矩阵的逆与行列式

AP 微积分预备· AP Precalculus CED — 第4单元：含参数的函数、向量与矩阵· 14 分钟阅读

1. 核心概念概述★★☆☆☆⏱ 3 min

本主题约占AP微积分预备考试总分的2–4%，会同时出现在选择题（MCQ）和自由作答题（FRQ）部分。根据AP微积分预备课程与考试说明，考试仅考察2×2矩阵的行列式和逆矩阵。

📘 定义

行列式

$det (A)$ or $∣ A ∣$

仅由方阵计算得到的标量值，它包含两个关键信息：矩阵列向量构成的平行四边形的有向面积，以及矩阵是否可逆。

📘 定义

方阵的逆矩阵

$A^{- 1}$

满足乘积关系 $A A^{- 1} = A^{- 1} A = I$ 的唯一矩阵，其中 $I$ 是2×2单位矩阵。逆矩阵可以撤销A所表示的线性变换。

📘 定义

2×2单位矩阵

$I$

2×2矩阵的乘法单位元，任意矩阵乘以 $I$ 都等于其自身。

例:

$I = [1001]$

2. 2×2矩阵的行列式★★☆☆☆⏱ 4 min

对于任意一般2×2矩阵 $A = [a c b d]$ ，可以用一个简单公式计算行列式。从几何角度看，行列式等于以A的两个列向量为邻边构成的平行四边形的有向面积。

det(A) = ad - bc

对于AP微积分预备，行列式最重要的用途就是根据可逆性对矩阵分类：

若 $det (A) = 0$ ：面积为零，说明列向量线性相关，该矩阵是奇异矩阵，不存在逆矩阵。
若 $det (A) \neq = 0$ ：该矩阵是非奇异矩阵，存在唯一逆矩阵。

📐 例题

计算矩阵 $A = [34 - 2 1]$ 的行列式，并说明A是否可逆。

1
确定对应一般2×2形式的各元素：
2
$a=3,\ b=-2,\ c=4,\ d=1$
3
写出行列式公式：
4
$det(A) = ad - bc$
5
代入数值并化简，注意明确展开双重负号：
6
$det(A) = (3)(1) - (-2)(4) = 3 + 8 = 11$
7
检查行列式是否非零以确认可逆性：由于 $det (A) = 11 \neq = 0$ ，因此A可逆。

Exam tip:

计算含负元素矩阵的行列式时，一定要明确展开 $- b c$ 项中的双重负号——这是选择题逆分类问题中最常见的粗心错误。

3. 2×2矩阵的逆矩阵★★★☆☆⏱ 4 min

若2×2矩阵A是非奇异矩阵（ $det (A) \neq = 0$ ），我们可以用一个由行列式推导得到的公式计算它的逆矩阵。该公式用到伴随矩阵，伴随矩阵通过交换主对角线元素、改变副对角线元素符号构造得到。

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

📐 例题

求 $B = [2134]$ 的逆矩阵，并验证结果。

1
首先计算行列式，确认逆矩阵存在：
2
$det(B) = (2)(4) - (3)(1) = 8 - 3 = 5 \neq 0, so inverse exists$
3
交换主对角线元素、翻转副对角线符号，构造伴随矩阵：
4
$text{adj}(B) = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$
5
将伴随矩阵乘以行列式的倒数，得到逆矩阵：
6
$B^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix}$
7
验证： $B B^{- 1}$ 相乘得到单位矩阵 $[1001]$ ，确认结果正确。

Exam tip:

如果FRQ要求你求逆矩阵，即使之后计算出错，先正确检查行列式也能拿到一分——不要跳过这一步。

4. 用逆矩阵求解线性方程组★★★☆☆⏱ 3 min

任意二元线性方程组都可以写成简洁的矩阵形式 $A x = b$ ，其中：

$A$ = 2×2系数矩阵，存储变量系数
$x = [x y]$ = 未知变量构成的列向量
$b$ = 方程右侧常数项构成的列向量

如果A可逆，我们可以给等式两边同时左乘 $A^{- 1}$ 求解 $x$ ：

A^{-1}A\vec{x} = A^{-1}\vec{b} \implies I\vec{x} = A^{-1}\vec{b} \implies \vec{x} = A^{-1}\vec{b}

如果A是奇异矩阵，方程组要么无解，要么有无穷多解，可以用代入法或消元法判断。

📐 例题

用逆矩阵法求解下列方程组： ${2 x + 5 y = 11 3 x - y = - 5$

1
将方程组写成矩阵形式 $A x = b$ ：
2
$A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}, \quad \vec{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{bmatrix} 11 \\ -5 \end{bmatrix}$
3
计算行列式确认可逆性：
4
$det(A) = (2)(-1) - (5)(3) = -2 - 15 = -17 \neq 0$
5
计算A的逆矩阵：
6
$A^{-1} = \frac{1}{-17} \begin{bmatrix} -1 & -5 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{17} \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$
7
将 $A^{- 1}$ 与 $b$ 相乘得到解：
8
$\vec{x} = \frac{1}{17} \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 11 \\ -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{14}{17} \\ \frac{43}{17} \end{bmatrix}$
9
最终解： $x = - \frac{14}{17}$ , $y = \frac{43}{17}$

Exam tip:

