# 作为函数的矩阵

> AP 预备微积分 · 第4单元：含参数、向量和矩阵的函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-matrices-as-functions/

本子主题讲解如何将矩阵理解为线性函数，包括定义域和陪域识别、矩阵-向量乘法作为函数求值、矩阵函数的复合，以及二维几何变换。

**先修:** 矩阵乘法的维度规则; 二阶矩阵的逆矩阵计算; 基础向量记号

## 学习目标

- 将矩阵理解为把输入向量映射到输出向量的线性函数
- 根据矩阵维度确定矩阵函数的定义域和陪域
- 遵循顺序规则，通过矩阵乘法复合矩阵函数
- 将二维几何变换表示为矩阵函数
- 应用矩阵函数求解求值和变换问题

## 矩阵函数的核心定义

在 AP 预备微积分第 4 单元中，矩阵不只是静态的数字数组，更是将输入向量映射到输出向量的线性函数。注意：Unit 4 不在 AP 预备微积分考试范围内——College Board 课程与考试说明（CED）仅考查第 1–3 单元，因此本主题属教师自选／延伸内容，为后续 STEM 课程打基础。

**矩阵函数** — 一种通过矩阵-向量乘法将$n$维输入向量映射为$m$维输出向量的线性函数，也称为线性变换或线性映射。

*记法:* $f(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$, where $A$ is an $m \times n$ matrix, $\mathbf{v}$ is an $n \times 1$ column vector

*例:* 一个$2 \times 3$矩阵定义了一个从$\mathbb{R}^3$到$\mathbb{R}^2$的函数

与一般的非线性函数不同，所有矩阵函数都满足两个核心线性性质：$f(a\mathbf{v}) = a f(\mathbf{v})$对任意标量$a$成立，$f(\mathbf{v} + \mathbf{w}) = f(\mathbf{v}) + f(\mathbf{w})$对任意输入向量$\mathbf{v}, \mathbf{w}$成立。这个框架统一了许多几何和代数运算，将缩放、旋转和反射转化为易于计算的矩阵乘积。

## 矩阵-向量乘法作为函数求值

将矩阵视为函数时，在输入向量处对函数求值就是矩阵-向量乘法。乘法的维度规则与函数的定义域、陪域规则直接对应：$m \times n$矩阵接受$n \times 1$向量，因此其定义域是整个$\mathbb{R}^n$，输出$m \times 1$向量，因此陪域是整个$\mathbb{R}^m$。

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$$

输出通过取$A$的每一行与$\mathbf{v}$的点积计算得到：

$$A\mathbf{v} = \begin{bmatrix} a_{11}v_1 + a_{12}v_2 + \dots + a_{1n}v_n \\ a_{21}v_1 + a_{22}v_2 + \dots + a_{2n}v_n \\ \vdots \\ a_{m1}v_1 + a_{m2}v_2 + \dots + a_{mn}v_n \end{bmatrix}$$

**例题:** 已知矩阵函数$f\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$，(a) 写出$f$的定义域和陪域，(b) 求$f\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{bmatrix}\right)$。

1. 确定矩阵维度：给定矩阵有2行3列，因此是$2 \times 3$矩阵。
2. 应用定义域/陪域规则：$m \times n$矩阵的定义域是$\mathbb{R}^n$，陪域是$\mathbb{R}^m$，因此$f$的定义域是$\mathbb{R}^3$（所有三维输入向量），陪域是$\mathbb{R}^2$（所有二维输出向量）。
3. 将输出的第一个分量计算为第一行与输入向量的点积：$(2)(1) + (-1)(4) + (0)(-2) = 2 - 4 + 0 = -2$。
4. 将第二个分量计算为第二行与输入向量的点积：$(3)(1) + (0)(4) + (2)(-2) = 3 + 0 - 4 = -1$。
5. 合并分量得到输出：
6. $$f\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \end{bmatrix}$$

