# AP 预备微积分 向量

> AP 预备微积分 · 第4单元：含参数的函数、向量和矩阵
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-vectors/

本指南涵盖AP预备微积分第4单元的核心向量概念，包括符号表示、分量、模长、方向、向量运算、点积、投影以及位移和运动的应用，符合College Board CED要求。

**先修:** 笛卡尔坐标几何; 直角三角形三角学; 基础代数运算

## 学习目标

- 定义向量并区分向量与标量
- 计算平面向量的分量形式、模长和方向
- 进行向量加法和标量乘法运算
- 计算点积并求向量间的夹角
- 计算向量投影并检验正交性
- 应用向量解决位移和平面运动问题

## 核心向量定义

向量是同时具有大小（模长）和方向的数学量，与之不同，标量仅具有大小。常见的例子包括位移、速度和力。注意：Unit 4 不在 AP 预备微积分考试范围内（考试仅考查第 1–3 单元）；向量属教师自选／延伸内容，为后续 STEM 课程打基础。

**向量** — 同时具有大小和方向的量。当且仅当两个向量的模长和方向都相同时，两个向量相等，与起点位置无关。位置向量的起点固定在原点$(0,0)$。

*记法:* Boldface $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ or $\vec{v}$ (handwritten); magnitude $|\vec{v}|$

*例:* 向东北方向位移5英里是向量；5英里是标量。

## 分量、模长和方向

任意平面向量都可以分解为水平（$x$）和垂直（$y$）分量，分别对应沿两个坐标轴的位移。对于起点为$P(x_1,y_1)$、终点为$Q(x_2,y_2)$的向量，分量形式通过终点坐标减去起点坐标计算得到：

$$\vec{v} = \langle x_2 - x_1, y_2 - y_1 \rangle$$

对于$\vec{v} = \langle a, b \rangle$，其模长（长度）由勾股定理可得：

$$|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

方向用标准位置角$\theta$表示，即从正$x$轴逆时针测量的角度。从分量求$\theta$：$\tan\theta = \frac{b}{a}$，因此$\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$加上象限修正：第二/三象限加$180^\circ$（或$\pi$弧度），第四象限的负角度加$360^\circ$。如果已知模长$r=|\vec{v}|$和方向$\theta$，分量为$a = r\cos\theta, b = r\sin\theta$。

**例题:** 求起点为$P(-2, 5)$，终点为$Q(4, -3)$的向量的分量形式、模长和方向。方向以从正$x$轴逆时针测量的角度给出，结果保留一位小数。

1. 用终点坐标减去起点坐标计算分量：
2. $$x = 4 - (-2) = 6 \\ y = -3 - 5 = -8$$
3. 因此分量形式是 $\vec{v} = \langle 6, -8 \rangle$。
4. 用勾股定理计算模长：
5. $$|\vec{v}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$
6. 计算反正切的原始结果：$\tan\theta = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$，所以 $\arctan\left(-\frac{4}{3}\right) \approx -53.1^\circ$。
7. 修正象限：$x>0$ 且 $y<0$ 说明$\vec{v}$位于第四象限，因此加上$360^\circ$：
8. $$\theta = -53.1^\circ + 360^\circ = 306.9^\circ$$
9. 最终结果：$\vec{v} = \langle 6, -8 \rangle$，$|\vec{v}| = 10$，$\theta = 306.9^\circ$。

> **考试提示:** 在给出方向角之前，一定要在坐标网格上快速画出向量，避免象限修正错误。

## 向量加法和标量乘法

向量加法由两个输入向量得到一个合向量。代数上，分量形式的向量加法始终是按分量进行的：

$$\vec{u} + \vec{v} = \langle u_1 + v_1, u_2 + v_2 \rangle$$

标量乘法将向量乘以实标量$k$，缩放其模长，若$k$为负则反转方向。该运算同样按分量进行：

$$k\vec{u} = \langle k u_1, k u_2 \rangle$$

单位向量是模长为1的向量，仅用于表示方向。要得到非零$\vec{v}$方向上的单位向量，将其除以模长：$\hat{v} = \frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v}$。标准单位向量是$\hat{i} = \langle 1, 0 \rangle$和$\hat{j} = \langle 0, 1 \rangle$，因此任意向量$\langle a, b \rangle$都可以写成$a\hat{i} + b\hat{j}$。

