# 线性变换与矩阵

> AP 预备微积分 · 第4单元：含参数的函数、向量与矩阵
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-linear-transformations-and-matrices/

本指南涵盖线性变换的核心性质、二阶矩阵表示、通过矩阵乘法实现的变换复合、逆变换，以及符合AP微积分预修第4单元要求的常见几何变换。

**先修:** 基础矩阵加法与乘法; 二维向量运算; 函数复合与逆性质; [AP微积分预修第4单元概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-overview/)

## 学习目标

- 定义线性变换并验证线性性质
- 构造二维线性变换的二阶矩阵表示
- 计算复合线性变换的矩阵乘积
- 求可逆线性变换的二阶逆矩阵
- 识别并应用常见几何线性变换

## 定义与矩阵表示

> **info**
>
> 注意：Unit 4 不在 AP 预备微积分考试范围内——College Board 课程与考试说明（CED）仅考查第 1–3 单元。线性变换属教师自选／延伸内容，为后续线性代数等 STEM 课程打基础。

**线性变换** — 将二维输入向量映射为二维输出向量的函数，对所有向量$\vec{u}, \vec{v}$和所有标量$c$满足两个核心性质：可加性$T(\vec{u} + \vec{v}) = T(\vec{u}) + T(\vec{v})$和齐次性$T(c\vec{v}) = cT(\vec{v})$

*记法:* $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$

*例:* 任何形如$T(x,y) = (ax+by, cx+dy)$的变换都是线性变换

根据线性性，任何输入向量都可以写成标准基向量$\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}$的线性组合，因此：

$$T\left(\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}\right) = xT\left(\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}\right) + yT\left(\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}\right)$$

这意味着变换对标准基向量的输出就构成了变换矩阵的**列**。对于$T(x,y) = (T_x(x,y), T_y(x,y))$，变换矩阵为：

$$A = \begin{bmatrix} T_x(1,0) & T_x(0,1) \\ T_y(1,0) & T_y(0,1) \end{bmatrix}$$

> **tip**
>
> 如果需要确认一个变换是否为线性变换，先对零向量进行测试。如果$T(\vec{0}) \neq \vec{0}$，它一定是非线性变换，无需进一步测试。

**例题:** 求线性变换$T(x,y) = (4x - 3y, 2x + y)$的矩阵表示

1. 计算$T$在第一个标准基向量$\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}$处的值：
2. $$T(1,0) = (4(1) - 3(0), 2(1) + 0) = (4, 2)，这就是矩阵的第一列$$
3. 计算$T$在第二个标准基向量$\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}$处的值：
4. $$T(0,1) = (4(0) - 3(1), 2(0) + 1) = (-3, 1)，这就是矩阵的第二列$$
5. 组装矩阵并验证：
6. $$A = \begin{bmatrix}4 & -3 \\ 2 & 1\end{bmatrix}, \quad A\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4x - 3y \\ 2x + y\end{bmatrix}$$

> **考试提示:** 永远先测试零向量，快速排除非线性变换。

## 复合变换与矩阵乘法

依次应用两个线性变换（先$T_1$，后$T_2$）时，复合变换$T_2 \circ T_1 = T_2(T_1(\vec{v}))$也是线性变换。如果$T_1$对应的矩阵是$A_1$，$T_2$对应的矩阵是$A_2$，根据矩阵乘法的结合律，复合变换对应的矩阵就是乘积$A_2 A_1$。

> **warning**
>
> 矩阵乘法不满足交换律！先应用的变换矩阵永远在乘积的**右侧**，后应用的变换矩阵在左侧。

对于两个二阶矩阵，乘积$BA$由$B$的每一行与$A$的每一列做点积计算得到：

$$B = \begin{bmatrix}e & f \\ g & h\end{bmatrix}, A = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}, \quad BA = \begin{bmatrix}ea + fc & eb + fd \\ ga + hc & gb + hd\end{bmatrix}$$

**例题:** 设$T_1$是关于y轴的反射（矩阵为$A = \begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$），$T_2$是放大3倍的位似变换（矩阵为$B = \begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$）。求先关于y轴反射，再放大3倍的复合变换矩阵。

1. 确认变换顺序：先$T_1$后$T_2$对应复合变换$T_2 \circ T_1$，因此乘积是$BA$，不是$AB$。
2. 逐个元素计算：
3. $$(3)(-1) + (0)(0) = -3, \quad (3)(0) + (0)(1) = 0 \\ (0)(-1) + (3)(0) = 0, \quad (0)(0) + (3)(1) = 3$$
4. 最终乘积矩阵为：
5. $$BA = \begin{bmatrix}-3 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$$
6. 使用输入$\begin{bmatrix}2 \\ 4\end{bmatrix}$验证，结果与依次变换一致。

> **考试提示:** 相乘前一定要明确写出变换顺序，避免顺序错误。

## 逆变换与行列式

线性变换可逆当且仅当它是双射（一一对应），即每个输出向量都对应唯一的输入向量。对于二阶矩阵$A = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}$，可逆性由行列式$\det(A) = ad - bc$决定：如果$\det(A) \neq 0$，则$A$可逆；如果$\det(A) = 0$，变换不可逆。

