向量值函数

AP 预备微积分· AP Precalculus CED — 含参数、向量与矩阵的函数· 14 分钟阅读

1. 向量值函数的定义★☆☆☆☆⏱ 3 min

向量值函数（常简称为向量函数）输入单个标量（AP预备微积分题目中最常见的输入是时间 $t$ ），输出一个向量。在AP预备微积分中，我们几乎只研究二维向量值函数。

📘 定义

二维向量值函数

$r (t) = ⟨ x (t), y (t)⟩$

输入为标量 $t$ 、输出为二维向量的函数，其中 $x (t)$ 和 $y (t)$ 是标量分量函数。当 $t$ 表示时间时， $r (t)$ 称为运动物体的位置函数。

例:

$r (t) = ⟨ t^{2}, 2 t + 1 ⟩$ 的分量为 $x (t) = t^{2}$ ， $y (t) = 2 t + 1$

本内容占AP预备微积分考试总分的1-2%左右，会出现在选择题和自由作答题部分。最常见的考点是运动建模，它整合了你之前学过的参数方程和单变量微积分知识。

2. 向量值函数的极限与连续性★★☆☆☆⏱ 4 min

🚫 计算器禁用

AP预备微积分中，向量值函数的所有运算都按分量进行：我们对每个分量分别应用单变量函数的相同规则。对于极限，规则如下：

lim_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \left\langle \lim_{t \to a} x(t), \lim_{t \to a} y(t) \right\rangle

连续性的定义与单变量函数相同：当且仅当 $lim_{t \to a} r (t) = r (a)$ 时， $r (t)$ 在 $t = a$ 处连续。这意味着两个分量都必须在 $a$ 处连续，且 $r (a)$ 必须有定义。

📐 例题

已知 $r (t) = ⟨ \frac{t ^{2} - 4}{t - 2}, \frac{3 t ^{2} - 2 t - 8}{t - 2} ⟩$ ，求 $lim_{t \to 2} r (t)$ ，并判断 $r (t)$ 在 $t = 2$ 处是否连续。

1
先求x分量的极限。对分子因式分解： $t^{2} - 4 = (t - 2) (t + 2)$ 。当 $t \neq = 2$ 时约去 $(t - 2)$ ，得 $x (t) = t + 2$ 。
2
$\lim_{t \to 2} x(t) = 2 + 2 = 4$
3
再求y分量的极限。对分子因式分解： $3 t^{2} - 2 t - 8 = (3 t + 4) (t - 2)$ 。当 $t \neq = 2$ 时约去 $(t - 2)$ ，得 $y (t) = 3 t + 4$ 。
4
$\lim_{t \to 2} y(t) = 3(2) + 4 = 10$
5
将各分量的极限合并，得到整体极限：
6
$\lim_{t \to 2} \mathbf{r}(t) = \langle 4, 10 \rangle$
7
检验连续性：由于两个分量的分母在 $t = 2$ 处都为零， $r (2)$ 无定义。因为 $lim_{t \to 2} r (t) \neq = r (2)$ ，所以 $r (t)$ 在 $t = 2$ 处不连续。

Exam tip:

在判定向量极限存在前，一定要先确认两个分量的极限都存在；只要有一个分量不存在极限，整个向量的极限就不存在。

3. 导数、速度矢量与速率★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

向量值函数导数的定义与单变量函数导数完全相同，都是差商的极限，可简化为按分量求导：

\mathbf{r}'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\mathbf{r}(t + \Delta t) - \mathbf{r}(t)}{\Delta t} = \langle x'(t), y'(t) \rangle

几何意义上， $r^{'} (t)$ 是参数曲线在参数 $t$ 处的切向量，指向 $t$ 增大的方向。物理意义上，当 $r (t)$ 是运动物体的位置函数时：

$r^{'} (t)$ = 速度矢量（同时包含方向和大小的矢量）
$∣ r^{'} (t) ∣$ = 速率（非负标量，即速度矢量的大小）
$r^{''} (t)$ = 加速度矢量（速度矢量的导数）

📐 例题

已知 $t \geq 0$ 时物体的位置函数为 $r (t) = ⟨ t^{2} + 2 t, cos (2 t)⟩$ ，求 $r^{'} (t)$ 以及 $t = π /4$ 时物体的速率。

