线性变换与矩阵

AP 微积分预修· AP 微积分预修课程说明 — 含参数的函数、向量与矩阵· 14 分钟阅读

1. 定义与矩阵表示★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

线性变换

$T : R^{2} \to R^{2}$

将二维输入向量映射为二维输出向量的函数，对所有向量 $u, v$ 和所有标量 $c$ 满足两个核心性质：可加性 $T (u + v) = T (u) + T (v)$ 和齐次性 $T (c v) = c T (v)$

例:

任何形如 $T (x, y) = (a x + b y, c x + d y)$ 的变换都是线性变换

根据线性性，任何输入向量都可以写成标准基向量 $[10]$ 和 $[01]$ 的线性组合，因此：

T\left(\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}\right) = xT\left(\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}\right) + yT\left(\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}\right)

这意味着变换对标准基向量的输出就构成了变换矩阵的列。对于 $T (x, y) = (T_{x} (x, y), T_{y} (x, y))$ ，变换矩阵为：

A = \begin{bmatrix} T_x(1,0) & T_x(0,1) \\ T_y(1,0) & T_y(0,1) \end{bmatrix}

📐 例题

求线性变换 $T (x, y) = (4 x - 3 y, 2 x + y)$ 的矩阵表示

1
计算 $T$ 在第一个标准基向量 $[10]$ 处的值：
2
$T(1,0) = (4(1) - 3(0), 2(1) + 0) = (4, 2)，这就是矩阵的第一列$
3
计算 $T$ 在第二个标准基向量 $[01]$ 处的值：
4
$T(0,1) = (4(0) - 3(1), 2(0) + 1) = (-3, 1)，这就是矩阵的第二列$
5
组装矩阵并验证：
6
$A = \begin{bmatrix}4 & -3 \\ 2 & 1\end{bmatrix}, \quad A\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4x - 3y \\ 2x + y\end{bmatrix}$

Exam tip:

考试中永远先测试零向量，快速排除非线性变换。

2. 复合变换与矩阵乘法★★★☆☆⏱ 4 min

依次应用两个线性变换（先 $T_{1}$ ，后 $T_{2}$ ）时，复合变换 $T_{2} \circ T_{1} = T_{2} (T_{1} (v))$ 也是线性变换。如果 $T_{1}$ 对应的矩阵是 $A_{1}$ ， $T_{2}$ 对应的矩阵是 $A_{2}$ ，根据矩阵乘法的结合律，复合变换对应的矩阵就是乘积 $A_{2} A_{1}$ 。

对于两个二阶矩阵，乘积 $B A$ 由 $B$ 的每一行与 $A$ 的每一列做点积计算得到：

B = \begin{bmatrix}e & f \\ g & h\end{bmatrix}, A = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}, \quad BA = \begin{bmatrix}ea + fc & eb + fd \\ ga + hc & gb + hd\end{bmatrix}

📐 例题

设 $T_{1}$ 是关于y轴的反射（矩阵为 $A = [- 1 0 01]$ ）， $T_{2}$ 是放大3倍的位似变换（矩阵为 $B = [3003]$ ）。求先关于y轴反射，再放大3倍的复合变换矩阵。

1
确认变换顺序：先 $T_{1}$ 后 $T_{2}$ 对应复合变换 $T_{2} \circ T_{1}$ ，因此乘积是 $B A$ ，不是 $A B$ 。
2
逐个元素计算：
3
$(3)(-1) + (0)(0) = -3, \quad (3)(0) + (0)(1) = 0 \\ (0)(-1) + (3)(0) = 0, \quad (0)(0) + (3)(1) = 3$
4
最终乘积矩阵为：
5
$BA = \begin{bmatrix}-3 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$
6
使用输入 $[24]$ 验证，结果与依次变换一致。

Exam tip:

相乘前一定要明确写出变换顺序，避免顺序错误。

3. 逆变换与行列式★★★☆☆⏱ 4 min

线性变换可逆当且仅当它是双射（一一对应），即每个输出向量都对应唯一的输入向量。对于二阶矩阵 $A = [a c b d]$ ，可逆性由行列式 $det (A) = a d - b c$ 决定：如果 $det (A) \neq = 0$ ，则 $A$ 可逆；如果 $det (A) = 0$ ，变换不可逆。

逆矩阵 $A^{- 1}$ 对应抵消原变换 $T$ 的逆变换，满足 $A A^{- 1} = A^{- 1} A = I$ ，其中 $I = [1001]$ 是单位矩阵。二阶矩阵的逆矩阵公式为：

