矩阵建模实际场景

AP 预备微积分· AP 预备微积分 CED — 含参数的函数、向量与矩阵· 14 分钟阅读

1. 为线性方程组建立增广矩阵★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

增广矩阵

$[A ∣ b]$

用于整理线性方程组的矩阵，变量系数位于竖线左侧，常数项位于右侧。每一行对应一个约束条件，每一列对应一个未知变量。

例:

对于3变量3方程的方程组，矩阵的维度为 $3 \times 4$

在处理实际场景中的线性约束问题（如溶液配制、预算规划、生产排程）时，增广矩阵可以紧凑地整理方程组，方便后续求解。对于包含 $m$ 个方程和 $n$ 个未知数的方程组，增广矩阵的维度一定是 $m \times (n + 1)$ 。

📐 例题

一家咖啡店出售三种尺寸的拿铁：小杯（12盎司）、中杯（16盎司）、大杯（20盎司）。周六店铺总共使用了380盎司浓缩咖啡，共售出26杯拿铁，拿铁的总收入为98美元。小杯拿铁售价3美元，中杯4美元，大杯5美元。请建立一个对该场景建模的增广矩阵，以求解每种尺寸各售出多少杯。

1
统一变量定义：设 $s$ = 小杯拿铁数量， $m$ = 中杯数量， $l$ = 大杯数量。
2
将每个约束条件转化为线性方程，所有方程中变量的顺序保持一致：
3
$s + m + l = 26 \\ 12s + 16m + 20l = 380 \\ 3s + 4m + 5l = 98$
4
提取系数和常数，排列为增广矩阵结构：
5
$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 26 \\ 12 & 16 & 20 & 380 \\ 3 & 4 & 5 & 98 \end{array}\right]$

Exam tip:

方程组所有方程中变量的顺序必须始终保持一致。如果某个约束条件中不包含某变量，该变量的系数为0——不要把这个位置留空。

2. 用于场景组合的矩阵运算★★★☆☆⏱ 5 min

当你得到表示场景中相关量集合的矩阵后，不同的矩阵运算可以解决不同类型的问题：

矩阵加法: 合并两组匹配的量（例如，计算两家工厂的月产量总和，每个条目都对应相同的输入项）。只有当两个矩阵维度完全相同时，加法才有意义，满足 $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ 。
数乘: 将所有量按常数因子缩放（例如，计算6批相同产品的总成本）。每个条目都乘以常数，满足： $c_{ij} = k \cdot a_{ij}$ 。
矩阵乘法: 当你得到速率矩阵和数量矩阵时，用来计算总值（例如，计算一批生产所需的原材料总量）。对于 $A$ ( $m \times n$ ) 乘以 $B$ ( $n \times p$ )，第 $i$ 行第 $j$ 列的条目为 $(A B)_{ij} = \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} b_{k j}$ ，乘积矩阵的维度为 $m \times p$ 。

📐 例题

一家面包店用矩阵 $W$ 记录每天酸面包和黑麦面包的产量，行对应周一到周五，列分别对应酸面包和黑麦面包的数量： $W = 15201825221012151018$ 每个酸面包需要2.5杯面粉和价值0.75美元的酵母，每个黑麦面包需要2.0杯面粉和价值0.50美元的酵母。请写出合适的原料矩阵，相乘得到每天的总面粉用量和酵母总成本，再计算整周的总面粉需求量。

1
要使乘法合法， $W$ （ $5 \times 2$ ）的列数必须等于原料矩阵的行数。我们构造一个 $2 \times 2$ 的矩阵 $I$ ，行对应酸面包/黑麦面包（与 $W$ 的列对应），列对应面粉/酵母：
2
$I = \begin{bmatrix} 2.5 & 0.75 \\ 2.0 & 0.50 \end{bmatrix}$
3
计算 $WI$ ，得到一个 $5 \times 2$ 的每日总量矩阵：
4
$WI = \begin{bmatrix} 57.5 & 16.25 \\ 74 & 21 \\ 75 & 21 \\ 82.5 & 23.75 \\ 91 & 25.5 \end{bmatrix}$
5
对第一列（面粉）求和得到整周总面粉用量： $57.5 + 74 + 75 + 82.5 + 91 = 380$ 杯。

Exam tip:

乘法前一定要检查矩阵维度：内维度必须相等，结果矩阵的维度等于两个因子的外维度。如果维度不匹配，运算无意义，这是选择题中常见的错误选项考点。

3. 马尔可夫过程的转移矩阵★★★★☆⏱ 5 min

📘 定义

马尔可夫过程转移矩阵

$P$

存储马尔可夫系统转移概率的矩阵，其中条目 $p_{ij}$ 是从当前状态 $i$ 转移到下一状态 $j$ 的概率。行表示当前状态，列表示下一状态，合法转移矩阵的所有行之和为1。

例:

两状态系统（例如两种会员方案）会得到一个 $2 \times 2$ 的转移矩阵

马尔可夫过程对可处于多个离散状态之一的系统建模，状态间转移的概率仅取决于当前状态。该模型可用于对客户忠诚度、人口流动、疾病传播和用户行为建模。如果初始状态行向量为 $v_{0}$ （时间0时系统各状态的占比），则经过 $n$ 步后的状态向量为 $v_{n} = v_{0} P^{n}$ 。

📐 例题

本地健身房有两种会员方案：月卡和年卡。市场调查显示，85%的月卡会员每月会继续续约月卡，15%会转为年卡。92%的年卡会员每年会继续续约年卡，8%会转为月卡。初始状态下70%的会员是月卡，30%是年卡，请问经过一个转移周期后，两种方案的会员占比各是多少？

1
按顺序定义状态：状态1 = 月卡会员，状态2 = 年卡会员。
2
按照标准约定填写转移矩阵：
3
$P = \begin{bmatrix} 0.85 & 0.15 \\ 0.08 & 0.92 \end{bmatrix}$
4
按状态顺序写出初始状态行向量：
5
$v_0 = \begin{bmatrix} 0.70 & 0.30 \end{bmatrix}$
6
相乘得到一次转移后的状态：
7
$v_1 = \begin{bmatrix} (0.70)(0.85) + (0.30)(0.08) & (0.70)(0.15) + (0.30)(0.92) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.619 & 0.381 \end{bmatrix}$
8
一次转移后，61.9%的会员是月卡，38.1%是年卡。

Exam tip:

记住转移矩阵是行之和为1，不是列之和为1。如果你的行之和不为1，说明你交换了行和列（当前状态和下一状态的位置），结果会出错。

4. AP风格概念检查★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

餐车出售三种商品：塔可、卷饼和玉米片。下方矩阵显示周六和周日每种商品的销量，单价矩阵显示每种商品的价格（单位：美元）： $销量 = [402825241226]$ （行：周六、周日；列：塔可、卷饼、玉米片） $单价 = 354$ （行：塔可、卷饼、玉米片）两天的总收入是多少？
- $301
- $596
- $612
- $295
显示答案
\$596 —
计算销量 × 单价得到每日收入： $[293303]$ ，将两天收入相加得到总收入596美元。

5. 常见陷阱

错误做法:

建立增广矩阵时交换变量顺序，导致第一行第一列对应 $l$ ，第二行第一列对应 $s$ 。

原因:

学生急于提取系数，没有在所有方程中保持统一的变量顺序。

正确做法:

填写系数前先在矩阵顶部写下变量顺序，确认所有方程都遵循相同顺序。

错误做法:

在场景问题中按错误顺序相乘（用 $BA$ 代替 $AB$ ）。

原因:

学生认为矩阵乘法和普通乘法一样满足交换律，所以顺序无关紧要。

正确做法:

总是先确认维度，确定哪种顺序能得到想要的结果，再按该顺序写出乘积。

错误做法:

当方程中不包含某个变量时，将系数为0的位置留空或省略。

原因:

学生认为如果没提到某个变量，就不需要给它留位置。

正确做法:

在对应行的该变量列填入0。

错误做法:

让转移矩阵的列之和为1，而不是行之和为1。

原因:

学生混淆了「行是当前状态」和「列是当前状态」的约定。

正确做法:

给每行标记起始状态，每列标记结束状态，然后检查所有起始状态的行之和为1。

错误做法:

在场景问题中相加两个维度不同的矩阵。

原因:

学生认为任意两个表示同类型量的矩阵都可以相加，不需要检查维度。

正确做法:

相加前确认两个矩阵的行数和列数都相同，并且行/列对应相同顺序的相同量。

6. 速查表

类别	规则/公式	说明
增广矩阵	系数在竖线左侧，常数在右侧	每行=1个约束，每列=1个变量；缺失变量填0
矩阵加法	$c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$	要求两个矩阵维度完全相同
数乘	$c_{ij} = k \cdot a_{ij}$	每个条目都按常数因子 $k$ 缩放
矩阵乘法	$(A B)_{ij} = \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} b_{k j}$	$A (m \times n) \times B (n \times p) \to A B (m \times p)$ ；内维度必须相等
转移矩阵	$p_{ij}$ = 从状态 $i$ （行）到 $j$ （列）的概率	所有行之和为1（总概率=1）
n步状态向量	$v_{n} = v_{0} P^{n}$	$v_{0}$ 是初始占比的行向量
稳态向量	$v = v P, \sum v_{i} = 1$	适用于正则转移矩阵

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · MCQ
用于计算收入的矩阵乘法
2023 · FRQ
马尔可夫过程的转移矩阵

下一步

掌握矩阵场景建模是AP预备微积分第4单元所有后续矩阵主题的核心基础。接下来你将使用这里构造的增广矩阵，通过行变换求解线性方程组，并计算马尔可夫过程的稳态向量，这是FRQ中常见的多问题考点。正确将场景转化为结构合理的矩阵形式是在MCQ和FRQ中获得满分的必要条件，也能为你学习大学入门统计学和线性代数打下所需的线性推理基础。

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