逆矩阵$A^{-1}$对应抵消原变换$T$的逆变换，满足$AA^{-1} = A^{-1}A = I$，其中$I = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$是单位矩阵。二阶矩阵的逆矩阵公式为：

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$$

**例题:** 求变换矩阵$A = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$的逆矩阵，然后验证$AA^{-1} = I$。

1. 先计算行列式：
2. $$\det(A) = (2)(4) - (1)(3) = 8 - 3 = 5 \neq 0, \text{因此逆矩阵存在}$$
3. 应用逆矩阵公式：交换对角线元素，翻转非对角线元素符号，除以行列式：
4. $$A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix}4 & -1 \\ -3 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{3}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}$$
5. 计算乘积验证结论：
6. $$\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{3}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = I$$

> **考试提示:** 熟记标准几何变换矩阵（旋转、反射、位似）可以在解题时节省时间。

## AP风格概念检测

**概念自测**

测试你对核心概念的理解：

1. 以下哪个变换是线性变换？

   - A) $T(x,y) = (3x, y^2)$
   - B) $T(x,y) = (2x + 5y, x - 4y)$
   - C) $T(x,y) = (x + 2, y - 3)$
   - D) $T(x,y) = (xy, 3x)$

   *解析:* 首先排除选项C：$T(0,0) = (2,-3) \neq (0,0)$，因此它是非线性变换。选项A不满足齐次性，选项D不满足可加性。只有选项B同时满足两个线性性质。

## 常见错误

- **错误做法:** 交换复合变换的矩阵乘法顺序，对先$T_1$后$T_2$的变换错误写成$A_1 A_2$。
  - 原因: 学生混淆函数复合记号：$f \circ g = f(g(x))$，先应用的函数是内层函数，因此在矩阵形式中位于右侧。
  - 正确做法: 始终明确标注顺序：'先$T_1$，后$T_2$ = $T_2(T_1(\vec{v})) = A_2 A_1 \vec{v}$，因此矩阵乘积为$A_2 A_1$。'
- **错误做法:** 计算$A^{-1}$时，忘记将调整后的矩阵除以行列式。
  - 原因: 学生记得交换$a$和$d$，翻转$b$和$c$的符号，但遗漏了$1/\det(A)$这个缩放因子。
  - 正确做法: 交换和变号后，一定要在化简元素前将$1/(ad-bc)$因子写在矩阵外。
- **错误做法:** 将平移称为线性变换。
  - 原因: 平移是仿射变换，看起来像线性变换，但不满足线性性质。
  - 正确做法: 永远检查$T(\vec{0})$：如果$T(\vec{0}) \neq \vec{0}$，立即将该变换标记为非线性。
- **错误做法:** 将标准基向量的输出作为行而非列放入变换矩阵。
  - 原因: 学生混淆了矩阵表示的标准约定。
  - 正确做法: 永远记住：$(1,0)$的输出是第一列，$(0,1)$的输出是第二列。如果不确定，可以用一般向量测试确认。
- **错误做法:** 旋转矩阵中$\sin\theta$的符号错误。
  - 原因: 学生混淆了旋转方向。
  - 正确做法: 标准矩阵是针对逆时针旋转$\theta$定义的；顺时针旋转时代入$-\theta$，这会翻转两个$\sin$项的符号。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 线性变换性质 | $T(\vec{u}+\vec{v})=T(\vec{u})+T(\vec{v}),\ T(c\vec{v})=cT(\vec{v})$ | $T(\vec{0})=\vec{0}$是线性性的必要条件 |
| 变换矩阵构造 | 第一列 = $T\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$，第二列 = $T\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ | 基向量的输出是列，不是行 |
| 二阶矩阵乘法 | $\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}ea+fc&eb+fd\\ga+hc&gb+hd\end{bmatrix}$ | 第一个矩阵的行与第二个矩阵的列做点积 |
| 复合顺序 | 先$T_1$，后$T_2$：矩阵 = $A_2A_1$ | 先应用的变换矩阵在右侧 |
| 因子为$k$的位似变换 | $\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}$ | 关于原点缩放 |
| 逆时针旋转$\theta$ | $\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$ | 顺时针旋转时代入$-\theta$ |
| 二阶行列式 | $\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = ad-bc$ | $\det = 0$意味着矩阵不可逆 |
| 二阶逆矩阵 | $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$ | 仅适用于行列式非零的二阶矩阵 |

## 下一步

本主题是AP微积分预修第4单元剩余内容的基础，包括使用矩阵求解线性方程组、建模多变量情境关系。接下来，你将应用线性变换和矩阵约定求解线性方程组，对含多个输入变量的真实世界过程建模。如果没有掌握这里介绍的顺序规则、矩阵构造和逆矩阵公式，你在处理矩阵方程组时会不断犯下可避免的符号和顺序错误。本主题还为大学线性代数、计算机图形学和数据科学提供了基础知识，线性变换是这些领域的核心分析工具。

- [作为函数的矩阵](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-matrices-as-functions/)
- [矩阵建模实际场景](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-matrices-modeling-contexts/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-linear-transformations-and-matrices/