单一定量变量的图形表示

AP 统计学· 12 分钟阅读

1. 适用于小数据集的点图和茎叶图★★☆☆☆⏱ 3 min

点图和茎叶图是仅有的两种保留单个数据点数值的展示方式，非常适合观测值少于100个的小数据集。它们可以让你轻松发现聚类、间隙和单个异常值，这些信息在直方图这类聚合展示中会被隐藏。

📘 定义

茎叶图

茎 | 叶

将每个数据值拆分为前导的「茎」数字和末尾的「叶」数字，按升序垂直排列的展示方式

例:

对于数值12、15、21，茎叶图显示为 1 | 2 5，2 | 1

📐 例题

为以下12个学生考试分数构建茎叶图：62、67、71、74、75、78、82、83、83、89、91、95

1
将每个分数的十位数字识别为茎，范围从6到9
2
为每个茎按升序列出所有个位数字的叶
3
添加清晰的图例说明茎和叶的对应关系
4
$6 | 2 7 7 | 1 4 5 8 8 | 2 3 3 9 9 | 1 5 图例：6 | 2 = 62分$

2. 适用于大数据集的直方图★★★☆☆⏱ 3 min

直方图是大数据集最常考的图形展示方式，此时显示单个数据点并不现实。与用于分类数据的条形图不同，直方图的条形彼此相邻，以体现定量数据的连续性。

📘 定义

直方图

将连续定量值分组为有序、不重叠区间的图形展示方式，条形高度代表每个区间内观测值的频数或相对频数

📐 例题

为50名学生的身高构建直方图，分为5个等宽区间：140-150cm、150-160cm、160-170cm、170-180cm、180-190cm，对应频数为4、12、20、11、3

1
绘制水平轴，标注为身高（cm），明确标出区间边界
2
绘制垂直轴，标注为频数，范围从0到20
3
为每个区间绘制相邻的条形，高度与对应频数匹配
4
确认条形之间没有间隙，所有坐标轴都已完整标注

3. 箱线图和五数概括★★★☆☆⏱ 3 min

箱线图（也称为盒须图）非常适合并排比较多个分布，它将完整数据集浓缩为五数概括：最小值、Q1、中位数、Q3、最大值。它是唯一将异常值与其余数据分开明确标记的标准展示方式。

\text{异常值阈值 } = [Q_1 - 1.5 \times IQR, Q_3 + 1.5 \times IQR]

📐 例题

为五数概括为[22, 37, 49, 62, 88]、四分位距IQR=25、且存在一个值98高于上异常值阈值的数据集绘制箱线图

1
绘制范围从20到100的数轴
2
绘制从Q1=37延伸到Q3=62的箱体，在中位数49位置绘制一条竖线
3
从Q1向左绘制须线到最小非异常值22
4
从Q3向右绘制须线到最大非异常值88，将异常值98标记为单独的点

4. 选择正确的图形★★★★☆⏱ 3 min

方法对比

使用以下参考为任何考试场景选择最优展示方式：

点图

最适合n<50，需要显示单个点的场景

+ 优点: 无需数据聚合，容易发现聚类

− 缺点: 对于大数据集会显得杂乱

茎叶图

最适合n<100，需要保留精确数值的场景

+ 优点: 无需数据聚合，不需要特殊软件

− 缺点: 对于非常大的数据集不实用

直方图

最适合n>50，需要可视化整体分布形状的场景

+ 优点: 适用于任意大小的数据集

− 缺点: 隐藏单个数据点，对区间宽度敏感

箱线图

最适合并排比较3个以上分布的场景

+ 优点: 结构紧凑，明确标记异常值

− 缺点: 无法显示多峰性或间隙

✓ 快速检测

测试你对图形选择的理解：

要比较5个不同课时的考试分数分布，哪种图形最合适？
- A) 点图
- B) 箱线图
- C) 茎叶图
- D) 每个班级单独的直方图
显示答案
B —
并排箱线图是比较5个以上分布最紧凑清晰的方式。

5. 常见陷阱

错误做法:

在直方图中使用不等宽区间却不调整频数计数

原因:

这会扭曲相对组大小，使分布形状显示出错误的偏态

正确做法:

除非有明确理由，否则始终使用等宽区间，并清晰标注所有区间边界

错误做法:

忘记为茎叶图添加图例

原因:

AP阅卷人无法确认你正确拆分了茎和叶，会直接扣分

正确做法:

你构建的每一个茎叶图都必须添加一句话图例，没有例外

错误做法:

仅使用箱线图描述分布的对称性或偏态

原因:

箱线图无法显示定义真实分布形状的间隙、聚类或多峰性

正确做法:

仅从点图、茎叶图或直方图描述形状，注意箱线图无法确认分布的峰数

错误做法:

使用直方图展示无序分类数据

原因:

直方图的条形代表连续有序区间，不适用于无序分类组

正确做法:

直方图仅用于定量数据，所有分类数据都使用条形图展示

错误做法:

即使存在异常值，也将箱线图的须线一直延伸到最大值和最小值

原因:

这会隐藏异常值，违反AP评分标准中明确标记异常值的要求

正确做法:

始终将异常值标记为单独的点，须线仅延伸到最远的非异常值

6. 速查表

图形类型	理想数据集大小	显示单个点？	最佳使用场景
点图	n < 50	是	发现聚类和小间隙
茎叶图	n < 100	是	保留精确数据值
直方图	n > 50	否	可视化整体分布形状
箱线图	任意大小	否	并排比较3个以上分布

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · Paper 1
描述直方图的形状和异常值
2022 · Paper 2
根据给定数据集构建箱线图
2021 · Paper 1
比较直方图和点图的输出结果

下一步

掌握这些图形展示方式是AP统计学所有推断统计工作的基础，在进行假设检验或计算置信区间之前，你将经常需要使用这些图来证明分布形状和正态性假设。接下来你会将这些解释技能应用于比较两组分布，这是几乎每届AP统计学考试都会出现的3-5分FRQ题型。你还将学习识别选择题部分经常考的误导性可视化，避免掉入错误表示定量数据的常见干扰选项陷阱。在继续学习之前，请确认你可以从任意上述图形中描述任意分布的四个关键特征（形状、中心、离散程度、异常值）。