> **考试提示:** 相乘前一定要确认输入向量的维度与矩阵的列数匹配——如果不匹配，函数在该输入处无定义，这是选择题中常见的陷阱选项。

## 矩阵函数的复合

和其他函数一样，只要内层函数的输出维度与外层函数的输入维度匹配，矩阵函数就可以复合。对于两个函数$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$（由$m \times n$矩阵$A_f$定义）和$g: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k$（由$k \times m$矩阵$B_g$定义），复合$(g \circ f)(\mathbf{v}) = g(f(\mathbf{v}))$可简化为矩阵乘法：$(g \circ f)(\mathbf{v}) = B_g (A_f \mathbf{v}) = (B_g A_f)\mathbf{v}$。

这说明矩阵函数的复合完全等价于矩阵乘法，和函数复合一样遵循从右到左的顺序：内层（先作用的）函数的矩阵放在右侧，外层（后作用的）函数的矩阵放在左侧。和标量函数乘法不同，矩阵复合不满足交换律，因此对于大多数矩阵对，顺序改变会得到不同的结果。

**例题:** 设$f\left(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$，$g\left(\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$，求定义复合$g \circ f$的矩阵。

1. 回顾$g \circ f = g(f(\mathbf{v}))$，因此$f$是内层函数，$g$是外层函数。复合的矩阵是乘积$B_g A_f$，其中$A_f = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，$B_g = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$。
2. 计算乘积的第一行：第一个元素 = $(0)(1) + (1)(0) = 0$，第二个元素 = $(0)(2) + (1)(1) = 1$。
3. 计算乘积的第二行：第一个元素 = $(1)(1) + (0)(0) = 1$，第二个元素 = $(1)(2) + (0)(1) = 2$。
4. 得到$g \circ f$的矩阵为：
5. $$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$$

> **考试提示:** 如果题目要求的是$f \circ g$（先g后f）而不是$g \circ f$，将乘法顺序反过来变为$A_f B_g$，而不是$B_g A_f$。永远不要假设顺序不影响结果。

## 作为矩阵函数的几何变换

所有线性二维几何变换都可以表示为二阶矩阵函数，将输入位置向量$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$映射为变换后的输出位置向量。常见的变换包括均匀缩放、关于x轴、y轴或直线$y=x$的反射，以及绕原点的旋转。

这些变换都是线性的，因此符合矩阵函数框架，且当行列式非零时，所有变换都可逆。当依次应用多个变换时，组合变换矩阵通过复合各个矩阵函数得到，遵循从右到左的顺序规则。

**例题:** 求点$(2, 1)$先绕原点逆时针旋转90°，再关于x轴反射后的像点。

1. 写出每个变换的矩阵：逆时针90°旋转有$\cos 90^\circ = 0$，$\sin 90^\circ = 1$，因此旋转矩阵$R = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$。关于x轴反射的矩阵是$S = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$。
2. 旋转先作用，反射后作用，因此复合是反射$\circ$旋转，组合矩阵为$SR$。
3. 计算乘积：
4. $$SR = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$$
5. 将组合矩阵乘输入位置向量$\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$：
6. $$\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \end{bmatrix}$$
7. 该点的最终像点是$(-1, -2)$。

> **考试提示:** 变换矩阵的顺序永远是：先作用的变换放在乘积的右侧，因为它是复合中的内层函数。

## 概念检查

**概念自测**

测试你对核心定义域和陪域规则的理解：

1. 设$f$是由$f(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$定义的矩阵函数，其中$A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$，$f$的定义域和陪域是什么？

   - A) 定义域: $\mathbb{R}^2$, 陪域: $\mathbb{R}^2$
   - B) 定义域: $\mathbb{R}^2$, 陪域: $\mathbb{R}^3$
   - C) 定义域: $\mathbb{R}^3$, 陪域: $\mathbb{R}^2$
   - D) 定义域: $\mathbb{R}^3$, 陪域: $\mathbb{R}^3$

