测两个分类变量之间的关联性。

**先修:** [分类变量和定量变量的基本定义](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-statistics-u1-intro-to-variable-types/); [单变量相对频率分布的计算](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-statistics-u2-graphical-representations-for-categorical-data/)

## 学习目标

- 为配对的双变量分类数据构建双向列联表
- 从表格数据中计算边际、联合和条件相对频率
- 为两个分类变量生成标注规范的分段条形图和马赛克图
- 解读可视化和表格输出，识别变量间具有统计意义的关联性

## 双向列联表基础

双向列联表通过将解释变量的水平列为行、响应变量的水平列为列（反之亦可）来组织配对分类数据。表格的最后一行和最后一列存储边际总和，即沿对应轴对所有计数求和得到的结果。

**列联表** — 一种表格结构，记录两个分类变量各水平所有可能组合对应的原始观测值数量，同时记录每个变量单独水平的总计数。

*例:* 一张追踪200份学生调查回复的表格，行对应年级，列对应偏好的午餐选项。

$$\text{Grand Total} = \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{c} n_{ij}$$

**例题:** 为150名调查受访者构建列联表：其中80名城市居民，70名农村居民。55名城市居民支持新建公共交通线路，25名反对。30名农村居民支持该线路，40名反对。

1. 将行定义为居住地点，列定义为对交通线路的态度
2. 填入联合计数：城市/支持=55，城市/反对=25，农村/支持=30，农村/反对=40
3. 计算边际总和：城市总计=80，农村总计=70，支持总计=85，反对总计=65
4. 验证总合计=80+70=150，与总样本量匹配

**概念自测**

测试你对表格结构的理解：

1. 反对新建交通线路的受访者边际总和是多少？

   - 65
   - 70
   - 80
   - 85

   *解析:* 将25名城市反对者和40名农村反对者的计数相加，得到总反对人数65。

> **考试提示:** AP评分标准为正确验证边际总和与给定样本量相等的操作授予1分满分，因此在进行任何计算前务必完成这项检查。

## 计算边际、联合和条件相对频率

从列联表中可以推导出三种不同的相对频率度量，每种度量对应不同的统计问题。混淆这些度量的分母是AP考试自由作答题中失分的最常见原因。

| 频率类型 | 分母 | 解读方式 |
| --- | --- | --- |
| 联合 | 完整总样本量 | 所有观测值中属于该精确类别配对的比例 |
| 边际 | 完整总样本量 | 所有观测值中属于某一变量单个水平的比例 |
| 条件 | 条件子组的边际总和 | 该子组中属于特定响应水平的观测值比例 |

**例题:** 使用上一示例中的交通调查列联表，计算农村居民中支持新建交通线路的条件相对频率。

1. 确定条件子组：农村居民，其边际总和为70
2. 提取支持该线路的农村居民的联合计数：30
3. $$\text{Conditional Relative Frequency} = \frac{30}{70} \approx 0.429, \text{ or } 42.9\%$$
4. 解读：42.9%的农村调查受访者支持新建公共交通线路。

**考试命令词**

AP考试的频率计算题使用特定的指令术语：

- **Calculate the proportion of all respondents** — 要求计算联合或边际相对频率，分母为总样本量

- **Calculate the proportion of respondents who are [subgroup]** — 要求计算条件相对频率，分母为子组边际总和

## 两个分类变量的分段条形图

分段（或堆叠）100%条形图是AP考试中最常考查的两个分类变量图形展示形式。每个条形代表解释变量的一个水平，所有条形都被标准化为总高度100%。

**100%分段条形图** — 一组等高条形，每个条形被拆分为多个彩色分段，分段大小与该组响应变量的条件相对频率成正比。

*例:* 分别代表城市和农村居民的两个条形，每个条形拆分为蓝色（支持）和红色（反对）分段。

**例题:** 为交通调查数据绘制分段条形图，将支持/反对作为响应变量。

1. 将x轴标签设为“城市”和“农村”，将y轴设为0%到100%的相对频率
2. 对于城市条形：支持分段高度=55/80=68.75%，反对分段高度=31.25%
3. 对于农村条形：支持分段高度=30/70≈42.9%，反对分段高度≈57.1%
4. 添加清晰的图例，将颜色映射到支持和反对类别

