# 两个分类变量的汇总统计量

> AP 统计学 · AP 2024-2026 统计学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-statistics-u11-summary-statistics-for-two-categorical/

我们将介绍双向列联表的结构、三类相对频率的计算方法、分类变量关联性的检测，以及符合AP考试要求的分段条形图构建方法。

**先修:** [计算并解释单分类变量的相对频率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-statistics-u10-single-categorical-summary-stats/); [解读分类数据的单变量条形图](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-statistics-u9-univariate-categorical-visualizations/)

## 学习目标

- 从原始双向列联表中计算联合、边缘和条件相对频率
- 通过比较相对频率识别两个分类变量之间具有统计意义的关联性
- 构建标注完整的分段条形图以可视化两个分类变量之间的关系
- 选择正确的汇总统计量来回答AP考试中特定情境的研究问题

## 双向列联表的结构

双向列联表整理了由两个独立分类变量分类的观测值的原始计数数据。行代表第一个变量的类别，列代表第二个变量的类别，每个单元格存储属于对应行和列配对类别的观测值数量。

**双向列联表** — 汇总两个分类变量所有交叉分类类别配对的原始计数的表格，包含行总和、列总和与总合计。

*例:* 一份记录200份学生问卷回复的表格，行对应考试结果「通过/未通过」，列对应学习时长「学习不足5小时/学习5小时及以上」。

**例题:** 某学校记录了120名学生的信息：40名参加体育运动的9年级学生，30名不参加体育运动的9年级学生，25名参加体育运动的10年级学生，25名不参加体育运动的10年级学生。构建完整的双向列联表，包含所有合计项。

1. 将行定义为年级（9年级、10年级），列定义为体育参与情况（参加、不参加）
2. 将给定数值填入原始计数单元格
3. 计算行总和：9年级共70人，10年级共50人
4. 计算列总和：参加体育运动共65人，不参加体育运动共55人
5. 确认总合计等于120，与学生总人数匹配

**概念自测**

测试你对表格结构的理解：

1. 所有单个单元格计数的总和应当等于以下哪个值？

   - 所有行总和的和
   - 总样本量
   - 所有列总和的和
   - 以上全部

   *解析:* 对于构建正确的双向表，这三个值在数学上完全相等。

## 计算联合、边缘与条件相对频率

三类相对频率都使用双向表中的原始计数，但计算时使用的分母不同。分母是AP阅卷人在计算题中判定是否得满分的核心细节。

| 频率类型 | 分母 | 计算示例 |
| --- | --- | --- |
| 联合 | 总样本量 | 参加体育运动的9年级学生人数 / 120名总学生 |
| 边缘 | 总样本量 | 参加体育运动的总人数 / 120名总学生 |
| 条件 | 子组总规模 | 参加体育运动的人数 / 70名9年级总人数 |

**例题:** 使用上一示例中120名学生的双向表，计算不参加体育运动的10年级学生的联合相对频率、9年级学生的边缘相对频率，以及学生为10年级前提下参加体育运动的条件相对频率。

1. 联合相对频率：25名不参加体育运动的10年级学生 / 120名总学生 = 0.208，即20.8%
2. 9年级学生的边缘相对频率：70名9年级总人数 / 120名总学生 = 0.583，即58.3%
3. 10年级学生参加体育运动的条件相对频率：25名参加体育运动的10年级学生 / 50名10年级总人数 = 0.5，即50%

## 检测两个分类变量之间的关联性

如果一个变量的条件相对频率在第二个变量的所有类别中都完全相等，则两个分类变量不存在关联性（相互独立）。如果条件频率的差异达到显著程度，则两个变量存在关联性。

**例题:** 在我们的学生数据集中，9年级学生参加体育运动的条件相对频率为40/70 = 57.1%，10年级学生为50%。是否存在年级和体育参与情况之间有关联性的证据？

1. 直接比较两个条件相对频率：57.1% 和 50%
2. 注意到9年级学生参加体育运动的比例比10年级学生高7.1个百分点
3. 得出结论：该样本中年级和体育参与情况之间存在观测到的关联性

