# 隐式定义函数

> AP 预备微积分 · 第4单元：含参数、向量和矩阵的函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-implicitly-defined-functions/

本模块讲解二元方程如何隐式描述一个或多个函数。你将学会通过求解点画出方程图像、用竖线检验判断整个图像是否为函数、对某个变量求解把关系拆成若干函数部分（如圆的上半和下半），对给定输入求输出值，并描述图像上两个量如何一起变化。

**先修:** 函数定义与函数记号 $y=f(x)$; 函数的竖线检验; 对某个变量解方程，包括开平方

## 学习目标

- 区分显式定义函数 $y=f(x)$ 与隐式描述一个或多个函数的二元方程
- 通过求解并描点画出二元方程的图像
- 用竖线检验判断一个方程的整个图像是否为函数
- 对某个变量求解，把关系拆成若干函数部分（如圆的上半和下半），对给定输入求输出值，并描述两个量如何一起变化

## 显式函数与二元方程

本课程的大部分内容你处理的都是显式定义函数，写作 $y=f(x)$：输出 $y$ 由作用在输入 $x$ 上的规则直接给出，且每个输入恰好对应一个输出。但许多重要曲线来自一个只是把 $x$ 与 $y$ 联系起来的方程，例如 $x^2+y^2=25$。这样的方程是一个关系：它的图像是使方程成立的所有有序对 $(x,y)$ 组成的集合。它不写成 $y=f(x)$ 的形式，本身也未必是一个函数。

**隐式定义函数** — 含两个变量的方程可以隐式地描述一个或多个函数。即使方程没有解出 $y$，对其中一个变量求解也会得到若干函数，这些函数的图像构成方程图像的一部分或全部。

*记法:* $x^2 + y^2 = 25$

*例:* $x^2+y^2=25$ 隐式描述了两个函数 $y=\sqrt{25-x^2}$（圆的上半部分）和 $y=-\sqrt{25-x^2}$（下半部分）。

> **info**
>
> 二元方程的图像可以是一条完整曲线——比如整个圆 $x^2+y^2=25$——而它本身不是 $x$ 的函数，因为某些竖线会与它相交两次。然而这一个关系里其实打包了好几个真正的函数。

## 画二元方程的图像

画二元方程的图像和画任何函数一样：找出解并描点。一个解就是满足方程的有序对 $(x,y)$。选一个输入值，代入，解出对应的一个或多个输出值，标出每个得到的点。图像就是所有这些点的集合。

**例题:** 通过列解的表格画出圆 $x^2+y^2=25$。

1. 先把方程解出 $y$，这样就能由输入算出输出：

   $$y = \pm\sqrt{25 - x^2}$$
2. 取从 $-5$ 到 $5$ 的输入，求出每个对应的输出。每个满足 $|x|<5$ 的输入都给出两个输出：

   $$x=0 \Rightarrow y=\pm 5,\quad x=\pm 3 \Rightarrow y=\pm 4,\quad x=\pm 4 \Rightarrow y=\pm 3,\quad x=\pm 5 \Rightarrow y=0$$
3. 描出每一个点——例如 $(0,5),(0,-5),(3,4),(3,-4),(4,3),(4,-3),(5,0),(-5,0)$。把它们连起来就画出以原点为圆心、半径为 $5$ 的圆。

> **info**
>
> 只有满足 $-5 \le x \le 5$ 的输入才有实数输出；当 $|x|>5$ 时 $25-x^2$ 为负，没有实平方根，因此图像在 $x=\pm 5$ 处终止。

> **考试提示:** 当你把方程解出 $y$ 并出现平方根时，要保留 $\pm$：这时大多数输入会给出两个输出，因此上下两个点都要描出来。

## 竖线检验：整个图像是函数吗？

只有当每条竖线与图像至多相交一次、从而每个输入只对应一个输出时，图像才表示 $y$ 是 $x$ 的函数。整个圆 $x^2+y^2=25$ 通不过这个检验：竖线 $x=3$ 同时与它相交于 $(3,4)$ 和 $(3,-4)$，一个输入对应了两个输出。因此整体来看，这个圆不是 $x$ 的函数——它是把若干函数打包在一起的关系。

- **不是 $x$ 的函数：** 圆 $x^2+y^2=25$、椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$、横放的抛物线 $x=y^2$ 以及双曲线 $x^2-y^2=1$ 都通不过竖线检验。
- **本身已是 $x$ 的函数：** 像 $x^3+y=1$ 这样的方程可以解出唯一的规则 $y=1-x^3$，因此它的整个图像都能通过竖线检验。
- **关系仍可能是 $y$ 的函数：** 横放的抛物线 $x=y^2$ 不是 $x$ 的函数，但每个输入 $y$ 恰好给出一个输出 $x$，因此它是 $y$ 的函数。

