# 矩阵的逆与行列式

> AP 预备微积分 · 含参数的函数、向量与矩阵
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-the-inverse-and-determinant-of/

这份符合AP微积分预备考纲的学习指南涵盖2×2矩阵的行列式与逆矩阵、奇异/非奇异分类、可逆性判断，以及使用逆矩阵求解二元线性方程组。

**先修:** [基础矩阵符号与2×2矩阵乘法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-basic-matrix-operations/); 二元线性方程组; 参数问题中的二次方程求解

## 学习目标

- 计算任意2×2矩阵的行列式
- 根据行列式值将2×2矩阵分类为奇异或非奇异矩阵
- 求可逆2×2矩阵的逆矩阵
- 将二元线性方程组写成矩阵形式
- 使用逆矩阵法求解二元线性方程组

## 核心概念概述

本主题属于第 4 单元，不在 AP 预备微积分考试范围内——College Board 课程与考试说明（CED）仅考查第 1–3 单元。行列式与逆矩阵属教师自选／延伸内容，为后续 STEM 课程打基础；此处只讨论 2×2 矩阵。

**行列式** — 仅由方阵计算得到的标量值，它包含两个关键信息：矩阵列向量构成的平行四边形的有向面积，以及矩阵是否可逆。

*记法:* $\det(A)$ or $|A|$

**方阵的逆矩阵** — 满足乘积关系 $A A^{-1} = A^{-1} A = I$ 的唯一矩阵，其中 $I$ 是2×2单位矩阵。逆矩阵可以撤销A所表示的线性变换。

*记法:* $A^{-1}$

**2×2单位矩阵** — 2×2矩阵的乘法单位元，任意矩阵乘以 $I$ 都等于其自身。

*记法:* $I$

*例:* $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

## 2×2矩阵的行列式

对于任意一般2×2矩阵 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$，可以用一个简单公式计算行列式。从几何角度看，行列式等于以A的两个列向量为邻边构成的平行四边形的有向面积。

$$\det(A) = ad - bc$$

对于AP微积分预备，行列式最重要的用途就是根据可逆性对矩阵分类：

- 若 $\det(A) = 0$：面积为零，说明列向量线性相关，该矩阵是**奇异矩阵**，不存在逆矩阵。
- 若 $\det(A) \neq 0$：该矩阵是**非奇异矩阵**，存在唯一逆矩阵。

**例题:** 计算矩阵 $A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$ 的行列式，并说明A是否可逆。

1. 确定对应一般2×2形式的各元素：
2. $$a=3,\ b=-2,\ c=4,\ d=1$$
3. 写出行列式公式：
4. $$\det(A) = ad - bc$$
5. 代入数值并化简，注意明确展开双重负号：
6. $$\det(A) = (3)(1) - (-2)(4) = 3 + 8 = 11$$
7. 检查行列式是否非零以确认可逆性：由于 $\det(A) = 11 \neq 0$，因此A可逆。

> **考试提示:** 计算含负元素矩阵的行列式时，一定要明确展开$-bc$项中的双重负号——这是逆矩阵分类问题中最常见的粗心错误。

## 2×2矩阵的逆矩阵

若2×2矩阵A是非奇异矩阵（$\det(A) \neq 0$），我们可以用一个由行列式推导得到的公式计算它的逆矩阵。该公式用到伴随矩阵，伴随矩阵通过交换主对角线元素、改变副对角线元素符号构造得到。

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

> **mnemonic**
>
> 交换主对角线，翻转副对角线符号，再乘以行列式的倒数。

**例题:** 求 $B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ 的逆矩阵，并验证结果。

1. 首先计算行列式，确认逆矩阵存在：
2. $$\det(B) = (2)(4) - (3)(1) = 8 - 3 = 5 \neq 0, so inverse exists$$
3. 交换主对角线元素、翻转副对角线符号，构造伴随矩阵：
4. $$\text{adj}(B) = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$$
5. 将伴随矩阵乘以行列式的倒数，得到逆矩阵：
6. $$B^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix}$$
7. 验证：$B B^{-1}$ 相乘得到单位矩阵 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，确认结果正确。

