# 矩阵建模实际场景

> AP 预备微积分 · 第4单元：含参数的函数、向量与矩阵
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-matrices-modeling-contexts/

本模块讲解如何将实际场景中的线性关系转化为矩阵形式、将矩阵运算应用于复合系统，以及为马尔可夫过程构造转移矩阵。你将学习如何正确构造矩阵，并结合场景解释结果。注意：Unit 4 不在 AP 预备微积分考试范围内，本材料属教师自选／延伸内容。

**先修:** 基础矩阵符号与矩阵运算; 根据文字问题建立线性方程组; 顺序过程的基础概率知识

## 学习目标

- 将实际场景问题转化为正确的矩阵结构
- 将矩阵加法、数乘和矩阵乘法应用于实际场景问题
- 根据实际场景为线性方程组构造增广矩阵
- 为马尔可夫过程构造转移矩阵并计算状态比例
- 在原问题场景中解释矩阵运算的结果

## 为线性方程组建立增广矩阵

**增广矩阵** — 用于整理线性方程组的矩阵，变量系数位于竖线左侧，常数项位于右侧。每一行对应一个约束条件，每一列对应一个未知变量。

*记法:* $[A | b]$

*例:* 对于3变量3方程的方程组，矩阵的维度为 $3 \times 4$

在处理实际场景中的线性约束问题（如溶液配制、预算规划、生产排程）时，增广矩阵可以紧凑地整理方程组，方便后续求解。对于包含 $m$ 个方程和 $n$ 个未知数的方程组，增广矩阵的维度一定是 $m \times (n+1)$。

**例题:** 一家咖啡店出售三种尺寸的拿铁：小杯（12盎司）、中杯（16盎司）、大杯（20盎司）。周六店铺总共使用了380盎司浓缩咖啡，共售出26杯拿铁，拿铁的总收入为98美元。小杯拿铁售价3美元，中杯4美元，大杯5美元。请建立一个对该场景建模的增广矩阵，以求解每种尺寸各售出多少杯。

1. 统一变量定义：设 $s$ = 小杯拿铁数量，$m$ = 中杯数量，$l$ = 大杯数量。
2. 将每个约束条件转化为线性方程，所有方程中变量的顺序保持一致：
3. $$s + m + l = 26 \\ 12s + 16m + 20l = 380 \\ 3s + 4m + 5l = 98$$
4. 提取系数和常数，排列为增广矩阵结构：
5. $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 26 \\ 12 & 16 & 20 & 380 \\ 3 & 4 & 5 & 98 \end{array}\right]$$

> **考试提示:** 方程组所有方程中变量的顺序必须始终保持一致。如果某个约束条件中不包含某变量，该变量的系数为0——不要把这个位置留空。

## 用于场景组合的矩阵运算

当你得到表示场景中相关量集合的矩阵后，不同的矩阵运算可以解决不同类型的问题：

- **矩阵加法**: 合并两组匹配的量（例如，计算两家工厂的月产量总和，每个条目都对应相同的输入项）。只有当两个矩阵维度完全相同时，加法才有意义，满足 $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$。
- **数乘**: 将所有量按常数因子缩放（例如，计算6批相同产品的总成本）。每个条目都乘以常数，满足：$c_{ij} = k \cdot a_{ij}$。
- **矩阵乘法**: 当你得到速率矩阵和数量矩阵时，用来计算总值（例如，计算一批生产所需的原材料总量）。对于 $\bold{A}$ ($m \times n$) 乘以 $\bold{B}$ ($n \times p$)，第 $i$ 行第 $j$ 列的条目为 $(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$，乘积矩阵的维度为 $m \times p$。

**例题:** 一家面包店用矩阵 $\bold{W}$ 记录每天酸面包和黑麦面包的产量，行对应周一到周五，列分别对应酸面包和黑麦面包的数量：
$$\bold{W} = \begin{bmatrix} 15 & 10 \\ 20 & 12 \\ 18 & 15 \\ 25 & 10 \\ 22 & 18 \end{bmatrix}$$
每个酸面包需要2.5杯面粉和价值0.75美元的酵母，每个黑麦面包需要2.0杯面粉和价值0.50美元的酵母。请写出合适的原料矩阵，相乘得到每天的总面粉用量和酵母总成本，再计算整周的总面粉需求量。

1. 要使乘法合法，$\bold{W}$（$5 \times 2$）的列数必须等于原料矩阵的行数。我们构造一个 $2 \times 2$ 的矩阵 $\bold{I}$，行对应酸面包/黑麦面包（与 $\bold{W}$ 的列对应），列对应面粉/酵母：
2. $$I = \begin{bmatrix} 2.5 & 0.75 \\ 2.0 & 0.50 \end{bmatrix}$$
3. 计算 $\bold{W}\bold{I}$，得到一个 $5 \times 2$ 的每日总量矩阵：
4. $$WI = \begin{bmatrix} 57.5 & 16.25 \\ 74 & 21 \\ 75 & 21 \\ 82.5 & 23.75 \\ 91 & 25.5 \end{bmatrix}$$
5. 对第一列（面粉）求和得到整周总面粉用量：$57.5 + 74 + 75 + 82.5 + 91 = 380$ 杯。

> **考试提示:** 乘法前一定要检查矩阵维度：内维度必须相等，结果矩阵的维度等于两个因子的外维度。如果维度不匹配，运算无意义，这是选择题中常见的错误选项考点。

