AP 微积分预备课程参数函数

AP 微积分预备课程· AP 微积分预备课程课程与考试描述（CED）——含参数的函数、向量和矩阵· 14 分钟阅读

1. 什么是参数函数？★★☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

二维参数函数

$x = x (t), y = y (t), t \in [a, b]$

一组共享同一个独立变量（称为参数，最常用 $t$ 表示）的函数，共同描述 $x y$ 平面中的一条曲线。与直角坐标函数不同， $x$ 和 $y$ 都分别用参数表示。

例:

常用于描述随时间变化的运动，或是无法写作单个 $y = f (x)$ 的曲线，例如圆。

参数函数在描述平面中物体随时间的运动方面具有独特的优势，它还可以表示无法写作单个函数 $y = f (x)$ 的曲线（例如圆或自交曲线）。根据AP微积分预备课程CED，该内容占考试总分的1.5-2.5%，同时出现在选择题和自由问答题部分。

2. 参数形式与直角坐标形式的转换★★☆☆☆⏱ 4 min

消去参数是将参数曲线 $x (t), y (t)$ 改写为单个直角坐标关系 $F (x, y) = 0$ 或 $y = f (x)$ 的过程，这样更便于识别曲线的形状。对于代数（非三角）参数函数，遵循四个步骤：1) 从一个方程解出 $t$ ，2) 代入第二个方程，3) 化简，4) 添加上原参数区间得到的定义域限制。

对于三角参数函数，我们几乎总是使用勾股恒等式直接消去参数，而不是解出 $t$ ，后者会引入不必要的反三角函数并导致定义域错误。例如， $x = r cos t$ 和 $y = r sin t$ 可直接化简为圆的方程 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 。

📐 例题

已知参数方程 $x (t) = 2 t + 3$ ， $y (t) = t^{2} - 1$ ，其中 $t \in [- 2, 3]$ ，消去参数并写出对应的直角坐标关系，包括 $x$ 的受限定义域。

1
从 $x (t)$ 方程解出 $t$ :
$x = 2t + 3 \implies t = \frac{x-3}{2}$
2
将 $t = \frac{x - 3}{2}$ 代入 $y (t)$ 方程:
$y = \left(\frac{x-3}{2}\right)^2 - 1$
3
化简右侧:
$y = \frac{(x-3)^2}{4} - 1 = \frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{5}{4}$
4
由于 $x (t)$ 是增函数，计算 $x$ 的受限定义域:
$x_{\text{min}} = -1, \quad x_{\text{max}} = 9 \implies x \in [-1, 9]$

Exam tip:

消去参数时，务必写出 $x$ （若题目要求还包括 $y$ ）的受限定义域。AP微积分预备课程考试阅卷官通常会对遗漏定义域限制的作答扣分。

3. 参数曲线的切线斜率★★★☆☆⏱ 3 min

要求参数曲线在给定参数值 $t = t_{0}$ 处的切线斜率，我们可以从链式法则推导出公式：

\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}

整理后得到切线斜率公式，该公式仅在 $\frac{d x}{d t} \neq = 0$ 时有效：

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}, \quad \frac{dx}{dt} \neq 0

若 $\frac{d y}{d t} = 0$ 且 $\frac{d x}{d t} \neq = 0$ ：切线为水平切线（斜率 = 0）
若 $\frac{d x}{d t} = 0$ 且 $\frac{d y}{d t} \neq = 0$ ：切线为竖直切线（斜率不存在）
若两个导数都为零：切线不存在，通常出现在尖点或自交点处

📐 例题

求参数曲线 $x (t) = cos t$ ， $y (t) = 2 sin t$ 在 $t = \frac{π}{4}$ 处的切线斜率。

1
计算对 $t$ 的导数:
$\frac{dx}{dt} = -\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = 2\cos t$
2
应用切线斜率公式:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2\cos t}{-\sin t} = -2\cot t$
3
在 $t = \frac{π}{4}$ 处求值:
$\cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \implies \frac{dy}{dx} = -2$
4
验证分母不为零:
$\frac{dx}{dt}\bigg|_{t=\frac{\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0, \text{ so slope is valid}$

Exam tip:

如果题目要求切线的完整方程（不只是斜率），在使用点斜式之前，请务必先计算出 $t_{0}$ 处点的 $(x, y)$ 坐标。

4. 平面运动的参数函数★★★☆☆⏱ 4 min

参数函数在AP微积分预备课程中最常见的应用之一，就是描述物体在 $x y$ 平面中随时间的运动。在该情境下，参数 $t$ 表示时间， $x (t)$ 是水平位置， $y (t)$ 是竖直位置。

📘 定义

平面运动物理量

从参数位置函数导出的关键物理量，速度和速率具有不同的含义：

例:

