AP 预备微积分向量

AP 预备微积分· AP Precalculus CED — Functions Involving Parameters, Vectors, and Matrices· 14 分钟阅读

1. 核心向量定义★★☆☆☆⏱ 3 min

向量是同时具有大小（模长）和方向的数学量，与之不同，标量仅具有大小。AP预备微积分考试中常见的例子包括位移、速度和力。向量占AP预备微积分考试总分的3-4%，会同时出现在选择题和自由作答题部分。

📘 定义

向量

Boldface $u, v$ or $v$ (handwritten); magnitude $∣ v ∣$

同时具有大小和方向的量。当且仅当两个向量的模长和方向都相同时，两个向量相等，与起点位置无关。位置向量的起点固定在原点 $(0, 0)$ 。

例:

向东北方向位移5英里是向量；5英里是标量。

2. 分量、模长和方向★★★☆☆⏱ 4 min

任意平面向量都可以分解为水平（ $x$ ）和垂直（ $y$ ）分量，分别对应沿两个坐标轴的位移。对于起点为 $P (x_{1}, y_{1})$ 、终点为 $Q (x_{2}, y_{2})$ 的向量，分量形式通过终点坐标减去起点坐标计算得到：

\vec{v} = \langle x_2 - x_1, y_2 - y_1 \rangle

对于 $v = ⟨ a, b ⟩$ ，其模长（长度）由勾股定理可得：

|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}

方向用标准位置角 $θ$ 表示，即从正 $x$ 轴逆时针测量的角度。从分量求 $θ$ ： $tan θ = \frac{b}{a}$ ，因此 $θ = arctan (\frac{b}{a})$ 加上象限修正：第二/三象限加 $18 0^{\circ}$ （或 $π$ 弧度），第四象限的负角度加 $36 0^{\circ}$ 。如果已知模长 $r = ∣ v ∣$ 和方向 $θ$ ，分量为 $a = r cos θ, b = r sin θ$ 。

📐 例题

求起点为 $P (- 2, 5)$ ，终点为 $Q (4, - 3)$ 的向量的分量形式、模长和方向。方向以从正 $x$ 轴逆时针测量的角度给出，结果保留一位小数。

1
用终点坐标减去起点坐标计算分量：
2
$x = 4 - (-2) = 6 \\ y = -3 - 5 = -8$
3
因此分量形式是 $v = ⟨ 6, - 8 ⟩$ 。
4
用勾股定理计算模长：
5
$|\vec{v}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$
6
计算反正切的原始结果： $tan θ = \frac{- 8}{6} = - \frac{4}{3}$ ，所以 $arctan (- \frac{4}{3}) \approx - 53. 1^{\circ}$ 。
7
修正象限： $x > 0$ 且 $y < 0$ 说明 $v$ 位于第四象限，因此加上 $36 0^{\circ}$ ：
8
$\theta = -53.1^\circ + 360^\circ = 306.9^\circ$
9
最终结果： $v = ⟨ 6, - 8 ⟩$ ， $∣ v ∣ = 10$ ， $θ = 306. 9^{\circ}$ 。

Exam tip:

在给出方向角之前，一定要在坐标网格上快速画出向量，避免象限修正错误。

3. 向量加法和标量乘法★★★☆☆⏱ 4 min

向量加法由两个输入向量得到一个合向量。代数上，分量形式的向量加法始终是按分量进行的：

\vec{u} + \vec{v} = \langle u_1 + v_1, u_2 + v_2 \rangle

标量乘法将向量乘以实标量 $k$ ，缩放其模长，若 $k$ 为负则反转方向。该运算同样按分量进行：

k\vec{u} = \langle k u_1, k u_2 \rangle

单位向量是模长为1的向量，仅用于表示方向。要得到非零 $v$ 方向上的单位向量，将其除以模长： $\overset{v}{^} = \frac{1}{∣ v ∣} v$ 。标准单位向量是 $\hat{i} = ⟨ 1, 0 ⟩$ 和 $\hat{j} = ⟨ 0, 1 ⟩$ ，因此任意向量 $⟨ a, b ⟩$ 都可以写成 $a \hat{i} + b \hat{j}$ 。