**例题:** 设 $\vec{u} = 3\hat{i} - 2\hat{j}$ 且 $\vec{v} = -\hat{i} + 5\hat{j}$。求 $2\vec{u} - 3\vec{v}$，再求 $2\vec{u} - 3\vec{v}$ 方向上的单位向量。

1. 将向量改写为分量形式：$\vec{u} = \langle 3, -2 \rangle$，$\vec{v} = \langle -1, 5 \rangle$。
2. 对每一项分别进行标量乘法：
3. $$2\vec{u} = \langle 6, -4 \rangle \\ -3\vec{v} = \langle 3, -15 \rangle$$
4. 按分量相加得到结果：
5. $$2\vec{u} - 3\vec{v} = \langle 6 + 3, -4 - 15 \rangle = \langle 9, -19 \rangle$$
6. 计算结果向量的模长：
7. $$|\langle 9, -19 \rangle| = \sqrt{9^2 + (-19)^2} = \sqrt{442}$$
8. 除以模长得到单位向量，有理化分母后：
9. $$\hat{w} = \left\langle \frac{9\sqrt{442}}{442}, \frac{-19\sqrt{442}}{442} \right\rangle$$

> **考试提示:** 将标量倍数的减法改写为负标量倍数的加法，例如 $2\vec{u} - 3\vec{v} = 2\vec{u} + (-3)\vec{v}$，可以避免分配时的符号错误。

## 点积和向量投影

点积（也称为标量积）是接收两个向量输入、返回一个标量（不是向量）的运算。对于$\vec{u} = \langle u_1, u_2 \rangle$ 和 $\vec{v} = \langle v_1, v_2 \rangle$：

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$$

点积与两个向量之间的夹角$\theta$（介于 $0^\circ$ 和 $180^\circ$ 之间）满足恒等式：

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$$

点积的两个核心用途是：1) 检验正交性（垂直性）：当且仅当两个向量的点积为零时，它们正交；2) 求一个向量在另一个向量上的投影，也就是$\vec{u}$在包含$\vec{v}$的直线上的投影。$\vec{u}$在$\vec{v}$上的向量投影公式为：

$$\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2}\right)\vec{v}$$

**例题:** 设 $\vec{u} = \langle 4, 2 \rangle$ 且 $\vec{v} = \langle -3, 6 \rangle$。(a) 验证这两个向量正交，(b) 求$\vec{u}$在$\vec{v}$上的向量投影。

1. 对于(a)问，计算点积：
2. $$\vec{u} \cdot \vec{v} = (4)(-3) + (2)(6) = -12 + 12 = 0$$
3. 由于点积为零，验证得到两个向量正交。
4. 对于(b)问，首先计算$|\vec{v}|^2$：
5. $$|\vec{v}|^2 = (-3)^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$$
6. 代入投影公式：
7. $$\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \left(\frac{0}{45}\right)\langle -3, 6 \rangle = \langle 0, 0 \rangle$$
8. 这个结果在几何上合理：如果两个向量正交，$\vec{u}$没有沿$\vec{v}$方向的分量，因此投影是零向量。

> **考试提示:** 记住向量投影的分母是$|\vec{v}|^2$，标量投影的分母是$|\vec{v}|$。解题前先写下两个公式，避免混淆。

## AP风格概念检验

**概念自测**

用这道AP风格的选择题检验你的理解：

1. 下列哪个是与 $\vec{v} = \langle 2, -5 \rangle$ 正交的单位向量？

   - A) $\left\langle \frac{2}{\sqrt{29}}, \frac{-5}{\sqrt{29}} \right\rangle$
   - B) $\left\langle \frac{5}{\sqrt{29}}, \frac{2}{\sqrt{29}} \right\rangle$
   - C) $\langle 5, 2 \rangle$
   - D) $\left\langle \frac{-2}{\sqrt{29}}, \frac{5}{\sqrt{29}} \right\rangle$

   *答案:* B) $\left\langle \frac{5}{\sqrt{29}}, \frac{2}{\sqrt{29}} \right\rangle$

   *解析:* 正确。该向量与$\vec{v}$的点积为0且模长为1，满足两个要求。验证：$\vec{v} \cdot \langle 5/\sqrt{29}, 2/\sqrt{29} \rangle = (2)(5/\sqrt{29}) + (-5)(2/\sqrt{29}) = 0$，且 $(5/\sqrt{29})^2 + (2/\sqrt{29})^2 = 29/29 = 1$。