• 水平速度: $v_{x} (t) = \frac{d x}{d t}$ (正 = 向右, 负 = 向左)
• 竖直速度: $v_{y} (t) = \frac{d y}{d t}$ (正 = 向上, 负 = 向下)
• 速率: $speed = (v_{x} (t))^{2} + (v_{y} (t))^{2}$ (始终非负)

📐 例题

一架在平面内运动的无人机位置由 $x (t) = 3 t^{2} - 6 t$ ， $y (t) = t + 2$ 给出， $t \geq 0$ ，位置单位为米，时间单位为秒。无人机在 $t = 2$ 秒时的速率是多少？此时它向左还是向右运动？

1
对位置求导得到速度分量:
$v_x(t) = 6t - 6, \quad v_y(t) = 1$
2
在 $t = 2$ 处计算速度:
$v_x(2) = 6 \text{ m/s}, \quad v_y(2) = 1 \text{ m/s}$
3
计算速率（速度的大小）:
$\text{speed} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37} \approx 6.08 \text{ m/s}$
4
由于 $v_{x} (2) = 6 > 0$ ，无人机正在向右运动。

Exam tip:

考试中不要混淆速度和速率。AP题目通常会明确要求速率，因此请务必计算速度向量的模长。

5. 6. 常见陷阱

错误做法:

消去参数后，写出直角坐标关系的完整定义域，而非原参数区间对应的受限定义域。

原因:

学生习惯了处理完整的直角坐标曲线，忘记参数区间仅描绘曲线的一部分。

正确做法:

消去参数后，始终要计算 $x (t)$ 在给定参数定义域上的值域，从而得到直角坐标关系的受限定义域。

错误做法:

Calculating the tangent slope as $\frac{d x / d t}{d y / d t}$ instead of $\frac{d y / d t}{d x / dd t}$ .

原因:

学生回忆公式时混淆了分子分母的顺序。

正确做法:

代入数值前始终先明确写出完整公式 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t}$ ，并再次检查顺序。

错误做法:

计算切线斜率前忘记检查 $\frac{d x}{d t} \neq = 0$ ，导致将不存在的斜率错误报告为0或某个有限值。

原因:

学生不经检查就直接代入公式。

正确做法:

先在给定 $t$ 处计算 $\frac{d x}{d t}$ 。如果它为零，则说明切线是竖直的（斜率不存在）。

错误做法:

题目要求速率时回答速度，反之亦然。例如，将 $v_{x} = 6$ 作为速率作答，而非计算速度向量的模长。

原因:

这两个术语在日常用语中可互换，但在数学中有不同的定义。

正确做法:

开始计算前，先圈出题目要求的术语（速率或速度）。

错误做法:

对三角参数方程消去参数时，不必要地用反三角函数解出 $t$ ，导致定义域错误。

原因:

学生照搬了代数参数方程的步骤，而没有使用勾股恒等式。

正确做法:

对于包含同一个 $t$ 的正弦和余弦的参数方程，始终通过整理并使用勾股恒等式直接消去 $t$ 。

7. 速查表

类别	公式	注释
一般参数定义	$x = x (t), y = y (t), t \in [a, b]$	$t$ = 参数，在运动问题中通常表示时间
消去参数（代数型）	Solve $x = x (t)$ for $t$ , substitute into $y = y (t)$	始终保留来自 $t \in [a, b]$ 的定义域限制
消去参数（三角型）	Use $cos^{2} t + sin^{2} t = 1$ for $x = a cos t, y = b sin t$	避免反三角运算，化简为椭圆/圆
切线斜率	$\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t}$	仅在 $\frac{d x}{d t} \neq = 0$ 时有效
水平切线	$\frac{d y}{d t} = 0, \frac{d x}{d t} \neq = 0$	斜率 = 0，切线为水平
竖直切线	$\frac{d x}{d t} = 0, \frac{d y}{d t} \neq = 0$	斜率不存在，切线为竖直
平面运动速度	$v_{x} = \frac{d x}{d t}, v_{y} = \frac{d y}{d t}$	$v_{x} > 0$ = 向右， $v_{y} > 0$ = 向上
平面运动速率	$speed = v_{x}^{2} + v_{y}^{2}$	速率始终非负，是速度的模长

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · AP Precalculus
平面运动自由问答题部分

下一步

参数函数是第4单元后续参数向量和矩阵变换的基础先修内容。接下来，你会把这里学到的平面运动概念扩展，将位置和速度表示为向量，再使用矩阵变换参数曲线。如果没有掌握消去参数、计算切线斜率和求解参数运动问题，处理向量参数方程会困难得多，因为所有参数函数的核心规则都直接沿用至向量表示。本主题也建立在你之前对导数和运动学的知识基础上，为你大一微积分课程中计算参数曲线的弧长和参数曲线围成的面积做准备。