# 向量值函数

> AP 预备微积分 · 含参数、向量与矩阵的函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-vector-valued-functions/

本模块讲解AP预备微积分中的二维向量值函数：定义与分量、位置矢量的模长与方向、用区间上的平均变化率描述平面运动，以及向量形式与直角坐标参数曲线之间的转换。

**先修:** [基础向量运算](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-vectors-in-the-plane/); [参数方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-parametric-equations/); 区间上的平均变化率

## 学习目标

- 定义二维向量值函数并识别其分量
- 求位置矢量的模长（到原点的距离）和方向
- 用各分量在区间上的平均变化率描述平面运动
- 在向量值函数与直角坐标参数曲线之间转换

## 向量值函数的定义

向量值函数（常简称为向量函数）输入单个标量（AP预备微积分题目中最常见的输入是时间$t$），输出一个向量。在AP预备微积分中，我们几乎只研究二维向量值函数。

**二维向量值函数** — 输入为标量$t$、输出为二维向量的函数，其中$x(t)$和$y(t)$是标量分量函数。当$t$表示时间时，$\mathbf{r}(t)$称为运动物体的位置函数。

*记法:* $\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle$

*例:* $\mathbf{r}(t) = \langle t^2, 2t+1 \rangle$的分量为$x(t)=t^2$，$y(t)=2t+1$

注意 Unit 4 不在 AP 预备微积分考试范围内——CED 明确考试只覆盖 Unit 1–3——本内容属教师自选／延伸内容。它整合了你之前学过的参数方程和向量知识来建模运动。

## 位置、分量、模长与方向

位置矢量 $\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle$ 从原点指向物体在参数 $t$ 处的位置 $(x(t), y(t))$。分量 $x(t)$ 给出水平位置，$y(t)$ 给出竖直位置。

**位置矢量的模长** — 位置矢量的模长就是从原点到参数 $t$ 处点 $(x(t), y(t))$ 的距离。

*记法:* $|\mathbf{r}(t)| = \sqrt{x(t)^2 + y(t)^2}$

*例:* 若 $\mathbf{r}(2) = \langle 6, 8 \rangle$，则 $|\mathbf{r}(2)| = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$，即物体距原点 $10$ 个单位。

位置矢量的方向是它与正 $x$ 轴所成的角 $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$（需按所在象限调整）。当 $t$ 变化时，模长（到原点的距离）和方向都可能改变。

**例题:** 一架无人机的位置（单位：米）为 $\mathbf{r}(t) = \langle 3t, 4t \rangle$，$t \geq 0$。求 $t = 2$ 时它到原点的距离以及位置矢量的方向。

1. 在 $t = 2$ 处求位置：

   $$\mathbf{r}(2) = \langle 3(2), 4(2) \rangle = \langle 6, 8 \rangle$$
2. 模长 = 到原点的距离：

   $$|\mathbf{r}(2)| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 \text{ m}$$
3. 方向（与正 $x$ 轴的夹角）：

   $$\theta = \arctan\left(\frac{8}{6}\right) = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.1^\circ$$

> **考试提示:** 模长 $|\mathbf{r}(t)|$ 始终是到原点的距离——用勾股形式 $\sqrt{x^2 + y^2}$，绝不是 $x + y$。

*计算器:* allowed

## 平均变化率与平面运动

要描述物体位置在时间区间 $[t_1, t_2]$ 上如何变化，就用每个分量的平均变化率——即直接由端点算出的割线斜率。

**平均速度分量（平均变化率）** — $x$ 在 $[t_1, t_2]$ 上的平均变化率是平均水平速度，$y$ 的平均变化率是平均竖直速度。两者合起来构成平均速度矢量 $\left\langle \dfrac{\Delta x}{\Delta t}, \dfrac{\Delta y}{\Delta t} \right\rangle$。

*记法:* $\dfrac{\Delta x}{\Delta t} = \dfrac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}, \qquad \dfrac{\Delta y}{\Delta t} = \dfrac{y(t_2)-y(t_1)}{t_2-t_1}$

*例:* 净位移的平均速率就是平均速度矢量的模长 $\left| \left\langle \dfrac{\Delta x}{\Delta t}, \dfrac{\Delta y}{\Delta t} \right\rangle \right|$。

平均变化率的符号给出净方向：$\Delta x/\Delta t > 0$ 表示区间上净向右运动，$\Delta y/\Delta t > 0$ 表示净向上运动。

**例题:** 一架无人机的位置（单位：米）为 $\mathbf{r}(t) = \langle 3t, -0.1t^2 + 4t \rangle$，$0 \leq t \leq 10$。求在区间 $[0, 10]$ 上的平均速度矢量和平均速率。

1. 在端点处求位置：

   $$\mathbf{r}(0) = \langle 0, 0 \rangle, \quad \mathbf{r}(10) = \langle 30, 30 \rangle$$
2. 每个分量在 $[0, 10]$ 上的平均变化率：

   $$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{30 - 0}{10} = 3, \quad \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{30 - 0}{10} = 3 \text{ (m/s)}$$
3. 平均速度矢量：

   $$\left\langle 3, 3 \right\rangle \text{ m/s}$$
4. 平均速率 = 平均速度矢量的模长：

   $$\sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2} \approx 4.24 \text{ m/s}$$
5. 两个分量都为正，所以在 $[0, 10]$ 上净运动方向是向右且向上。

> **考试提示:** 平均变化率是在区间上度量的，不是在某个瞬间。在两个端点处求出位置，相减，再除以 $\Delta t = t_2 - t_1$。

*计算器:* allowed

## 向量值函数与参数曲线

任意二维向量值函数$\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle$都对应xy平面上的一条参数曲线，$\mathbf{r}(t)$是从原点到曲线上点$(x(t), y(t))$的位置向量。要转换为直角坐标方程（不含$t$的x、y方程），可以用普通参数方程消参的相同方法消去参数$t$。