## 常见错误

- **错误做法:** 对于第二象限的向量 $\langle -3, 4 \rangle$，你将 $\arctan(4/-3) = -53.1^\circ$ 作为最终方向结果。
  - 原因: 反正切的值域仅为$-90^\circ$到$90^\circ$，无法自动修正第二、三象限向量的角度。
  - 正确做法: 一定要先画出向量确认所在象限，第二、三象限加$180^\circ$，第四象限的负角度加$360^\circ$。
- **错误做法:** 计算 $2\vec{u} - 3\vec{v}$（$\vec{u} = \langle 1, 2 \rangle$，$\vec{v} = \langle 3, 4 \rangle$）时，你只给第一个分量分配了负号，得到 $\langle -1, -8 \rangle$。
  - 原因: 学生做减法时常忘记将负号分配给$3\vec{v}$的两个分量。
  - 正确做法: 先分别计算每个标量乘法，包括负号，再按分量相加。
- **错误做法:** 你计算$\langle 2,3 \rangle$和$\langle 4,5 \rangle$的点积得到$\langle 8, 15 \rangle$，结果是向量而非标量。
  - 原因: 学生混淆了点积和按分量乘法。
  - 正确做法: 点积总是将对应分量的乘积相加，因此结果是单个实数，不是向量。
- **错误做法:** 求从 $P(x_1,y_1)$ 到 $Q(x_2,y_2)$ 的向量时，你计算分量得到 $\langle x_1 - x_2, y_1 - y_2 \rangle$。
  - 原因: 学生混淆了起点和终点的减法顺序。
  - 正确做法: 记住规则：分量始终是终点坐标减去起点坐标。
- **错误做法:** 你计算$\vec{u}$在$\vec{v}$上的向量投影为 $\left(\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}\right)\vec{v}$。
  - 原因: 学生混淆了标量投影和向量投影的公式。
  - 正确做法: 代入数值前，在草稿纸上清晰标注两个公式。
- **错误做法:** 你认为两个向量模长相同就相等，即使它们方向不同。
  - 原因: 学生忘记了相等向量的完整定义。
  - 正确做法: 确认两个向量相等前，一定要同时检查模长和方向都匹配。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 两点求分量 | $\vec{v} = \langle x_2 - x_1, y_2 - y_1 \rangle$ | $(x_1,y_1)$ = 起点，$(x_2,y_2)$ = 终点；始终终点减起点 |
| 模长 | $\|\langle a,b \rangle\| = \sqrt{a^2 + b^2}$ | 恒为非负，等于向量的长度 |
| 由模长/方向求分量 | $a = r\cos\theta, \, b = r\sin\theta$ | $\theta$ = 正$x$轴逆时针测量的标准角度 |
| 向量加法 | $\vec{u} + \vec{v} = \langle u_1 + v_1, u_2 + v_2 \rangle$ | 按分量运算 |
| 标量乘法 | $k\vec{u} = \langle k u_1, k u_2 \rangle$ | 负$k$反转方向；新模长 = $\|k\|\|\vec{u}\|$ |
| 单位向量 | $\hat{v} = \frac{1}{\|\vec{v}\|}\vec{v}$ | 模长为1，与原向量方向相同 |
| 点积 | $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2$ | 结果是标量，不是向量 |
| 两向量夹角 | $\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$ | $\theta$范围从$0^\circ$（同向平行）到$180^\circ$（反向平行） |
| 正交向量 | $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ | 适用于互相垂直的向量 |
| 向量投影 | $\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \left(\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^2}\right)\vec{v}$ | $\vec{u}$在$\vec{v}$上的投影是沿$\vec{v}$方向的向量 |

## 下一步

向量是AP预备微积分第4单元所有剩余内容的基础。接下来，你会应用向量加法和分量运算，用参数方程将运动物体的位置建模为时间的函数。如果没有扎实掌握向量分量和模长，你将无法计算参数定义运动的速度、速率或加速度。向量也为平面矩阵变换打下基础，在矩阵变换中向量表示待变换的点。

- [第4单元总览](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-overview/)
- [向量值函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-vector-valued-functions/)
- [矩阵](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-matrices/)

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