三角恒等式（勾股型、和差、二倍角）

AP 预备微积分· AP 预备微积分课程与考试说明（CED）—— 三角函数与极坐标函数· 14 分钟阅读

1. 勾股型三角恒等式★★☆☆☆⏱ 4 min

勾股型恒等式是最基础的三角恒等式，直接由应用于单位圆的勾股定理推导而来。它们用于在三角函数之间转换，已知象限时求未知值，以及化简表达式。

📘 定义

勾股型三角恒等式

一组由单位圆勾股定理推导得到的核心恒等式，描述基本三角函数平方之间的关系。

例:

核心恒等式 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ 对所有实数 $θ$ 成立。

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

将核心恒等式分别除以 $cos^{2} θ$ （ $cos θ \neq = 0$ 时）和 $sin^{2} θ$ （ $sin θ \neq = 0$ 时），可得另外两个相关恒等式：

\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta

1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta

📐 例题

已知 $sin θ = \frac{3}{5}$ 且 $\frac{π}{2} < θ < π$ ，求 $sec θ$ 的精确值。

1
利用核心勾股恒等式求解 $cos^{2} θ$ ：
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \implies \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1 \implies \cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
2
根据象限确定 $cos θ$ 的符号： $θ$ 位于第二象限，该象限中余弦为负，因此：
$\cos \theta = -\frac{4}{5}$
3
利用正割的倒数恒等式得到最终结果：
$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = -\frac{5}{4}$
4
利用正切-正割勾股恒等式验证结果：
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\frac{3}{4} \implies \tan^2 \theta + 1 = \frac{9}{16} + 1 = \frac{25}{16} = \sec^2 \theta$

Exam tip:

一定要利用题目给出的象限信息给三角函数赋予正确符号——AP考试题目几乎总会给出象限背景，专门考察这个符号判断。

2. 和差恒等式★★★☆☆⏱ 4 min

和差恒等式允许你在已知 $α$ 和 $β$ 各自三角值的情况下，求组合角 $α \pm β$ 的正弦、余弦或正切，也可用于化简表达式和验证更复杂的恒等式。

\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta

\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta

\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}, \quad \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}

📐 例题

已知 $1 5^{\circ} = 4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}$ ，利用和差恒等式求 $cos (1 5^{\circ})$ 的精确值。

1
将该角度写为两个已知特殊角的差：
$\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ)$
2
应用余弦差恒等式：
$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \implies \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$
3
代入已知特殊角的精确值： $cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ ， $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ ， $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ ， $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
4
相乘合并项得到精确值：
$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Exam tip:

如果你忘了恒等式的符号，可以用已知角度验证： $cos (9 0^{\circ} - 3 0^{\circ}) = sin 3 0^{\circ} = 0.5$ ，只有余弦差的中间项为正才符合这个结果，这可以帮你记住符号翻转规则。

3. 二倍角恒等式★★★☆☆⏱ 3 min

二倍角恒等式是和恒等式的特殊情况，即 $α = β = θ$ ，因此你可以从 $θ$ 的值计算 $2 θ$ 的三角值。它们被广泛用于化简三角函数的乘积、降低平方项的次数、改写函数用于绘图，以及解方程。余弦的不同形式最常用于降幂，这是AP考试的常见考点。

\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta

\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta

\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}

📐 例题

已知 $cos θ = \frac{1}{3}$ 且 $0 < θ < \frac{π}{2}$ ，求 $sin (2 θ)$ 的精确值。

1
正弦二倍角恒等式需要同时知道 $sin θ$ 和 $cos θ$ 。我们已知 $cos θ = \frac{1}{3}$ ，因此先求解 $sin θ$ 。
2
利用核心勾股恒等式，根据第一象限 $θ$ 赋予正确符号：
$\sin^2 \theta + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 \implies \sin^2 \theta = \frac{8}{9} \implies \sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
3
代入正弦二倍角恒等式：
$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{4\sqrt{2}}{9}$
4
利用 $2 θ$ 的勾股恒等式验证结果：
$\cos(2\theta) = 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 1 = -\frac{7}{9} \implies \sin^2(2\theta) + \cos^2(2\theta) = \frac{32}{81} + \frac{49}{81} = 1$

Exam tip:

求 $2 θ$ 的三角值时，一定要先确认 $2 θ$ 所在的象限来检查符号——例如，如果 $θ$ 在 $\frac{π}{4}$ 到 $\frac{π}{2}$ 之间， $2 θ$ 在 $\frac{π}{2}$ 到 $π$ 之间，余弦为负。

4. AP风格混合应用★★★★☆⏱ 3 min

AP预备微积分考试题目通常需要结合多个恒等式来化简表达式、改写函数或解决实际问题。下面是常见的考试风格例题。

📐 例题

若 $sin x = \frac{2}{3}$ 且 $\frac{π}{2} < x < π$ ， $tan (2 x)$ 的值是多少？
Options: A) $- \frac{4 5}{9}$ , B) $- 45$ , C) $\frac{4 5}{5}$ , D) $45$