必须注意原函数中$t$的范围限制，因为这些限制会对应为直角坐标曲线的定义域/值域限制。$t$受限只会得到完整隐曲线的一部分。

**例题:** 已知$0 \leq t \leq 2\pi$时曲线由$\mathbf{r}(t) = \langle 2\cos t, 3\sin t \rangle$定义，求曲线的直角坐标方程，并判断曲线类型。

1. 令$x = 2\cos t$，$y = 3\sin t$，整理后分离出三角函数项：
2. $$\cos t = \frac{x}{2}, \quad \sin t = \frac{y}{3}$$
3. 利用勾股恒等式$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$代入：
4. $$\left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{3}\right)^2 = 1$$
5. 化简并确认范围：由于$t$从$0$取到$2\pi$，因此$x \in [-2, 2]$，$y \in [-3, 3]$，这是完整的椭圆：
6. $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$$

**概念自测**

用这道AP风格的选择题检验你的理解：

1. 一个物体的位置为 $\mathbf{r}(t) = \langle t^2, 4t \rangle$（米，$t$ 单位为秒）。它在区间 $[0, 2]$ 上的平均速度矢量是多少？

   - A) $\langle 2, 4 \rangle$
   - B) $\langle 4, 8 \rangle$
   - C) $\langle 2, 2 \rangle$
   - D) $\langle 1, 4 \rangle$

   *解析:* 每个分量的平均变化率：$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{4 - 0}{2} = 2$，$\frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{8 - 0}{2} = 4$，所以平均速度矢量是 $\langle 2, 4 \rangle$。

> **考试提示:** 如果参数$t$有范围限制，一定要在直角坐标方程旁写出$x$（必要时还有$y$）的定义域限制；AP选择题经常把无限制的完整曲线作为干扰项。

## 常见错误

- **错误做法:** 计算平均变化率时只算 $x(t_2) - x(t_1)$，忘记除以 $\Delta t$。
  - 原因: 你记住了位置的变化量，却忘了变化率要把这个变化量除以 $t$ 的变化量。
  - 正确做法: 务必除以 $\Delta t = t_2 - t_1$，才能得到分量的平均变化率。
- **错误做法:** 用 $y$ 的平均变化率描述水平运动（或用 $x$ 的描述竖直运动）。
  - 原因: 你弄混了哪个分量对应哪个方向。
  - 正确做法: 水平运动来自 $\Delta x/\Delta t$，竖直运动来自 $\Delta y/\Delta t$；解释方向前先给每个标好。
- **错误做法:** 题目要求平均速率时，你输出了平均速度矢量而不是它的模长。
  - 原因: 你混淆了平均速度（矢量）和平均速率（它的标量模长）。
  - 正确做法: 平均速率是 $\left| \left\langle \Delta x/\Delta t, \Delta y/\Delta t \right\rangle \right|$；求出平均速度矢量后再计算模长。
- **错误做法:** 对于$\mathbf{r}(t) = \langle e^t, e^{2t} + 1 \rangle$，你把直角坐标方程写成完整抛物线$y = x^2 + 1$。
  - 原因: 你忘记了$e^t = x$恒为正，因此原函数要求$x > 0$。
  - 正确做法: 消去参数后，一定要加上原$t$定义域隐含的定义域限制。
- **错误做法:** 你把模长算成$|\langle a, b \rangle| = a + b$，而没有用勾股定理。
  - 原因: 做完其他按分量运算后，你混淆了分量加法和向量模长。
  - 正确做法: 无论分量是什么，模长都要用$|\langle a, b \rangle| = \sqrt{a^2 + b^2}$计算。

## 速查表

| 类别 | 公式/规则 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 二维向量值函数 | $\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle$ | 输入为标量 $t$（通常是时间）；$x(t), y(t)$ 是标量分量 |
| 模长（到原点的距离） | $\|\mathbf{r}(t)\| = \sqrt{x(t)^2 + y(t)^2}$ | 参数 $t$ 处点到原点的距离 |
| 平均速度分量（水平） | $\dfrac{\Delta x}{\Delta t} = \dfrac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}$ | $x$ 在 $[t_1, t_2]$ 上的平均变化率 |
| 平均速度分量（竖直） | $\dfrac{\Delta y}{\Delta t} = \dfrac{y(t_2)-y(t_1)}{t_2-t_1}$ | $y$ 在 $[t_1, t_2]$ 上的平均变化率 |
| 平均速率（净位移） | $\left\| \left\langle \dfrac{\Delta x}{\Delta t}, \dfrac{\Delta y}{\Delta t} \right\rangle \right\| = \sqrt{\left(\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2 + \left(\dfrac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2}$ | 平均速度的非负标量模长 |
| 由向量函数得直角坐标方程 | 从 $x=x(t), y=y(t)$ 中消去 $t$ | 加上原 $t$ 定义域带来的定义域限制 |

## 下一步

本内容是向量运动建模的基础，在第四单元剩余内容学习向量的矩阵变换和参数运动时，你会进一步拓展这部分知识。掌握位置矢量的模长与方向，以及各分量的平均变化率，就能分析变换后的参数曲线并解决平面运动问题。本内容还在参数方程和向量之间搭建了桥梁，为你在AP微积分AB/BC中的学习做准备，在那里将用微积分工具研究沿曲线的运动。

- [矩阵](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-matrices/)
- [矩阵的逆与行列式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-the-inverse-and-determinant-of/)
- [线性变换与矩阵](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-linear-transformations-and-matrices/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-vector-valued-functions/