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}

📐 例题

求变换矩阵 $A = [2314]$ 的逆矩阵，然后验证 $A A^{- 1} = I$ 。

1
先计算行列式：
2
$\det(A) = (2)(4) - (1)(3) = 8 - 3 = 5 \neq 0, \text{因此逆矩阵存在}$
3
应用逆矩阵公式：交换对角线元素，翻转非对角线元素符号，除以行列式：
4
$A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix}4 & -1 \\ -3 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{3}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}$
5
计算乘积验证结论：
6
$\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{3}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = I$

Exam tip:

熟记标准几何变换矩阵（旋转、反射、位似）可以在考试中节省时间。

4. AP风格概念检测★★★☆☆⏱ 2 min

✓ 快速检测

测试你对核心概念的理解：

以下哪个变换是线性变换？
- A) $T (x, y) = (3 x, y^{2})$
- B) $T (x, y) = (2 x + 5 y, x - 4 y)$
- C) $T (x, y) = (x + 2, y - 3)$
- D) $T (x, y) = (x y, 3 x)$
显示答案
B —
首先排除选项C： $T (0, 0) = (2, - 3) \neq = (0, 0)$ ，因此它是非线性变换。选项A不满足齐次性，选项D不满足可加性。只有选项B同时满足两个线性性质。

5. 常见陷阱

错误做法:

交换复合变换的矩阵乘法顺序，对先 $T_{1}$ 后 $T_{2}$ 的变换错误写成 $A_{1} A_{2}$ 。

原因:

学生混淆函数复合记号： $f \circ g = f (g (x))$ ，先应用的函数是内层函数，因此在矩阵形式中位于右侧。

正确做法:

始终明确标注顺序：'先 $T_{1}$ ，后 $T_{2}$ = $T_{2} (T_{1} (v)) = A_{2} A_{1} v$ ，因此矩阵乘积为 $A_{2} A_{1}$ 。'

错误做法:

计算 $A^{- 1}$ 时，忘记将调整后的矩阵除以行列式。

原因:

学生记得交换 $a$ 和 $d$ ，翻转 $b$ 和 $c$ 的符号，但遗漏了 $1/ det (A)$ 这个缩放因子。

正确做法:

交换和变号后，一定要在化简元素前将 $1/ (a d - b c)$ 因子写在矩阵外。

错误做法:

将平移称为线性变换。

原因:

平移是仿射变换，看起来像线性变换，但不满足线性性质。

正确做法:

永远检查 $T (0)$ ：如果 $T (0) \neq = 0$ ，立即将该变换标记为非线性。

错误做法:

将标准基向量的输出作为行而非列放入变换矩阵。

原因:

学生混淆了矩阵表示的标准约定。

正确做法:

永远记住： $(1, 0)$ 的输出是第一列， $(0, 1)$ 的输出是第二列。如果不确定，可以用一般向量测试确认。

错误做法:

旋转矩阵中 $sin θ$ 的符号错误。

原因:

学生混淆了旋转方向。

正确做法:

标准矩阵是针对逆时针旋转 $θ$ 定义的；顺时针旋转时代入 $- θ$ ，这会翻转两个 $sin$ 项的符号。

6. 速查表

类别	公式	说明
线性变换性质	$T (u + v) = T (u) + T (v), T (c v) = c T (v)$	$T (0) = 0$ 是线性性的必要条件
变换矩阵构造	第一列 = $T [10]$ ，第二列 = $T [01]$	基向量的输出是列，不是行
二阶矩阵乘法	$[e g f h] [a c b d] = [e a + f c g a + h c e b + f d g b + h d]$	第一个矩阵的行与第二个矩阵的列做点积
复合顺序	先 $T_{1}$ ，后 $T_{2}$ ：矩阵 = $A_{2} A_{1}$	先应用的变换矩阵在右侧
因子为 $k$ 的位似变换	$[k 0 0 k]$	关于原点缩放
逆时针旋转 $θ$	$[cos θ sin θ - sin θ cos θ]$	顺时针旋转时代入 $- θ$
二阶行列式	$det [a c b d] = a d - b c$	$det = 0$ 意味着矩阵不可逆
二阶逆矩阵	$A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} [d - c - b a]$	仅适用于行列式非零的二阶矩阵

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · MCQ
识别线性变换
2023 · FRQ
复合变换矩阵

下一步

本主题是AP微积分预修第4单元剩余内容的基础，包括使用矩阵求解线性方程组、建模多变量情境关系。接下来，你将应用线性变换和矩阵约定求解线性方程组，对含多个输入变量的真实世界过程建模。如果没有掌握这里介绍的顺序规则、矩阵构造和逆矩阵公式，你在处理矩阵方程组时会不断犯下可避免的符号和顺序错误。本主题还为大学线性代数、计算机图形学和数据科学提供了基础知识，线性变换是这些领域的核心分析工具。