> **info**
>
> 通不过竖线检验并不意味着方程没用——只是说明你要么把图像描述为一个关系，要么把它拆成若干函数部分，这就是下一步要做的事。

> **考试提示:** 要说明一个图像不是 $x$ 的函数，你只需找到一条与它相交超过一次的竖线——一个反例就够了。

## 把关系拆成若干函数部分

要从一个通不过竖线检验的方程中提取出真正的函数，就对某个变量求解。结果的每一个分支——平方根的每一个符号，或每一段受限部分——都是一个函数，它的图像是整个图像的一部分。把这些部分并排放在一起，就重建了完整的图像。

**例题:** 把椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ 拆成若干函数部分，并求它上面 $x=2$ 处的点。

1. 把方程解出 $y$：

   $$\frac{y^2}{9}=1-\frac{x^2}{16} \;\Rightarrow\; y=\pm 3\sqrt{1-\frac{x^2}{16}}$$
2. 读出两个部分：$+$ 号给出上半部分 $y=3\sqrt{1-\frac{x^2}{16}}$，$-$ 号给出下半部分 $y=-3\sqrt{1-\frac{x^2}{16}}$。每一部分都是定义域为 $-4\le x\le 4$ 的函数。
3. 把输入 $x=2$ 代入每个部分：

   $$y=\pm 3\sqrt{1-\frac{4}{16}}=\pm 3\sqrt{\tfrac{3}{4}}=\pm\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
4. 因此输入 $x=2$ 在椭圆上对应上半部分的点 $\left(2,\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ 和下半部分的点 $\left(2,-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$。

**例题:** 关系 $x=y^2$ 不是 $x$ 的函数。把它拆成 $x$ 的函数部分。

1. 解出 $y$：

   $$y=\pm\sqrt{x}$$
2. 上半部分 $y=\sqrt{x}$ 和下半部分 $y=-\sqrt{x}$ 各自都是定义域为 $x\ge 0$ 的 $x$ 的函数；它们合起来构成整条横放的抛物线。
3. 对于输入 $x=9$，两个部分给出 $y=3$ 和 $y=-3$，即点 $(9,3)$ 和 $(9,-3)$。

> **info**
>
> 你不一定总要在全局上求解。在图像的任意一个点附近，你可以选出经过它的那一个部分；该部分在那里就像普通函数一样，这通常就足够解题了。

> **考试提示:** 平方根后的每一个正负号选择都是一个单独的函数部分。在选号之前，先想清楚你要的是哪一部分（上或下、右或左）。

## 两个量如何一起变化

即使不解出 $y$，你也可以通过比较图像上两个靠得很近的有序对，来描述隐式定义图像上两个量如何一起变化。观察这两个变量变化量的比值——从一个点到下一个点的平均变化率。如果这个比值为正，两个变量就一起增大或一起减小；如果为负，则一个增大而另一个减小。

**例题:** 在圆 $x^2+y^2=25$ 上，描述沿从 $(0,5)$ 到 $(5,0)$ 这段弧上 $x$ 和 $y$ 如何一起变化。

1. 列出这段弧上的几个解点：

   $$(0,5),\;(3,4),\;(4,3),\;(5,0)$$
2. 当输入 $x$ 增大 $0\to 3\to 4\to 5$ 时，输出 $y$ 减小 $5\to 4\to 3\to 0$。一个上升而另一个下降，所以在这段弧上两个量朝相反方向变化。
3. 用 $(0,5)$ 与 $(3,4)$ 之间变化量的比值来验证：

   $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4-5}{3-0}=-\frac{1}{3}<0$$
4. 这个负比值确认了在这一部分上，$x$ 增大时 $y$ 减小。

图像的走向会出现「平缓」的地方。当输出 $y$ 随 $x$ 变化而暂时不变时——$y$ 关于 $x$ 的平均变化率为零——图像沿水平方向延伸；在圆上，这发生在顶部 $(0,5)$ 和底部 $(0,-5)$。反过来，当输入 $x$ 随 $y$ 变化而暂时不变时，图像沿竖直方向延伸；在圆上，这发生在最右端 $(5,0)$ 和最左端 $(-5,0)$。

