随机变量的参数

AP 统计学· 12 分钟阅读

1. 离散随机变量的期望值★☆☆☆☆⏱ 3 min

与有限数据集的样本均值不同，随机变量的期望值会为每个可能结果赋予其对应的概率权重，而非对每个观测值平等计数。它代表你将随机过程运行无限次后所能观测到的平均结果。

📘 定义

期望值

$E [X] = \sum x_{i} P (X = x_{i})$

每个可能结果乘以其对应发生概率后的总和

📐 例题

抛掷一枚公平的6面骰子，X为朝上一面显示的点数。计算X的期望值。

1
列出所有可能结果及其概率：1到6的每个x对应的P(X=x)均为1/6
2
$E[X] = (1 \times 1/6) + (2 \times 1/6) + (3 \times 1/6) + (4 \times 1/6) + (5 \times 1/6) + (6 \times 1/6)$
3
对各项求和得到E[X] = 21 / 6 = 3.5

✓ 快速检测

测试你对期望值计算的理解：

随机变量Y的取值为0、1、2，对应概率分别为0.4、0.4、0.2。E[Y]等于多少？
- 1.0
- 1.2
- 0.8
- 1.5
显示答案
1.0 —
00.4 + 10.4 + 2*0.2 = 0.8，正确答案为0.8

Exam tip:

即使所有结果都是整数，你也不需要将期望值四舍五入为整数；骰子点数的期望值为3.5是完全合理的结果。

2. 随机变量的方差与标准差★★☆☆☆⏱ 3 min

方差衡量所有可能结果围绕期望值的离散程度。它被计算为与均值的平方偏差的加权和，权重为每个结果的发生概率。标准差是方差的平方根，其计量单位与原始随机变量保持一致。

📘 定义

X的方差

$V a r (X) = E [(X - μ_{X})^{2}] = \sum (x_{i} - μ_{X})^{2} P (X = x_{i})$

结果与期望值的平方偏差的平均值

📐 例题

计算上一示例中6面骰子点数随机变量X的方差，已知 $μ_{X} = 3.5$ 。

1
计算每个结果的平方偏差： $(1 - 3.5)^{2} = 6.25$ ， $(2 - 3.5)^{2} = 2.25$ ， $(3 - 3.5)^{2} = 0.25$ ， $(4 - 3.5)^{2} = 0.25$ ， $(5 - 3.5)^{2} = 2.25$ ， $(6 - 3.5)^{2} = 6.25$
2
$Var(X) = (6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25) \times 1/6$
3
求和得到Var(X) = 17.5 / 6 ≈ 2.9167，因此 $σ_{X} \approx 1.708$

3. 线性变换的参数★★☆☆☆⏱ 3 min

当你对随机变量X应用线性变换Y = a + bX时，加法常数a会将所有结果平移相同的幅度，因此它只会将均值偏移a，不会改变离散度。缩放因子b会同时乘以均值和标准差，而方差则会乘以 $b^{2}$ 。

📐 例题

骰子每掷出1点你可以获得2美元，外加固定的5美元参与奖励。令Y为你的总收益，因此Y = 5 + 2X。求E[Y]和 $σ_{Y}$ 。

1
应用均值变换规则： $E [Y] = 5 + 2 E [X] = 5 + 2 (3.5) = 12$
2
应用标准差规则： $σ_{Y} = ∣2∣ \times σ_{X} \approx 2 \times 1.708 \approx 3.416$

Exam tip:

计算标准差时务必取b的绝对值，因为离散度不可能为负数。

4. 独立随机变量的和与差的参数★★★☆☆⏱ 3 min

对于任意两个随机变量，它们的和或差的均值始终等于各自均值的和或差。对于独立随机变量，它们的和或差的方差始终等于各自方差的和——即使计算两个变量的差值，你也永远不需要减去方差。

📐 例题

抛掷两枚独立的公平6面骰子，令X1为第一枚骰子的点数，X2为第二枚骰子的点数。求D = X1 - X2（两次点数的差值）的均值和方差。

1
D的均值： $μ_{D} = μ_{X 1} - μ_{X 2} = 3.5 - 3.5 = 0$
2
D的方差： $V a r (D) = V a r (X 1) + V a r (X 2) \approx 2.9167 + 2.9167 \approx 5.833$

5. 常见陷阱

错误做法:

计算两个随机变量差值时对方差做减法

原因:

方差是平方量，即使计算差值，离散度也不会相互抵消

正确做法:

对于独立随机变量的和与差，始终将方差相加

错误做法:

在Y = a + bX中用加法常数a乘以标准差

原因:

所有数值的统一平移不会改变分布的离散程度

正确做法:

标准差仅乘以|b|，忽略加法常数a

错误做法:

将离散结果的期望值四舍五入到最近整数

原因:

期望值是长期平均值，并非单次试验可能出现的结果

正确做法:

除非明确要求四舍五入，否则保留完整小数精度

错误做法:

对非独立随机变量应用方差加法规则

原因:

被忽略的协方差项会导致总方差的估计值偏高或偏低

正确做法:

在考试作答中相加方差前，先明确确认变量相互独立

错误做法:

使用等计数样本均值公式计算期望值

原因:

随机变量的结果具有不同的概率，不能对其平等取平均

正确做法:

使用结果乘以对应概率的加权求和公式

6. 速查表

变换/组合形式	均值结果	方差结果	标准差结果
原始X	$μ_{X}$	$V a r (X)$	$σ_{X}$
$Y = a + b X$	$a + b μ_{X}$	$b^{2} V a r (X)$	$∣ b ∣ σ_{X}$
$X + Y$ (独立)	$μ_{X} + μ_{Y}$	$V a r (X) + V a r (Y)$	$V a r (X) + V a r (Y)$
$X - Y$ (独立)	$μ_{X} - μ_{Y}$	$V a r (X) + V a r (Y)$	$V a r (X) + V a r (Y)$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · Paper 1
关于变换后赔付参数的自由作答题
2021 · Paper 2
关于独立方差求和的选择题
2019 · Paper 1
证明方差加法规则

下一步

熟练掌握这些参数规则是后续所有AP统计学概率分布相关内容的关键基础。你将使用这些完全相同的公式推导二项分布、几何分布等命名离散分布的标准期望值和方差，这些分布几乎在每一场AP考试的选择题和自由作答题中都会出现。后续你还会将这些组合规则扩展到大量独立随机变量，推导中心极限定理——这是整个AP统计学考试中权重最高的概念之一。这些规则也会直接用于后续推断部分，计算置信区间的标准误。