📐 例题

设 $u = 3 \hat{i} - 2 \hat{j}$ 且 $v = - \hat{i} + 5 \hat{j}$ 。求 $2 u - 3 v$ ，再求 $2 u - 3 v$ 方向上的单位向量。

1
将向量改写为分量形式： $u = ⟨ 3, - 2 ⟩$ ， $v = ⟨ - 1, 5 ⟩$ 。
2
对每一项分别进行标量乘法：
3
$2\vec{u} = \langle 6, -4 \rangle \\ -3\vec{v} = \langle 3, -15 \rangle$
4
按分量相加得到结果：
5
$2\vec{u} - 3\vec{v} = \langle 6 + 3, -4 - 15 \rangle = \langle 9, -19 \rangle$
6
计算结果向量的模长：
7
$|\langle 9, -19 \rangle| = \sqrt{9^2 + (-19)^2} = \sqrt{442}$
8
除以模长得到单位向量，有理化分母后：
9
$\hat{w} = \left\langle \frac{9\sqrt{442}}{442}, \frac{-19\sqrt{442}}{442} \right\rangle$

Exam tip:

将标量倍数的减法改写为负标量倍数的加法，例如 $2 u - 3 v = 2 u + (- 3) v$ ，可以避免分配时的符号错误。

4. 点积和向量投影★★★★☆⏱ 4 min

点积（也称为标量积）是接收两个向量输入、返回一个标量（不是向量）的运算。对于 $u = ⟨ u_{1}, u_{2} ⟩$ 和 $v = ⟨ v_{1}, v_{2} ⟩$ ：

\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2

点积与两个向量之间的夹角 $θ$ （介于 $0^{\circ}$ 和 $18 0^{\circ}$ 之间）满足恒等式：

\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta

AP考试中两个核心用途是：1) 检验正交性（垂直性）：当且仅当两个向量的点积为零时，它们正交；2) 求一个向量在另一个向量上的投影，也就是 $u$ 在包含 $v$ 的直线上的投影。 $u$ 在 $v$ 上的向量投影公式为：

\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2}\right)\vec{v}

📐 例题

设 $u = ⟨ 4, 2 ⟩$ 且 $v = ⟨ - 3, 6 ⟩$ 。(a) 验证这两个向量正交，(b) 求 $u$ 在 $v$ 上的向量投影。

1
对于(a)问，计算点积：
2
$\vec{u} \cdot \vec{v} = (4)(-3) + (2)(6) = -12 + 12 = 0$
3
由于点积为零，验证得到两个向量正交。
4
对于(b)问，首先计算 $∣ v ∣^{2}$ ：
5
$|\vec{v}|^2 = (-3)^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$
6
代入投影公式：
7
$\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \left(\frac{0}{45}\right)\langle -3, 6 \rangle = \langle 0, 0 \rangle$
8
这个结果在几何上合理：如果两个向量正交， $u$ 没有沿 $v$ 方向的分量，因此投影是零向量。

Exam tip:

记住向量投影的分母是 $∣ v ∣^{2}$ ，标量投影的分母是 $∣ v ∣$ 。解题前先写下两个公式，避免混淆。

5. AP风格概念检验★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题检验你的理解：

下列哪个是与 $v = ⟨ 2, - 5 ⟩$ 正交的单位向量？
- A) $⟨ \frac{2}{29}, \frac{- 5}{29} ⟩$
- B) $⟨ \frac{5}{29}, \frac{2}{29} ⟩$
- C) $⟨ 5, 2 ⟩$
- D) $⟨ \frac{- 2}{29}, \frac{5}{29} ⟩$
显示答案
1 —
正确。该向量与 $v$ 的点积为0且模长为1，满足两个要求。验证： $v \cdot ⟨ 5/ 29, 2/ 29 ⟩ = (2) (5/ 29) + (- 5) (2/ 29) = 0$ ，且 $(5/ 29)^{2} + (2/ 29)^{2} = 29/29 = 1$ 。