1
利用勾股恒等式求 $cos x$ 。由于 $x$ 在第二象限， $cos x$ 为负：
$\cos x = -\sqrt{1 - \sin^2 x} = -\sqrt{1 - \frac{4}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$
2
计算 $tan x$ ：
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2/3}{-\sqrt{5}/3} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$
3
代入正切二倍角恒等式：
$\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{2(-2/\sqrt{5})}{1 - 4/5} = \frac{-4/\sqrt{5}}{1/5} = -4\sqrt{5}$
4
正确答案是选项B。

📐 例题

设 $f (x) = cos^{2} x - sin^{2} x + 2 sin x cos x$ 。
(a) 将 $f (x)$ 改写为 $2 x$ 的一次幂三角函数和的形式。
(b) 求 $f (\frac{5 π}{12})$ 的精确值。
(c) 验证 that $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{4})$ .

1
问题(a)：对每一项应用二倍角恒等式改写：
$\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x), \quad 2 \sin x \cos x = \sin(2x) \implies f(x) = \cos(2x) + \sin(2x)$
2
问题(b)：代入 $x = \frac{5 π}{12}$ ，得 $2 x = \frac{5 π}{6}$ ：
$f\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$
3
问题(c)：利用正弦和恒等式展开右侧：
$\sqrt{2} \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left[\sin(2x)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos(2x)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]$
4
$= \sqrt{2}\left[\sin(2x) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos(2x) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right] = \sin 2x + \cos 2x = f(x)$

5. 常见陷阱

错误做法:

将 $sin^{2} θ$ 写为 $sin (θ^{2})$ （错误理解指数记法）

原因:

混淆了标准三角指数记法（ $sin^{2} θ = (sin θ)^{2}$ ）和自变量平方（ $sin (θ^{2})$ 是完全不同的函数）

正确做法:

永远记住指数作用于整个三角函数，而非角度自变量。如果你对记法不确定，可以写成 $(sin θ)^{2}$ 。

错误做法:

将 $cos (α + β)$ 写为 $cos α cos β + sin α sin β$ ，中间项符号错误

原因:

学生经常套用和正弦一样的符号规则，导致计算错误

正确做法:

每次展开和差恒等式时，都用「正弦不变，余弦翻转」的口诀确认中间项符号。

错误做法:

将常数提出三角函数自变量，写成 $sin (2 θ) = 2 sin θ$

原因:

混淆了线性函数性质和非线性三角函数

正确做法:

永远不要将常数提出三角函数自变量——加倍角度时一定要使用正确的二倍角恒等式。

错误做法:

忘记为第二/三/四象限 $θ$ 的未知三角函数改变符号，导致最终结果错误

原因:

学生记得勾股恒等式，但求未知三角值时忽略了题目给出的象限信息

正确做法:

代入恒等式前，一定要根据给定象限确定未知三角函数的符号。

错误做法:

化简三角方程时，两边同时除以 $sin θ$ （或其他三角函数），导致丢失解

原因:

学生用恒等式化简时，忘记除法仅对非零除数成立

正确做法:

永远要把所有项移到方程一侧，提取公三角因子，不要做除法。

6. 速查表

类别	公式	说明
核心勾股型	$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$	对所有实数 $θ$ 成立
勾股型（正切-正割）	$1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ$	在 $θ \neq = \frac{π}{2} + k π$ 时有效
勾股型（余切-余割）	$1 + cot^{2} θ = csc^{2} θ$	在 $θ \neq = k π$ 时有效
正弦和差	$sin (α \pm β) = sin α cos β \pm cos α sin β$	中间项符号与自变量符号一致
余弦和差	$cos (α \pm β) = cos α cos β \mp sin α sin β$	中间项符号与自变量符号相反
正切和差	$tan (α \pm β) = \frac{t a n α \pm t a n β}{1 \mp t a n α t a n β}$	分母符号也翻转
二倍角正弦	$sin (2 θ) = 2 sin θ cos θ$	对所有实数 $θ$ 成立
二倍角余弦	$cos (2 θ) = cos^{2} θ - sin^{2} θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 1 - 2 sin^{2} θ$	使用替代形式进行降幂
二倍角正切	$tan (2 θ) = \frac{2 t a n θ}{1 - t a n ^{2} θ}$	当 $1 - tan^{2} θ = 0$ 时无定义

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · AP Precalculus
利用二倍角公式求精确值
2023 · AP Precalculus
利用恒等式化简表达式

下一步

本主题是AP预备微积分第3单元所有高阶三角主题的基础。掌握这些恒等式后，你接下来会用它们化简反三角函数复合、解复杂三角方程，以及改写极坐标和参数三角函数用于绘图和分析。如果不能快速正确应用这些恒等式，你会在调和形式转换、降幂，以及AP考试中出现的微积分预备主题上遇到困难。本主题还提供了直角坐标和极坐标转换、分析极坐标函数图像所需的核心三角工具，这是第3单元占比很大的考察内容。