## 马尔可夫过程的转移矩阵

**马尔可夫过程转移矩阵** — 存储马尔可夫系统转移概率的矩阵，其中条目 $p_{ij}$ 是从当前状态 $i$ 转移到下一状态 $j$ 的概率。行表示当前状态，列表示下一状态，合法转移矩阵的所有行之和为1。

*记法:* $\bold{P}$

*例:* 两状态系统（例如两种会员方案）会得到一个 $2 \times 2$ 的转移矩阵

马尔可夫过程对可处于多个离散状态之一的系统建模，状态间转移的概率仅取决于当前状态。该模型可用于对客户忠诚度、人口流动、疾病传播和用户行为建模。如果初始状态行向量为 $\bold{v_0}$（时间0时系统各状态的占比），则经过 $n$ 步后的状态向量为 $\bold{v_n} = \bold{v_0}\bold{P}^n$。

**例题:** 本地健身房有两种会员方案：月卡和年卡。市场调查显示，85%的月卡会员每月会继续续约月卡，15%会转为年卡。92%的年卡会员每年会继续续约年卡，8%会转为月卡。初始状态下70%的会员是月卡，30%是年卡，请问经过一个转移周期后，两种方案的会员占比各是多少？

1. 按顺序定义状态：状态1 = 月卡会员，状态2 = 年卡会员。
2. 按照标准约定填写转移矩阵：
3. $$P = \begin{bmatrix} 0.85 & 0.15 \\ 0.08 & 0.92 \end{bmatrix}$$
4. 按状态顺序写出初始状态行向量：
5. $$v_0 = \begin{bmatrix} 0.70 & 0.30 \end{bmatrix}$$
6. 相乘得到一次转移后的状态：
7. $$v_1 = \begin{bmatrix} (0.70)(0.85) + (0.30)(0.08) & (0.70)(0.15) + (0.30)(0.92) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.619 & 0.381 \end{bmatrix}$$
8. 一次转移后，61.9%的会员是月卡，38.1%是年卡。

> **考试提示:** 记住转移矩阵是行之和为1，不是列之和为1。如果你的行之和不为1，说明你交换了行和列（当前状态和下一状态的位置），结果会出错。

## AP风格概念检查

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

1. 餐车出售三种商品：塔可、卷饼和玉米片。下方矩阵显示周六和周日每种商品的销量，单价矩阵显示每种商品的价格（单位：美元）：
$\text{销量} = \begin{bmatrix} 40 & 25 & 12 \\ 28 & 24 & 26 \end{bmatrix}$（行：周六、周日；列：塔可、卷饼、玉米片）
$\text{单价} = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{bmatrix}$（行：塔可、卷饼、玉米片）
两天的总收入是多少？

   - \$301
   - \$596
   - \$612
   - \$295

   *解析:* 计算销量 × 单价得到每日收入：$\begin{bmatrix} 293 \\ 303 \end{bmatrix}$，将两天收入相加得到总收入596美元。

## 常见错误

- **错误做法:** 建立增广矩阵时交换变量顺序，导致第一行第一列对应 $l$，第二行第一列对应 $s$。
  - 原因: 学生急于提取系数，没有在所有方程中保持统一的变量顺序。
  - 正确做法: 填写系数前先在矩阵顶部写下变量顺序，确认所有方程都遵循相同顺序。
- **错误做法:** 在场景问题中按错误顺序相乘（用 $\bold{B}\bold{A}$ 代替 $\bold{A}\bold{B}$）。
  - 原因: 学生认为矩阵乘法和普通乘法一样满足交换律，所以顺序无关紧要。
  - 正确做法: 总是先确认维度，确定哪种顺序能得到想要的结果，再按该顺序写出乘积。
- **错误做法:** 当方程中不包含某个变量时，将系数为0的位置留空或省略。
  - 原因: 学生认为如果没提到某个变量，就不需要给它留位置。
  - 正确做法: 在对应行的该变量列填入0。
- **错误做法:** 让转移矩阵的列之和为1，而不是行之和为1。
  - 原因: 学生混淆了「行是当前状态」和「列是当前状态」的约定。
  - 正确做法: 给每行标记起始状态，每列标记结束状态，然后检查所有起始状态的行之和为1。
- **错误做法:** 在场景问题中相加两个维度不同的矩阵。
  - 原因: 学生认为任意两个表示同类型量的矩阵都可以相加，不需要检查维度。
  - 正确做法: 相加前确认两个矩阵的行数和列数都相同，并且行/列对应相同顺序的相同量。

## 速查表

| 类别 | 规则/公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 增广矩阵 | 系数在竖线左侧，常数在右侧 | 每行=1个约束，每列=1个变量；缺失变量填0 |
| 矩阵加法 | $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ | 要求两个矩阵维度完全相同 |
| 数乘 | $c_{ij} = k \cdot a_{ij}$ | 每个条目都按常数因子 $k$ 缩放 |
| 矩阵乘法 | $(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$ | $A(m \times n) \times B(n \times p) \to AB(m \times p)$；内维度必须相等 |
| 转移矩阵 | $p_{ij}$ = 从状态 $i$（行）到 $j$（列）的概率 | 所有行之和为1（总概率=1） |
| n步状态向量 | $v_n = v_0 P^n$ | $v_0$ 是初始占比的行向量 |
| 稳态向量 | $v = vP, \sum v_i = 1$ | 适用于正则转移矩阵 |

## 下一步

掌握矩阵场景建模是AP预备微积分第4单元所有后续矩阵主题的核心基础。接下来你将使用这里构造的增广矩阵，通过行变换求解线性方程组，并计算马尔可夫过程的稳态向量，这是常见的多步骤建模任务。正确将场景转化为结构合理的矩阵形式，能为你学习大学入门统计学和线性代数打下所需的线性推理基础。（Unit 4 不在 AP 预备微积分考试范围内，考试仅考查第 1–3 单元；本材料属教师自选／延伸内容。）

- [第4单元总览](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-overview/)

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