6. 常见陷阱

错误做法:

对于第二象限的向量 $⟨ - 3, 4 ⟩$ ，你将 $arctan (4/ - 3) = - 53. 1^{\circ}$ 作为最终方向结果。

原因:

反正切的值域仅为 $- 9 0^{\circ}$ 到 $9 0^{\circ}$ ，无法自动修正第二、三象限向量的角度。

正确做法:

一定要先画出向量确认所在象限，第二、三象限加 $18 0^{\circ}$ ，第四象限的负角度加 $36 0^{\circ}$ 。

错误做法:

计算 $2 u - 3 v$ （ $u = ⟨ 1, 2 ⟩$ ， $v = ⟨ 3, 4 ⟩$ ）时，你只给第一个分量分配了负号，得到 $⟨ - 1, - 8 ⟩$ 。

原因:

学生做减法时常忘记将负号分配给 $3 v$ 的两个分量。

正确做法:

先分别计算每个标量乘法，包括负号，再按分量相加。

错误做法:

你计算 $⟨ 2, 3 ⟩$ 和 $⟨ 4, 5 ⟩$ 的点积得到 $⟨ 8, 15 ⟩$ ，结果是向量而非标量。

原因:

学生混淆了点积和按分量乘法。

正确做法:

点积总是将对应分量的乘积相加，因此结果是单个实数，不是向量。

错误做法:

求从 $P (x_{1}, y_{1})$ 到 $Q (x_{2}, y_{2})$ 的向量时，你计算分量得到 $⟨ x_{1} - x_{2}, y_{1} - y_{2} ⟩$ 。

原因:

学生混淆了起点和终点的减法顺序。

正确做法:

记住规则：分量始终是终点坐标减去起点坐标。

错误做法:

你计算 $u$ 在 $v$ 上的向量投影为 $(\frac{u \cdot v}{∣ v ∣}) v$ 。

原因:

学生混淆了标量投影和向量投影的公式。

正确做法:

代入数值前，在草稿纸上清晰标注两个公式。

错误做法:

你认为两个向量模长相同就相等，即使它们方向不同。

原因:

学生忘记了相等向量的完整定义。

正确做法:

确认两个向量相等前，一定要同时检查模长和方向都匹配。

7. 速查表

类别	公式	注释
两点求分量	$v = ⟨ x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1} ⟩$	$(x_{1}, y_{1})$ = 起点， $(x_{2}, y_{2})$ = 终点；始终终点减起点
模长	$∣ ⟨ a, b ⟩ ∣ = a^{2} + b^{2}$	恒为非负，等于向量的长度
由模长/方向求分量	$a = r cos θ, b = r sin θ$	$θ$ = 正 $x$ 轴逆时针测量的标准角度
向量加法	$u + v = ⟨ u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2} ⟩$	按分量运算
标量乘法	$k u = ⟨ k u_{1}, k u_{2} ⟩$	负 $k$ 反转方向；新模长 = $∣ k ∣∣ u ∣$
单位向量	$\overset{v}{^} = \frac{1}{∣ v ∣} v$	模长为1，与原向量方向相同
点积	$u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2}$	结果是标量，不是向量
两向量夹角	$cos θ = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣∣ v ∣}$	$θ$ 范围从 $0^{\circ}$ （同向平行）到 $18 0^{\circ}$ （反向平行）
正交向量	$u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$	适用于互相垂直的向量
向量投影	$proj_{v} u = (\frac{u \cdot v}{∣ v ∣ ^{2}}) v$	$u$ 在 $v$ 上的投影是沿 $v$ 方向的向量

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

向量是AP预备微积分第4单元所有剩余内容的基础。接下来，你会应用向量加法和分量运算，用参数方程将运动物体的位置建模为时间的函数。如果没有扎实掌握向量分量和模长，你将无法计算参数定义运动的速度、速率或加速度，而这是考试中高占比的自由作答题考点。向量也为平面矩阵变换打下基础，在矩阵变换中向量表示待变换的点。