> **考试提示:** 求逆矩阵时先检查行列式——即使之后出现计算失误，先确认可逆性也是一个能稳拿的独立步骤，所以不要跳过。

## 用逆矩阵求解线性方程组

任意二元线性方程组都可以写成简洁的矩阵形式 $A\vec{x} = \vec{b}$，其中：

- $A$ = 2×2系数矩阵，存储变量系数
- $\vec{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ = 未知变量构成的列向量
- $\vec{b}$ = 方程右侧常数项构成的列向量

如果A可逆，我们可以给等式两边同时左乘 $A^{-1}$ 求解 $\vec{x}$：

$$A^{-1}A\vec{x} = A^{-1}\vec{b} \implies I\vec{x} = A^{-1}\vec{b} \implies \vec{x} = A^{-1}\vec{b}$$

如果A是奇异矩阵，方程组要么无解，要么有无穷多解，可以用代入法或消元法判断。

**例题:** 用逆矩阵法求解下列方程组：
$$\begin{cases} 2x + 5y = 11 \\ 3x - y = -5 \end{cases}$$

1. 将方程组写成矩阵形式 $A\vec{x} = \vec{b}$：
2. $$A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}, \quad \vec{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{bmatrix} 11 \\ -5 \end{bmatrix}$$
3. 计算行列式确认可逆性：
4. $$\det(A) = (2)(-1) - (5)(3) = -2 - 15 = -17 \neq 0$$
5. 计算A的逆矩阵：
6. $$A^{-1} = \frac{1}{-17} \begin{bmatrix} -1 & -5 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{17} \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$$
7. 将 $A^{-1}$ 与 $\vec{b}$ 相乘得到解：
8. $$\vec{x} = \frac{1}{17} \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 11 \\ -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{14}{17} \\ \frac{43}{17} \end{bmatrix}$$
9. 最终解：$x = -\frac{14}{17}$, $y = \frac{43}{17}$

> **考试提示:** 一定要确认系数矩阵中变量的顺序在两个方程中一致——如果交换了x和y的位置，你会得到错误的解。

## 额外AP风格例题

**例题:** $C = \begin{bmatrix} -2 & 4 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}$ 的行列式是多少？C是否可逆？
A: $\det(C) = -14$, $C$ 不可逆
B: $\det(C) = 14$, $C$ 可逆
C: $\det(C) = 10$, $C$ 可逆
D: $\det(C) = -10$, $C$ 不可逆

1. 使用2×2行列式公式 $\det(C) = ad - bc$，其中 $a=-2$, $d=-1$, $b=4$, $c=-3$：
2. $$\det(C) = (-2)(-1) - (4)(-3) = 2 + 12 = 14$$
3. 由于 $\det(C) = 14 \neq 0$，因此C可逆，正确答案是B。

**例题:** 已知矩阵 $D = \begin{bmatrix} k & 2 \\ 4 & k-3 \end{bmatrix}$，其中k是实参数：
(a) 用k表示 $\det(D)$
(b) 求所有使D为奇异矩阵的k值
(c) 当k=1时，求 $D^{-1}$

1. (a) 应用行列式公式：
2. $$\det(D) = k(k-3) - (2)(4) = k^2 - 3k - 8$$
3. (b) 当 $\det(D) = 0$ 时D是奇异矩阵，用二次公式求解：
4. $$k = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 32}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{2}$$
5. (c) 代入k=1，计算逆矩阵：
6. $$D = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}, \quad \det(D) = -10 \\ D^{-1} = \frac{1}{-10} \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & -\frac{1}{10} \end{bmatrix}$$

**例题:** 一家面包店生产可颂（$c$）和松饼（$m$）。每个可颂需要2杯面粉+1个鸡蛋，每个松饼需要1杯面粉+2个鸡蛋。一个班次总共用了22杯面粉和20个鸡蛋。建立矩阵方程，用逆矩阵求$c$和$m$的值。

1. 转化为矩阵形式 $A\vec{x} = \vec{b}$：
2. $$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{x} = \begin{bmatrix} c \\ m \end{bmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{bmatrix} 22 \\ 20 \end{bmatrix}$$
3. 计算行列式和逆矩阵：
4. $$\det(A) = 4 - 1 = 3, \quad A^{-1} = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$$
5. 求解 $\vec{x}$：
6. $$\vec{x} = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 22 \\ 20 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 6 \end{bmatrix}$$
7. 结果：烤了8个可颂，6个松饼。

