# 单一定量变量的图形表示

> AP 统计学 · AP 统计学 2024-2027
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-statistics-u10-graphical-representations-for-one-quantitative/

本模块将带你学习AP统计学考试要求的4种单一定量数据集核心图形展示方式的构建、解释和选择方法，以及如何准确描述分布以获得FRQ全部分数。

**先修:** [定量变量和分类变量的基本区分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-statistics-u10-quantitative-vs-categorical-variables/); [数据集五数概括的计算方法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-statistics-u10-measures-of-spread/)

## 学习目标

- 按照AP CED要求为单一定量数据集选择合适的图形展示方式
- 正确构建并解释点图、直方图、箱线图和茎叶图
- 从图形输出中描述分布的形状、中心、离散程度和异常值，以获得FRQ全部分数
- 识别AP考试中常考的定量图形常见误表示错误

## 适用于小数据集的点图和茎叶图

点图和茎叶图是仅有的两种保留单个数据点数值的展示方式，非常适合观测值少于100个的小数据集。它们可以让你轻松发现聚类、间隙和单个异常值，这些信息在直方图这类聚合展示中会被隐藏。

**茎叶图** — 将每个数据值拆分为前导的「茎」数字和末尾的「叶」数字，按升序垂直排列的展示方式

*记法:* 茎 | 叶

*例:* 对于数值12、15、21，茎叶图显示为 1 | 2 5，2 | 1

**例题:** 为以下12个学生考试分数构建茎叶图：62、67、71、74、75、78、82、83、83、89、91、95

1. 将每个分数的十位数字识别为茎，范围从6到9
2. 为每个茎按升序列出所有个位数字的叶
3. 添加清晰的图例说明茎和叶的对应关系
4. $$6 | 2 7 
7 | 1 4 5 8 
8 | 2 3 3 9 
9 | 1 5 
图例：6 | 2 = 62分$$

> **tip**
>
> 即使茎叶图其余部分完全正确，如果你忘记添加图例，AP阅卷人也会扣除0.5到1分。

## 适用于大数据集的直方图

直方图是大数据集最常考的图形展示方式，此时显示单个数据点并不现实。与用于分类数据的条形图不同，直方图的条形彼此相邻，以体现定量数据的连续性。

**直方图** — 将连续定量值分组为有序、不重叠区间的图形展示方式，条形高度代表每个区间内观测值的频数或相对频数

**例题:** 为50名学生的身高构建直方图，分为5个等宽区间：140-150cm、150-160cm、160-170cm、170-180cm、180-190cm，对应频数为4、12、20、11、3

1. 绘制水平轴，标注为身高（cm），明确标出区间边界
2. 绘制垂直轴，标注为频数，范围从0到20
3. 为每个区间绘制相邻的条形，高度与对应频数匹配
4. 确认条形之间没有间隙，所有坐标轴都已完整标注

**考试命令词**

直方图问题中常见的AP考试指令术语：

- **Describe the distribution** — 你必须明确提及形状、中心、离散程度和异常值才能获得全部分数

- **Compare the distributions** — 你必须对所有4个分布特征使用明确的比较性语言（例如「A组的中位数高于B组」）

## 箱线图和五数概括

箱线图（也称为盒须图）非常适合并排比较多个分布，它将完整数据集浓缩为五数概括：最小值、Q1、中位数、Q3、最大值。它是唯一将异常值与其余数据分开明确标记的标准展示方式。

$$\text{异常值阈值 } = [Q_1 - 1.5 \times IQR, Q_3 + 1.5 \times IQR]$$

**例题:** 为五数概括为[22, 37, 49, 62, 88]、四分位距IQR=25、且存在一个值98高于上异常值阈值的数据集绘制箱线图

1. 绘制范围从20到100的数轴
2. 绘制从Q1=37延伸到Q3=62的箱体，在中位数49位置绘制一条竖线
3. 从Q1向左绘制须线到最小非异常值22
4. 从Q3向右绘制须线到最大非异常值88，将异常值98标记为单独的点

> **warning**
>
> 绝对不要将须线一直延伸到异常值。异常值必须始终标记为独立于须线的单独点。

## 选择正确的图形

**方法对比**

使用以下参考为任何考试场景选择最优展示方式：

- **点图** — 最适合n<50，需要显示单个点的场景
  - 优点: 无需数据聚合，容易发现聚类
  - 缺点: 对于大数据集会显得杂乱

- **茎叶图** — 最适合n<100，需要保留精确数值的场景
  - 优点: 无需数据聚合，不需要特殊软件
  - 缺点: 对于非常大的数据集不实用

- **直方图** — 最适合n>50，需要可视化整体分布形状的场景
  - 优点: 适用于任意大小的数据集
  - 缺点: 隐藏单个数据点，对区间宽度敏感

- **箱线图** — 最适合并排比较3个以上分布的场景
  - 优点: 结构紧凑，明确标记异常值
  - 缺点: 无法显示多峰性或间隙

**概念自测**

测试你对图形选择的理解：

1. 要比较5个不同课时的考试分数分布，哪种图形最合适？

   - A) 点图
   - B) 箱线图
   - C) 茎叶图
   - D) 每个班级单独的直方图

   *解析:* 并排箱线图是比较5个以上分布最紧凑清晰的方式。

## 常见错误

- **错误做法:** 在直方图中使用不等宽区间却不调整频数计数
  - 原因: 这会扭曲相对组大小，使分布形状显示出错误的偏态
  - 正确做法: 除非有明确理由，否则始终使用等宽区间，并清晰标注所有区间边界
- **错误做法:** 忘记为茎叶图添加图例
  - 原因: AP阅卷人无法确认你正确拆分了茎和叶，会直接扣分
  - 正确做法: 你构建的每一个茎叶图都必须添加一句话图例，没有例外
- **错误做法:** 仅使用箱线图描述分布的对称性或偏态
  - 原因: 箱线图无法显示定义真实分布形状的间隙、聚类或多峰性
  - 正确做法: 仅从点图、茎叶图或直方图描述形状，注意箱线图无法确认分布的峰数
- **错误做法:** 使用直方图展示无序分类数据
  - 原因: 直方图的条形代表连续有序区间，不适用于无序分类组
  - 正确做法: 直方图仅用于定量数据，所有分类数据都使用条形图展示
- **错误做法:** 即使存在异常值，也将箱线图的须线一直延伸到最大值和最小值
  - 原因: 这会隐藏异常值，违反AP评分标准中明确标记异常值的要求
  - 正确做法: 始终将异常值标记为单独的点，须线仅延伸到最远的非异常值

## 速查表

| 图形类型 | 理想数据集大小 | 显示单个点？ | 最佳使用场景 |
| --- | --- | --- | --- |
| 点图 | n < 50 | 是 | 发现聚类和小间隙 |
| 茎叶图 | n < 100 | 是 | 保留精确数据值 |
| 直方图 | n > 50 | 否 | 可视化整体分布形状 |
| 箱线图 | 任意大小 | 否 | 并排比较3个以上分布 |

## 下一步

掌握这些图形展示方式是AP统计学所有推断统计工作的基础，在进行假设检验或计算置信区间之前，你将经常需要使用这些图来证明分布形状和正态性假设。接下来你会将这些解释技能应用于比较两组分布，这是几乎每届AP统计学考试都会出现的3-5分FRQ题型。你还将学习识别选择题部分经常考的误导性可视化，避免掉入错误表示定量数据的常见干扰选项陷阱。在继续学习之前，请确认你可以从任意上述图形中描述任意分布的四个关键特征（形状、中心、离散程度、异常值）。

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