1
对x分量求导： $x (t) = t^{2} + 2 t$ ，因此
2
$x'(t) = 2t + 2$
3
用链式法则对y分量求导： $y (t) = cos (2 t)$ ，因此
4
$y'(t) = -2\sin(2t)$
5
由此得到速度矢量 $r^{'} (t) = ⟨ 2 t + 2, - 2 sin (2 t)⟩$ 。代入 $t = π /4$ 计算：
6
$x'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2} + 2, \quad y'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -2$
7
速率等于速度矢量的模长，计算得：
8
$\text{速率} = \sqrt{\left(\frac{\pi}{2} + 2\right)^2 + (-2)^2} = \sqrt{\frac{\pi^2}{4} + 2\pi + 8}$

📐 例题

一架无人机在时刻 $t$ （ $0 \leq t \leq 10$ ，单位：米）的位置为 $r (t) = ⟨ 3 t, - 0.1 t^{2} + 4 t ⟩$ 。求 $t = 5$ 秒时的速度矢量和速率，并解释分量的含义。

1
按分量求导得到速度矢量：
2
$\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = \langle 3, -0.2t + 4 \rangle$
3
代入 $t = 5$ 计算：
4
$\mathbf{v}(5) = \langle 3, 3 \rangle \text{ m/s}$
5
计算速率（即模长）：
6
$|\mathbf{v}(5)| = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2} \approx 4.24 \text{ m/s}$
7
解释：x分量为3 m/s，表示在 $t = 5$ 时刻，无人机向东方向的位置以3 m/s的速率增加；y分量为3 m/s，表示向北方向的位置也以3 m/s的速率增加。

Exam tip:

一定要看清题目问的是速度矢量还是速率：速度矢量是矢量，速率是标量（速度矢量的大小）。AP考试经常考查这个术语区分，所以开始解题前先圈出关键词。

4. 向量值函数与参数曲线★★☆☆☆⏱ 3 min

任意二维向量值函数 $r (t) = ⟨ x (t), y (t)⟩$ 都对应xy平面上的一条参数曲线， $r (t)$ 是从原点到曲线上点 $(x (t), y (t))$ 的位置向量。要转换为直角坐标方程（不含 $t$ 的x、y方程），可以用普通参数方程消参的相同方法消去参数 $t$ 。

必须注意原函数中 $t$ 的范围限制，因为这些限制会对应为直角坐标曲线的定义域/值域限制。 $t$ 受限只会得到完整隐曲线的一部分。

📐 例题

已知 $0 \leq t \leq 2 π$ 时曲线由 $r (t) = ⟨ 2 cos t, 3 sin t ⟩$ 定义，求曲线的直角坐标方程，并判断曲线类型。

1
令 $x = 2 cos t$ ， $y = 3 sin t$ ，整理后分离出三角函数项：
2
$\cos t = \frac{x}{2}, \quad \sin t = \frac{y}{3}$
3
利用勾股恒等式 $cos^{2} t + sin^{2} t = 1$ 代入：
4
$\left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{3}\right)^2 = 1$
5
化简并确认范围：由于 $t$ 从 $0$ 取到 $2 π$ ，因此 $x \in [- 2, 2]$ ， $y \in [- 3, 3]$ ，这是完整的椭圆：
6
$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题检验你的理解：

已知位置函数为 $r (t) = ⟨ t^{3} - 4 t, ln (t + 1)⟩$ ， $t = 1$ 时物体的速度矢量和速率分别是下列哪一项？
- A) 速度矢量 $⟨ - 1, 1/2 ⟩$ ，速率 $5 /2$
- B) 速度矢量 $⟨ - 1, 1/2 ⟩$ ，速率 $- 1/2$
- C) 速度矢量 $⟨ - 1, 1 ⟩$ ，速率 $5 /2$
- D) 速度矢量 $⟨ 1, 1/2 ⟩$ ，速率 $5 /2$
显示答案
A —
速度矢量是按分量求导的结果： $t = 1$ 时 $x^{'} (t) = 3 t^{2} - 4 = - 1$ ， $y^{'} (t) = 1/ (t + 1) = 1/2$ 。速率是模长： $(- 1)^{2} + (1/2)^{2} = 5 /2$ ，对应选项A。

