作为函数的矩阵

AP 微积分预备· AP 微积分预备课程与考试描述（CED）—— 含参数、向量和矩阵的函数· 14 分钟阅读

1. 矩阵函数的核心定义★★☆☆☆⏱ 3 min

在AP微积分预备第4单元中，矩阵不只是静态的数字数组，更是将输入向量映射到输出向量的线性函数。本主题占第4单元内容的8-10%，会出现在选择题和自由作答题部分，通常与几何变换或向量应用结合考查。

📘 定义

矩阵函数

$f (v) = A v$ , where $A$ is an $m \times n$ matrix, $v$ is an $n \times 1$ column vector

一种通过矩阵-向量乘法将 $n$ 维输入向量映射为 $m$ 维输出向量的线性函数，也称为线性变换或线性映射。

例:

一个 $2 \times 3$ 矩阵定义了一个从 $R^{3}$ 到 $R^{2}$ 的函数

与一般的非线性函数不同，所有矩阵函数都满足两个核心线性性质： $f (a v) = a f (v)$ 对任意标量 $a$ 成立， $f (v + w) = f (v) + f (w)$ 对任意输入向量 $v, w$ 成立。这个框架统一了许多几何和代数运算，将缩放、旋转和反射转化为易于计算的矩阵乘积。

2. 矩阵-向量乘法作为函数求值★★☆☆☆⏱ 4 min

将矩阵视为函数时，在输入向量处对函数求值就是矩阵-向量乘法。乘法的维度规则与函数的定义域、陪域规则直接对应： $m \times n$ 矩阵接受 $n \times 1$ 向量，因此其定义域是整个 $R^{n}$ ，输出 $m \times 1$ 向量，因此陪域是整个 $R^{m}$ 。

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}

输出通过取 $A$ 的每一行与 $v$ 的点积计算得到：

A\mathbf{v} = \begin{bmatrix} a_{11}v_1 + a_{12}v_2 + \dots + a_{1n}v_n \\ a_{21}v_1 + a_{22}v_2 + \dots + a_{2n}v_n \\ \vdots \\ a_{m1}v_1 + a_{m2}v_2 + \dots + a_{mn}v_n \end{bmatrix}

📐 例题

已知矩阵函数 $f x y z = [23 - 1 0 02] x y z$ ，(a) 写出 $f$ 的定义域和陪域，(b) 求 $f 14 - 2$ 。

1
确定矩阵维度：给定矩阵有2行3列，因此是 $2 \times 3$ 矩阵。
2
应用定义域/陪域规则： $m \times n$ 矩阵的定义域是 $R^{n}$ ，陪域是 $R^{m}$ ，因此 $f$ 的定义域是 $R^{3}$ （所有三维输入向量），陪域是 $R^{2}$ （所有二维输出向量）。
3
将输出的第一个分量计算为第一行与输入向量的点积： $(2) (1) + (- 1) (4) + (0) (- 2) = 2 - 4 + 0 = - 2$ 。
4
将第二个分量计算为第二行与输入向量的点积： $(3) (1) + (0) (4) + (2) (- 2) = 3 + 0 - 4 = - 1$ 。
5
合并分量得到输出：
6
$f\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \end{bmatrix}$

Exam tip:

相乘前一定要确认输入向量的维度与矩阵的列数匹配——如果不匹配，函数在该输入处无定义，这是选择题中常见的陷阱选项。

3. 矩阵函数的复合★★★☆☆⏱ 4 min

和其他函数一样，只要内层函数的输出维度与外层函数的输入维度匹配，矩阵函数就可以复合。对于两个函数 $f : R^{n} \to R^{m}$ （由 $m \times n$ 矩阵 $A_{f}$ 定义）和 $g : R^{m} \to R^{k}$ （由 $k \times m$ 矩阵 $B_{g}$ 定义），复合 $(g \circ f) (v) = g (f (v))$ 可简化为矩阵乘法： $(g \circ f) (v) = B_{g} (A_{f} v) = (B_{g} A_{f}) v$ 。

这说明矩阵函数的复合完全等价于矩阵乘法，和函数复合一样遵循从右到左的顺序：内层（先作用的）函数的矩阵放在右侧，外层（后作用的）函数的矩阵放在左侧。和标量函数乘法不同，矩阵复合不满足交换律，因此对于大多数矩阵对，顺序改变会得到不同的结果。

📐 例题

设 $f ([x y]) = [1021] [x y]$ ， $g ([a b]) = [0110] [a b]$ ，求定义复合 $g \circ f$ 的矩阵。

1
回顾 $g \circ f = g (f (v))$ ，因此 $f$ 是内层函数， $g$ 是外层函数。复合的矩阵是乘积 $B_{g} A_{f}$ ，其中 $A_{f} = [1021]$ ， $B_{g} = [0110]$ 。
2
计算乘积的第一行：第一个元素 = $(0) (1) + (1) (0) = 0$ ，第二个元素 = $(0) (2) + (1) (1) = 1$ 。
3
计算乘积的第二行：第一个元素 = $(1) (1) + (0) (0) = 1$ ，第二个元素 = $(1) (2) + (0) (1) = 2$ 。
4
得到 $g \circ f$ 的矩阵为：
5
$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

Exam tip:

如果题目要求的是 $f \circ g$ （先g后f）而不是 $g \circ f$ ，将乘法顺序反过来变为 $A_{f} B_{g}$ ，而不是 $B_{g} A_{f}$ 。永远不要假设顺序不影响结果。

4. 作为矩阵函数的几何变换★★★☆☆⏱ 5 min

所有线性二维几何变换都可以表示为二阶矩阵函数，将输入位置向量 $[x y]$ 映射为变换后的输出位置向量。AP考试中常考的变换包括均匀缩放、关于x轴、y轴或直线 $y = x$ 的反射，以及绕原点的旋转。