> **AP考试重要警告**
>
> 永远不能仅基于原始计数的差异就判定存在关联性。必须先将计数转换为相对频率，在比较总规模不等的子组时尤其如此。

> **考试提示:** AP考试中关联性相关的题目几乎总是要求你明确比较两个条件相对频率，而不能仅陈述趋势。

## 使用分段条形图可视化关系

分段条形图（也叫堆叠条形图）使用总高度相等的条形，按条件相对频率的比例分割为不同颜色的分段，让关联性一目了然。如果不存在关联性，所有条形的分段比例都完全相同。

**考试命令词**

该任务常见的AP考试指令术语：

- **Construct a segmented bar chart** — 你必须绘制总高度为100%的等宽条形，标注两个坐标轴，为分段添加图例，并标注所有类别组 *(2021年 AP 统计学自由问答题第3题c部分)*

**例题:** 概述为我们的年级和体育参与情况数据集绘制分段条形图的步骤

1. 绘制两个高度相等的条形，在x轴上分别标注为「9年级」和「10年级」
2. 将y轴标注为「相对频率」，刻度范围从0到1
3. 将9年级条形按57.1% / 42.9%的比例分割，分别对应参加体育运动/不参加体育运动
4. 将10年级条形按50% / 50%的比例分割，分别对应参加体育运动/不参加体育运动
5. 添加图例，为「参加体育运动」和「不参加体育运动」分配不同的颜色

## 常见错误

- **错误做法:** 在计算条件相对频率时使用总样本量作为分母
  - 原因: 这会得到联合频率值而非要求的条件值，导致AP自由问答题的该计算部分得0分
  - 正确做法: 在处理条件频率问题时，先明确识别限定的子组，再选择对应的分母
- **错误做法:** 使用原始计数而非相对频率来比较规模不等的子组
  - 原因: 规模更大的子组原始计数必然更高，会导致关于关联性的错误结论
  - 正确做法: 在进行任何跨组比较之前，先将所有计数转换为相对频率
- **错误做法:** 仅因为条件频率不完全相等就声称不存在关联性
  - 原因: 即使变量相互独立，随机抽样变异也会导致小的差异
  - 正确做法: 注意完全独立要求条件频率100%相等，只有当差异足够大、具有实际意义时才能判定存在关联性
- **错误做法:** 绘制总高度不相等的分段条形
  - 原因: AP阅卷人会因为该错误扣除一整分，因为不等高的条形会扭曲比例比较
  - 正确做法: 将所有条形的总高度设为1（100%），代表完整的条件相对频率分布
- **错误做法:** 在两个分类变量观测到关联性后得出存在因果关系的结论
  - 原因: 观测性双向表数据无法排除未被测量的混淆变量的影响
  - 正确做法: 仅声明观测到关联性存在，除非数据来自随机对照实验，否则永远不能声称存在因果关系

## 速查表

| 统计量类型 | 分母 | 核心用途 |
| --- | --- | --- |
| 联合相对频率 | 总样本量 | 属于某一特定交叉类别配对的观测值占比 |
| 边缘相对频率 | 总样本量 | 属于单个变量某一类别的观测值占比 |
| 条件相对频率 | 限定子组总规模 | 给定预定义条件下，属于目标组的观测值占比 |

## 下一步

掌握两个分类变量的汇总统计量是你后续学习卡方推断检验单元的关键基础，卡方检验是AP统计学考试中考察最多的分类数据假设检验方法。你将复用这里学到的相对频率计算技能，为卡方拟合优度检验、卡方独立性检验和卡方同质性检验计算期望计数，这些题型在选择题和自由问答题部分都占很高分值。你还将基于这些知识识别辛普森悖论——一个著名的统计异常现象，当第三个混淆分类变量被加入双向表时，观测到的关联趋势会发生反转。你可以通过下方的链接资源继续学习。

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