三角恒等式（勾股型、和差、二倍角） — AP 预备微积分

1. 勾股型三角恒等式 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min

勾股型恒等式是最基础的三角恒等式，直接由应用于单位圆的勾股定理推导而来。它们用于在三角函数之间转换，已知象限时求未知值，以及化简表达式。

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

将核心恒等式分别除以$\cos^2 \theta$（$\cos\theta \neq 0$时）和$\sin^2 \theta$（$\sin\theta \neq 0$时），可得另外两个相关恒等式：

\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta

1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta

Exam tip: 一定要利用题目给出的象限信息给三角函数赋予正确符号——AP考试题目几乎总会给出象限背景，专门考察这个符号判断。

2. 和差恒等式 ★★★☆☆ ⏱ 4 min

和差恒等式允许你在已知$\alpha$和$\beta$各自三角值的情况下，求组合角$\alpha \pm \beta$的正弦、余弦或正切，也可用于化简表达式和验证更复杂的恒等式。

\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta

\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta

\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}, \quad \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}

Exam tip: 如果你忘了恒等式的符号，可以用已知角度验证：$\cos(90^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = 0.5$，只有余弦差的中间项为正才符合这个结果，这可以帮你记住符号翻转规则。

3. 二倍角恒等式 ★★★☆☆ ⏱ 3 min

二倍角恒等式是和恒等式的特殊情况，即$\alpha = \beta = \theta$，因此你可以从$\theta$的值计算$2\theta$的三角值。它们被广泛用于化简三角函数的乘积、降低平方项的次数、改写函数用于绘图，以及解方程。余弦的不同形式最常用于降幂，这是AP考试的常见考点。

\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta

\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta

\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}

Exam tip: 求$2\theta$的三角值时，一定要先确认$2\theta$所在的象限来检查符号——例如，如果$\theta$在$\frac{\pi}{4}$到$\frac{\pi}{2}$之间，$2\theta$在$\frac{\pi}{2}$到$\pi$之间，余弦为负。

4. AP风格混合应用 ★★★★☆ ⏱ 3 min

AP预备微积分考试题目通常需要结合多个恒等式来化简表达式、改写函数或解决实际问题。下面是常见的考试风格例题。