这些变换都是线性的，因此符合矩阵函数框架，且当行列式非零时，所有变换都可逆。当依次应用多个变换时，组合变换矩阵通过复合各个矩阵函数得到，遵循从右到左的顺序规则。

📐 例题

求点 $(2, 1)$ 先绕原点逆时针旋转90°，再关于x轴反射后的像点。

1
写出每个变换的矩阵：逆时针90°旋转有 $cos 9 0^{\circ} = 0$ ， $sin 9 0^{\circ} = 1$ ，因此旋转矩阵 $R = [01 - 1 0]$ 。关于x轴反射的矩阵是 $S = [10 0 - 1]$ 。
2
旋转先作用，反射后作用，因此复合是反射 $\circ$ 旋转，组合矩阵为 $S R$ 。
3
计算乘积：
4
$SR = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$
5
将组合矩阵乘输入位置向量 $[21]$ ：
6
$\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \end{bmatrix}$
7
该点的最终像点是 $(- 1, - 2)$ 。

Exam tip:

变换矩阵的顺序永远是：先作用的变换放在乘积的右侧，因为它是复合中的内层函数。

5. 概念检查★★☆☆☆⏱ 2 min

✓ 快速检测

测试你对核心定义域和陪域规则的理解：

设 $f$ 是由 $f (v) = A v$ 定义的矩阵函数，其中 $A = 310 - 2 04$ ， $f$ 的定义域和陪域是什么？
- A) 定义域: $R^{2}$ , 陪域: $R^{2}$
- B) 定义域: $R^{2}$ , 陪域: $R^{3}$
- C) 定义域: $R^{3}$ , 陪域: $R^{2}$
- D) 定义域: $R^{3}$ , 陪域: $R^{3}$
显示答案
1 —
正确！ $m \times n$ 矩阵的定义域是 $R^{n}$ （列数=2），陪域是 $R^{m}$ （行数=3）。

6. 常见陷阱

错误做法:

认为 $3 \times 2$ 矩阵函数的定义域是 $R^{3}$ ，陪域是 $R^{2}$

原因:

学生将矩阵维度与定义域/陪域对应时混淆了行和列

正确做法:

记住：列数=输入维度，行数=输出维度，因此定义域是 $R^{列数}$ ，陪域是 $R^{行数}$

错误做法:

将'先旋转，后反射'的组合变换矩阵写为 $R S$ 而非 $S R$

原因:

学生混淆了函数复合的顺序，将书写顺序当成从左到右的顺序

正确做法:

永远将后作用的变换写在左侧，先作用的写在右侧

错误做法:

假设所有二阶矩阵函数都可逆

原因:

学生错误地认为所有方阵都可逆

正确做法:

在得出逆函数存在的结论前，一定要检查矩阵的行列式是否非零

错误做法:

对顺时针旋转 $θ$ 使用逆时针旋转矩阵

原因:

学生记住了旋转矩阵，但没有考虑方向

正确做法:

顺时针旋转时，将 $- θ$ 代入旋转公式，翻转正弦项的符号

错误做法:

通过取 $A$ 的列与 $v$ 的点积计算 $A v$

原因:

处理列向量时，学生混淆了矩阵-向量乘法和列线性组合

正确做法:

对于列输入的矩阵-向量乘法，永远使用行乘向量，这是AP微积分预备中的标准做法

错误做法:

将 $g \circ f$ 的矩阵写为 $A_{f} B_{g}$ 而非 $B_{g} A_{f}$

原因:

学生将书写顺序的 $g$ 在前 $f$ 在后对应到矩阵从左到右的顺序

正确做法:

将 $g \circ f$ 读作'先f后g'，因此f先作用，放在右侧

7. 速查表

类别	公式/规则	注释
定义域/陪域（ $m \times n$ 矩阵）	定义域: $R^{n}$ , 陪域: $R^{m}$	$n$ = 列数（输入维度）, $m$ = 行数（输出维度）
矩阵函数求值	$f (v) = A v$	输出分量是 $A$ 的每一行与 $v$ 的点积
矩阵函数的复合	$g \circ f$ has matrix $B_{g} A_{f}$	$f$ = 先作用的（内层）函数, $g$ = 后作用的（外层）函数
二维旋转（逆时针 $θ$ ）	$[cos θ sin θ - sin θ cos θ]$	顺时针旋转使用 $- θ$
二维关于x轴反射	$[10 0 - 1]$	翻转y坐标的符号
二维关于y轴反射	$[- 1 0 01]$	翻转x坐标的符号
二维关于 $y = x$ 反射	$[0110]$	交换x坐标和y坐标
二维均匀缩放 $k$ 倍	$[k 0 0 k]$	两个坐标都乘 $k$
矩阵函数的可逆性	逆存在当且仅当 $det (A) \neq = 0$	逆函数由 $f^{- 1} (v) = A^{- 1} v$ 给出

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · AP Precalculus
定义域/陪域识别选择题
2023 · AP Precalculus
几何变换复合自由作答题

下一步

本子主题是AP微积分预备中所有进一步矩阵和线性变换学习的基础前提。矩阵作为函数的框架是矩阵所有应用的基础，包括你接下来在第4单元会遇到的求解线性方程组、变换建模和分析向量关系。掌握这里的复合顺序和定义域/陪域规则，可以避免在AP考试中重点考查的更复杂主题（如逆矩阵函数、线性方程组求解）中犯常见错误。在这个基础上，你还会学习如何使用矩阵函数对现实场景建模，比如计算机图形变换，这类问题常出现在自由应用答题中。