一定要确认系数矩阵中变量的顺序在两个方程中一致——如果交换了x和y的位置，你会得到错误的解。

5. 额外AP风格例题★★★★☆⏱ 4 min

📐 例题

$C = [- 2 - 3 4 - 1]$ 的行列式是多少？C是否可逆？ A: $det (C) = - 14$ , $C$ 不可逆 B: $det (C) = 14$ , $C$ 可逆 C: $det (C) = 10$ , $C$ 可逆 D: $det (C) = - 10$ , $C$ 不可逆

1
使用2×2行列式公式 $det (C) = a d - b c$ ，其中 $a = - 2$ , $d = - 1$ , $b = 4$ , $c = - 3$ ：
2
$det(C) = (-2)(-1) - (4)(-3) = 2 + 12 = 14$
3
由于 $det (C) = 14 \neq = 0$ ，因此C可逆，正确答案是B。

📐 例题

已知矩阵 $D = [k 4 2 k - 3]$ ，其中k是实参数： (a) 用k表示 $det (D)$ (b) 求所有使D为奇异矩阵的k值 (c) 当k=1时，求 $D^{- 1}$

1
(a) 应用行列式公式：
2
$det(D) = k(k-3) - (2)(4) = k^2 - 3k - 8$
3
(b) 当 $det (D) = 0$ 时D是奇异矩阵，用二次公式求解：
4
$k = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 32}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{2}$
5
(c) 代入k=1，计算逆矩阵：
6
$D = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}, \quad \det(D) = -10 \\ D^{-1} = \frac{1}{-10} \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & -\frac{1}{10} \end{bmatrix}$

📐 例题

一家面包店生产可颂（ $c$ ）和松饼（ $m$ ）。每个可颂需要2杯面粉+1个鸡蛋，每个松饼需要1杯面粉+2个鸡蛋。一个班次总共用了22杯面粉和20个鸡蛋。建立矩阵方程，用逆矩阵求 $c$ 和 $m$ 的值。

1
转化为矩阵形式 $A x = b$ ：
2
$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{x} = \begin{bmatrix} c \\ m \end{bmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{bmatrix} 22 \\ 20 \end{bmatrix}$
3
计算行列式和逆矩阵：
4
$det(A) = 4 - 1 = 3, \quad A^{-1} = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$
5
求解 $x$ ：
6
$\vec{x} = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 22 \\ 20 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 6 \end{bmatrix}$
7
结果：烤了8个可颂，6个松饼。

6. 常见陷阱

错误做法:

将 $det ([a c b d])$ 算成 $b c - a d$ ，而非正确的 $a d - b c$ 。

原因:

学生在为求逆交换元素后混淆了项的顺序。

正确做法:

代入数值前，一定要牢记规则：'主对角线乘积减去副对角线乘积'。

错误做法:

求逆时，翻转主对角线元素的符号，而非副对角线元素的符号。

原因:

学生记错了逆矩阵公式。

正确做法:

开始计算前，默念一遍口诀：'交换主对角线，翻转副对角线符号'。

错误做法:

忘记将伴随矩阵的所有元素都乘以 $\frac{1}{d e t ( A )}$ ，只给一两个元素乘了系数。

原因:

学生构造完伴随矩阵后太着急，遗漏了标量倍数。

正确做法:

计算任何元素前，先把标量倍数写在伴随矩阵外面。

错误做法:

尝试给 $det (A) = 0$ 的矩阵计算逆矩阵。

原因:

学生忘记行列式为零意味着不存在逆矩阵，盲目套用逆矩阵公式。

正确做法:

先检查 $det (A)$ ；如果等于零，就说明'矩阵是奇异矩阵，不存在逆矩阵'，然后停止计算。

错误做法:

把 $A^{- 1} b$ 写成了 $b A^{- 1}$ （右乘），而非左乘。

原因:

学生忘记矩阵乘法不满足交换律，顺序很重要。

正确做法:

一定要将n阶逆矩阵左乘n×1常数向量，才能得到正确解。

错误做法:

把方程组右侧的常数项放到了系数矩阵 $A$ 中。

原因:

学生抄写方程组时混淆了系数和常数。

正确做法:

构建矩阵前，先分开变量项（等号左侧）和常数项（等号右侧）。

7. 速查表

分类	公式	说明
2×2矩阵的行列式	$det ([a c b d]) = a d - b c = ∣ A ∣$	仅适用于方阵； $∣ A ∣ = 0$ = 奇异矩阵
2×2矩阵的逆矩阵	$A^{- 1} = \frac{1}{d e t ( A )} [d - c - b a]$	仅当 $det (A) \neq = 0$ 时存在； $A A^{- 1} = I$
2×2单位矩阵	$I = [1001]$	乘法单位元： $A I = I A = A$
线性方程组矩阵形式	$A x = b$	$A$ = 系数矩阵， $x$ = 变量向量， $b$ = 常数向量
用逆矩阵求解	$x = A^{- 1} b$	仅适用于可逆A，得到唯一解
奇异矩阵	$det (A) = 0$	无逆矩阵；方程组有0个或无穷多解
非奇异矩阵	$det (A) \neq = 0$	存在唯一逆矩阵；方程组有唯一解

下一步

本主题是AP微积分预备第4单元中所有线性方程组和矩阵变换后续学习的基础。掌握行列式和逆矩阵后，你接下来会学习用行变换求解更大的线性方程组，以及在实际情境中解释含参数方程组的解。如果不理解行列式如何指示可逆性，你会很难判断方程组何时有唯一解，也无法在考试题目中高效应用逆矩阵法。本主题还和第4单元的核心主题线性变换相关：行列式描述了变换如何缩放面积，逆矩阵可以让你反转变换，将输出映射回输入。