Exam tip:

如果参数 $t$ 有范围限制，一定要在直角坐标方程旁写出 $x$ （必要时还有 $y$ ）的定义域限制；AP选择题经常把无限制的完整曲线作为干扰项。

5. 常见陷阱

错误做法:

约去 $(t - a)$ 求出 $lim_{t \to a} r (t)$ 后，就判定 $r (t)$ 在 $t = a$ 处连续。

原因:

你混淆了极限存在与连续性的要求：连续性要求极限等于函数在 $t = a$ 处的函数值。

正确做法:

求出极限后，在判定连续性前，必须明确计算 $r (a)$ ，并确认它等于极限值。

错误做法:

求 $r^{'} (t)$ 时，你把 $y (t) = sin (3 t)$ 的导数算成 $y^{'} (t) = cos (3 t)$ ，忘记对内函数应用链式法则。

原因:

你习惯了按分量求导后，就跳过了复合函数的检查。

正确做法:

对所有分量求导后，重新检查每个复合函数，确认你应用了链式法则。

错误做法:

题目要求求速率时，你输出了速度矢量而不是它的模长。

原因:

你混淆了速度矢量（矢量）和速率（标量）的定义。

正确做法:

在题目中圈出关键词"速率"，求出速度矢量后一定要计算模长。

错误做法:

对于 $r (t) = ⟨ e^{t}, e^{2 t} + 1 ⟩$ ，你把直角坐标方程写成完整抛物线 $y = x^{2} + 1$ 。

原因:

你忘记了 $e^{t} = x$ 恒为正，因此原函数要求 $x > 0$ 。

正确做法:

消去参数后，一定要加上原 $t$ 定义域隐含的定义域限制。

错误做法:

你把模长算成 $∣ ⟨ a, b ⟩ ∣ = a + b$ ，而没有用勾股定理。

原因:

做完其他按分量运算后，你混淆了分量加法和向量模长。

正确做法:

无论分量是什么，模长都要用 $∣ ⟨ a, b ⟩ ∣ = a^{2} + b^{2}$ 计算。

6. 速查表

类别	公式/规则	注释
二维向量值函数	$r (t) = ⟨ x (t), y (t)⟩$	输入为标量 $t$ （通常是时间）； $x (t), y (t)$ 是标量分量
向量值函数的极限	$lim_{t \to a} r (t) = ⟨ lim_{t \to a} x (t), lim_{t \to a} y (t) ⟩$	仅当两个分量的极限都存在时，极限才存在
向量值函数的连续性	$r (t)$ 在 $a$ 处连续当且仅当 $lim_{t \to a} r (t) = r (a)$	要求 $r (a)$ 有定义，且两个分量都在 $a$ 处连续
导数（速度矢量）	$r^{'} (t) = ⟨ x^{'} (t), y^{'} (t)⟩$	参数曲线的切向量；若 $r (t)$ 是位置函数则为速度矢量
速率	$速率 = ∣ r^{'} (t) ∣ = (x^{'} (t))^{2} + (y^{'} (t))^{2}$	非负标量；求速率一定要输出模长
加速度	$r^{''} (t) = ⟨ x^{''} (t), y^{''} (t)⟩$	速度矢量的导数，位置函数的二阶导数
由向量函数得直角坐标方程	从 $x = x (t), y = y (t)$ 中消去 $t$	加上原 $t$ 定义域带来的定义域限制

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · AP Precalculus
选择题：速率计算
2023 · AP Precalculus
自由作答题：连续性检验

深入阅读

Official SyllabusAP Precalculus CED官方课程要求

下一步

本内容是向量运动建模的基础，在第四单元剩余内容学习向量的矩阵变换和参数抛体运动时，你会进一步拓展这部分知识。如果不掌握按分量运算和向量值函数的含义，你就无法正确分析变换后的参数曲线，也无法解决AP考试中常见的运动问题。本内容还在参数方程、单变量微积分和向量概念之间搭建了关键桥梁，为你在AP微积分AB/BC中进一步学习向量值函数做好准备，在那里你会对向量函数积分求位移和弧长。