> **绘图提示**
>
> 如果考试中要求你绘制分段条形图，你不需要画出完全精确的高度，但分段的相对大小必须让阅卷老师能够清晰区分。

## 马赛克图与关联性检测

马赛克图对分段条形图进行了扩展，将每个条形的宽度设置为与解释变量子组的边际大小成正比，而不是保持所有条形宽度相等。这让你可以在同一张图中同时可视化联合分布和条件分布。

**方法对比**

对比两种用于两个分类变量的标准图形展示形式：

- **100%分段条形图** — 条形宽度相等，高度按条件频率拆分
  - 优点: 便于直接比较条件分布
  - 缺点: 无法展示子组的相对大小

- **马赛克图** — 条形宽度与子组大小成正比，高度按条件频率拆分
  - 优点: 同时展示联合、边际和条件分布
  - 缺点: 手工精准绘制难度更高

**例题:** 为总样本量150的交通调查数据构建马赛克图。

1. 将图的总宽度设为150单位，为城市条形分配80单位宽度，为农村条形分配70单位宽度
2. 将城市条形在68.75%高度处拆分为支持部分，31.25%高度处拆分为反对部分
3. 将农村条形在42.9%高度处拆分为支持部分，57.1%高度处拆分为反对部分
4. 标注所有坐标轴：x轴=居住地点，y轴=对交通线路态度的相对频率

> **关联性检查规则**
>
> 如果不同条形上对应分段的高度几乎完全相同，则两个变量之间不存在关联性的证据。如果分段高度差异明显，则可能存在关联性。

## 常见错误

- **错误做法:** 计算条件相对频率时用联合计数除以总样本量
  - 原因: 条件频率的分母只能是条件变量的子集，而不是全部样本，如果使用总样本量会得到错误的结果。
  - 正确做法: 始终确认你设定条件的组，使用该组的边际总和作为计算分母。
- **错误做法:** 使用原始计数而非相对频率绘制分段条形图，导致条形总高度不相等
  - 原因: 不等高的条形会扭曲组间比例的视觉对比，阅卷老师会因展示结果有误导性扣除表达分。
  - 正确做法: 将所有条形标准化为100%总高度，公平对比不同子组的条件分布。
- **错误做法:** 声称条件分布的可见差异证明变量之间存在因果关系
  - 原因: 混杂变量可能解释观测到的关联性，从观测性分类数据中无法得出任何因果结论。
  - 正确做法: 仅说明样本中存在关联性，并指出在没有随机实验的情况下无法推断因果关系。
- **错误做法:** 在图形展示中遗漏坐标轴标签或分段图例
  - 原因: AP评分标准会对第三方无法解读的无标注图表扣除全部分数。
  - 正确做法: 始终用解释变量标注x轴，用相对频率标注y轴，并为所有响应类别分段添加清晰图例。
- **错误做法:** 仅通过单个联合单元格的计数计算边际频率
  - 原因: 边际频率代表单个变量类别在第二个变量所有水平下的总计数，而不是单个单元格的计数。
  - 正确做法: 对列联表中对应整行或整列的所有计数求和，得到正确的边际总和。

## 速查表

| 度量 | 公式 | 考试应用场景 |
| --- | --- | --- |
| 联合相对频率 | 联合计数 / 总样本量 | 统计原始配对数据的比例 |
| 边际相对频率 | 边际总和 / 总样本量 | 单独描述单个变量的分布 |
| 条件相对频率 | 联合计数 / 子组边际总和 | 跨子组比较分布 |
| 100%分段条形图 | 等宽条形，高度按响应变量拆分 | 公平对比条件分布 |
| 马赛克图 | 条形宽度与子组大小成正比 | 同时可视化联合和条件分布 |

## 下一步

掌握双向表表示法是后续分类数据推断步骤的关键基础，包括占AP统计学自由作答部分15-20%的同质性和独立性卡方检验。你将复用这里学到的频率计算技能来验证期望计数、计算检验统计量，并评估样本数据中观测到的关联性能否推广到总体的假设检验的p值。本内容也与第二单元探索双变量关系的主题直接重叠，为分析分类和定量配对数据建立统一框架。

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