## 常见错误

- **错误做法:** 将 $\det\left(\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}\right)$ 算成 $bc - ad$，而非正确的 $ad - bc$。
  - 原因: 学生在为求逆交换元素后混淆了项的顺序。
  - 正确做法: 代入数值前，一定要牢记规则：'主对角线乘积减去副对角线乘积'。
- **错误做法:** 求逆时，翻转主对角线元素的符号，而非副对角线元素的符号。
  - 原因: 学生记错了逆矩阵公式。
  - 正确做法: 开始计算前，默念一遍口诀：'交换主对角线，翻转副对角线符号'。
- **错误做法:** 忘记将伴随矩阵的所有元素都乘以 $\frac{1}{\det(A)}$，只给一两个元素乘了系数。
  - 原因: 学生构造完伴随矩阵后太着急，遗漏了标量倍数。
  - 正确做法: 计算任何元素前，先把标量倍数写在伴随矩阵外面。
- **错误做法:** 尝试给 $\det(A) = 0$ 的矩阵计算逆矩阵。
  - 原因: 学生忘记行列式为零意味着不存在逆矩阵，盲目套用逆矩阵公式。
  - 正确做法: 先检查 $\det(A)$；如果等于零，就说明'矩阵是奇异矩阵，不存在逆矩阵'，然后停止计算。
- **错误做法:** 把 $A^{-1}\vec{b}$ 写成了 $\vec{b}A^{-1}$（右乘），而非左乘。
  - 原因: 学生忘记矩阵乘法不满足交换律，顺序很重要。
  - 正确做法: 一定要将n阶逆矩阵左乘n×1常数向量，才能得到正确解。
- **错误做法:** 把方程组右侧的常数项放到了系数矩阵 $A$ 中。
  - 原因: 学生抄写方程组时混淆了系数和常数。
  - 正确做法: 构建矩阵前，先分开变量项（等号左侧）和常数项（等号右侧）。

## 速查表

| 分类 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 2×2矩阵的行列式 | $\det\left(\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc = \|A\|$ | 仅适用于方阵；$\|A\|=0$ = 奇异矩阵 |
| 2×2矩阵的逆矩阵 | $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$ | 仅当 $\det(A) \neq 0$ 时存在；$AA^{-1} = I$ |
| 2×2单位矩阵 | $I = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ | 乘法单位元：$AI = IA = A$ |
| 线性方程组矩阵形式 | $A\vec{x} = \vec{b}$ | $A$ = 系数矩阵，$\vec{x}$ = 变量向量，$\vec{b}$ = 常数向量 |
| 用逆矩阵求解 | $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$ | 仅适用于可逆A，得到唯一解 |
| 奇异矩阵 | $\det(A) = 0$ | 无逆矩阵；方程组有0个或无穷多解 |
| 非奇异矩阵 | $\det(A) \neq 0$ | 存在唯一逆矩阵；方程组有唯一解 |

## 下一步

本主题是AP微积分预备第4单元中所有线性方程组和矩阵变换后续学习的基础。掌握行列式和逆矩阵后，你接下来会学习用行变换求解更大的线性方程组，以及在实际情境中解释含参数方程组的解。如果不理解行列式如何指示可逆性，你会很难判断方程组何时有唯一解，也无法高效应用逆矩阵法。本主题还和第4单元的核心主题线性变换相关：行列式描述了变换如何缩放面积，逆矩阵可以让你反转变换，将输出映射回输入。

- [线性变换与矩阵](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-linear-transformations-and-matrices/)
- [作为函数的矩阵](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-matrices-as-functions/)
- [矩阵建模实际场景](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-matrices-modeling-contexts/)

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