   *答案:* B) 定义域: $\mathbb{R}^2$, 陪域: $\mathbb{R}^3$

   *解析:* 正确！$m \times n$矩阵的定义域是$\mathbb{R}^n$（列数=2），陪域是$\mathbb{R}^m$（行数=3）。

## 常见错误

- **错误做法:** 认为$3 \times 2$矩阵函数的定义域是$\mathbb{R}^3$，陪域是$\mathbb{R}^2$
  - 原因: 学生将矩阵维度与定义域/陪域对应时混淆了行和列
  - 正确做法: 记住：列数=输入维度，行数=输出维度，因此定义域是$\mathbb{R}^{\text{列数}}$，陪域是$\mathbb{R}^{\text{行数}}$
- **错误做法:** 将'先旋转，后反射'的组合变换矩阵写为$RS$而非$SR$
  - 原因: 学生混淆了函数复合的顺序，将书写顺序当成从左到右的顺序
  - 正确做法: 永远将后作用的变换写在左侧，先作用的写在右侧
- **错误做法:** 假设所有二阶矩阵函数都可逆
  - 原因: 学生错误地认为所有方阵都可逆
  - 正确做法: 在得出逆函数存在的结论前，一定要检查矩阵的行列式是否非零
- **错误做法:** 对顺时针旋转$\theta$使用逆时针旋转矩阵
  - 原因: 学生记住了旋转矩阵，但没有考虑方向
  - 正确做法: 顺时针旋转时，将$-\theta$代入旋转公式，翻转正弦项的符号
- **错误做法:** 通过取$A$的列与$\mathbf{v}$的点积计算$A\mathbf{v}$
  - 原因: 处理列向量时，学生混淆了矩阵-向量乘法和列线性组合
  - 正确做法: 对于列输入的矩阵-向量乘法，永远使用行乘向量，这是AP微积分预备中的标准做法
- **错误做法:** 将$g \circ f$的矩阵写为$A_f B_g$而非$B_g A_f$
  - 原因: 学生将书写顺序的$g$在前$f$在后对应到矩阵从左到右的顺序
  - 正确做法: 将$g \circ f$读作'先f后g'，因此f先作用，放在右侧

## 速查表

| 类别 | 公式/规则 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 定义域/陪域（$m \times n$矩阵） | 定义域: $\mathbb{R}^n$, 陪域: $\mathbb{R}^m$ | $n$ = 列数（输入维度）, $m$ = 行数（输出维度） |
| 矩阵函数求值 | $f(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$ | 输出分量是$A$的每一行与$\mathbf{v}$的点积 |
| 矩阵函数的复合 | $g \circ f$ has matrix $B_g A_f$ | $f$ = 先作用的（内层）函数, $g$ = 后作用的（外层）函数 |
| 二维旋转（逆时针$\theta$） | $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ | 顺时针旋转使用$-\theta$ |
| 二维关于x轴反射 | $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ | 翻转y坐标的符号 |
| 二维关于y轴反射 | $\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ | 翻转x坐标的符号 |
| 二维关于$y=x$反射 | $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ | 交换x坐标和y坐标 |
| 二维均匀缩放$k$倍 | $\begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix}$ | 两个坐标都乘$k$ |
| 矩阵函数的可逆性 | 逆存在当且仅当$\det(A) \neq 0$ | 逆函数由$f^{-1}(\mathbf{v}) = A^{-1}\mathbf{v}$给出 |

## 下一步

本子主题是AP微积分预备中所有进一步矩阵和线性变换学习的基础前提。矩阵作为函数的框架是矩阵所有应用的基础，包括你接下来在第4单元会遇到的求解线性方程组、变换建模和分析向量关系。掌握这里的复合顺序和定义域/陪域规则，可以避免在第 4 单元后续更复杂主题（如逆矩阵函数、线性方程组求解）中犯常见错误。在这个基础上，你还会学习如何使用矩阵函数对现实场景建模，比如计算机图形变换等现实应用。

- [第4单元概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-overview/)
- [矩阵建模实际场景](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-matrices-modeling-contexts/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-matrices-as-functions/