**概念自测**

用这道AP风格题测试你对隐式定义函数的理解：

1. 在 $x^2+y^2=25$ 的图像上，哪个点位于下半部分函数 $y=-\sqrt{25-x^2}$ 上？

   - $(3,4)$
   - $(4,3)$
   - $(3,-4)$
   - $(0,5)$

   *解析:* 正确：下半部分取 $-$ 号，因此它的输出为负。代入 $x=3$ 得 $y=-\sqrt{25-9}=-4$，即点 $(3,-4)$。

> **考试提示:** 从两个相邻的点读出「一起变化」：比较 $y$ 的变化与 $x$ 的变化。同号表示它们同向变化；异号表示一个上升时另一个下降。

## 常见错误

- **错误做法:** 默认每个含 $x$ 和 $y$ 的方程都是函数，不加检验就写成 $y=f(x)$。
  - 原因: 学生习惯了前面单元的函数，预期每个输入只有一个输出。
  - 正确做法: 先做竖线检验；如果有一条竖线能与图像相交两次，那么整个方程就是一个关系，而不是单一的 $x$ 的函数。
- **错误做法:** 解出 $y$ 后丢掉 $\pm$，例如把 $y=\sqrt{25-x^2}$ 当成整个圆。
  - 原因: 平方根键只给出主（非负）根，因此学生只保留了上半部分。
  - 正确做法: 两个符号都要保留：$y=+\sqrt{25-x^2}$ 是上半部分，$y=-\sqrt{25-x^2}$ 是下半部分；它们合起来才是完整图像。
- **错误做法:** 忘记某个部分的定义域，例如把 $x=6$ 代入半径为 $5$ 的圆的 $y=\pm\sqrt{25-x^2}$。
  - 原因: 学生把这个部分当成能接受任何输入的多项式。
  - 正确做法: 只有当根号下的表达式非负时该部分才有定义；对 $y=\pm\sqrt{25-x^2}$ 而言即 $-5\le x\le 5$。
- **错误做法:** 一旦某个关系通不过竖线检验，就断定它在任何意义上都「不是函数」。
  - 原因: 学生一听到「不是函数」就停下，忽略了它仍可能是另一个变量的函数，或可以拆成若干部分。
  - 正确做法: 准确说明是什么通不过：整个图像不是 $x$ 的函数，但它可能是 $y$ 的函数，而且它总能拆成若干函数部分。
- **错误做法:** 在圆这类图像上弄混哪些点沿水平方向、哪些点沿竖直方向延伸。
  - 原因: 学生死记「上下」与「两侧」，却没有把它们与哪个量停止变化联系起来。
  - 正确做法: 图像在 $y$ 暂时停止变化处沿水平方向延伸（圆的顶部和底部），在 $x$ 暂时停止变化处沿竖直方向延伸（圆的左端和右端）。

## 速查表

| 概念 | 想法/公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 显式函数 | $y=f(x)$ | 一个规则，每个输入一个输出；贯穿整个课程 |
| 二元方程（关系） | 如 $x^2+y^2=25$ | 图像是满足它的所有 $(x,y)$；未必是函数 |
| 通过求解画图 | 找出解点并描点 | 选输入，解出输出，标出每个点 |
| 竖线检验 | 每条竖线与图像至多相交 $1$ 次 | 若某条竖线与它相交两次，则不是 $x$ 的函数 |
| 函数部分 | $y=+\sqrt{25-x^2}$ / $y=-\sqrt{25-x^2}$ | 根号后每个符号是一个函数；各部分重建整个图像 |
| 给定输入求输出 | 代入 $x$，解出 $y$ | 两分支关系上大多数输入给出两个输出（$\pm$） |
| 一起变化（比值为正） | 相邻点间 $\frac{\Delta y}{\Delta x}>0$ | $x$ 和 $y$ 一起增大或一起减小 |
| 一起变化（比值为负） | 相邻点间 $\frac{\Delta y}{\Delta x}<0$ | 一个增大时另一个减小 |
| 水平/竖直的位置 | $\Delta y\approx 0$ 对 $\Delta x\approx 0$ | 在 $y$ 停止变化处沿水平方向，在 $x$ 停止变化处沿竖直方向 |

## 下一步

隐式定义函数直接建立在函数概念和竖线检验之上，也为第4单元其余内容做了铺垫。接下来你会学习圆锥曲线——圆、椭圆和双曲线——它们正是你在这里一直拆成若干部分的那些二元方程；还会学习参数函数，它用一个参数提供了另一种描绘整条曲线（包括那些通不过竖线检验的曲线）的方法。本模块的技能——通过求解画方程图像、判断图像是否为函数、对某个变量求解、以及描述两个量如何一起变化——都会直接用到那些考点上。

- [圆锥曲线的参数函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-parametric-functions-of-conic-sections/)
- [参数函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-parametric-functions/)
- [AP 微积分预备课程 向量](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-vectors/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u4-implicitly-defined-functions/