# 三角恒等式（勾股型、和差、二倍角）

> AP 预备微积分 · 第3单元：三角函数与极坐标函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-trigonometric-identities/

本讲义涵盖AP预备微积分中核心、高频考察的三角恒等式：勾股型恒等式、和差恒等式与二倍角恒等式。你将学习如何应用它们求精确值、化简表达式，并解决符合大学理事会CED要求的问题。

**先修:** 正弦、余弦、正切的单位圆定义; 特殊角的三角值; 多项式与有理式的基本代数运算

## 学习目标

- 识别并应用勾股型、和差、二倍角三角恒等式
- 利用恒等式求精确三角值，根据象限确定符号
- 化简三角表达式并验证三角恒等式
- 利用恒等式改写函数并解决实际问题

## 勾股型三角恒等式

勾股型恒等式是最基础的三角恒等式，直接由应用于单位圆的勾股定理推导而来。它们用于在三角函数之间转换，已知象限时求未知值，以及化简表达式。

**勾股型三角恒等式** — 一组由单位圆勾股定理推导得到的核心恒等式，描述基本三角函数平方之间的关系。

*例:* 核心恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ 对所有实数$\theta$成立。

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

将核心恒等式分别除以$\cos^2 \theta$（$\cos\theta \neq 0$时）和$\sin^2 \theta$（$\sin\theta \neq 0$时），可得另外两个相关恒等式：

$$\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$$

$$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

**例题:** 已知$\sin \theta = \frac{3}{5}$且$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$，求$\sec \theta$的精确值。

1. 利用核心勾股恒等式求解$\cos^2 \theta$：

   $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \implies \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1 \implies \cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$
2. 根据象限确定$\cos \theta$的符号：$\theta$位于第二象限，该象限中余弦为负，因此：

   $$\cos \theta = -\frac{4}{5}$$
3. 利用正割的倒数恒等式得到最终结果：

   $$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = -\frac{5}{4}$$
4. 利用正切-正割勾股恒等式验证结果：

   $$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\frac{3}{4} \implies \tan^2 \theta + 1 = \frac{9}{16} + 1 = \frac{25}{16} = \sec^2 \theta$$

> **考试提示:** 一定要利用题目给出的象限信息给三角函数赋予正确符号——AP考试题目几乎总会给出象限背景，专门考察这个符号判断。

## 和差恒等式

和差恒等式允许你在已知$\alpha$和$\beta$各自三角值的情况下，求组合角$\alpha \pm \beta$的正弦、余弦或正切，也可用于化简表达式和验证更复杂的恒等式。

> **符号记忆口诀**
>
> 正弦符号不变，余弦符号翻转：展开恒等式后，正弦的中间项符号和角度参数中的符号一致，余弦的中间项符号则相反。

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

$$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$

$$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$

$$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}, \quad \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

**例题:** 已知$15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$，利用和差恒等式求$\cos(15^\circ)$的精确值。

1. 将该角度写为两个已知特殊角的差：

   $$\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ)$$
2. 应用余弦差恒等式：

   $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \implies \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$$
3. 代入已知特殊角的精确值：$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
4. 相乘合并项得到精确值：

   $$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

> **考试提示:** 如果你忘了恒等式的符号，可以用已知角度验证：$\cos(90^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = 0.5$，只有余弦差的中间项为正才符合这个结果，这可以帮你记住符号翻转规则。

## 二倍角恒等式

二倍角恒等式是和恒等式的特殊情况，即$\alpha = \beta = \theta$，因此你可以从$\theta$的值计算$2\theta$的三角值。它们被广泛用于化简三角函数的乘积、降低平方项的次数、改写函数用于绘图，以及解方程。余弦的不同形式最常用于降幂，这是AP考试的常见考点。

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$

$$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$$

$$\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

**例题:** 已知$\cos \theta = \frac{1}{3}$且$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$，求$\sin(2\theta)$的精确值。

1. 正弦二倍角恒等式需要同时知道$\sin \theta$和$\cos \theta$。我们已知$\cos \theta = \frac{1}{3}$，因此先求解$\sin \theta$。
2. 利用核心勾股恒等式，根据第一象限$\theta$赋予正确符号：

   $$\sin^2 \theta + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 \implies \sin^2 \theta = \frac{8}{9} \implies \sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$
3. 代入正弦二倍角恒等式：

   $$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{4\sqrt{2}}{9}$$
4. 利用$2\theta$的勾股恒等式验证结果：

   $$\cos(2\theta) = 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 1 = -\frac{7}{9} \implies \sin^2(2\theta) + \cos^2(2\theta) = \frac{32}{81} + \frac{49}{81} = 1$$

> **考试提示:** 求$2\theta$的三角值时，一定要先确认$2\theta$所在的象限来检查符号——例如，如果$\theta$在$\frac{\pi}{4}$到$\frac{\pi}{2}$之间，$2\theta$在$\frac{\pi}{2}$到$\pi$之间，余弦为负。

## AP风格混合应用

AP预备微积分考试题目通常需要结合多个恒等式来化简表达式、改写函数或解决实际问题。下面是常见的考试风格例题。

**例题:** 若$\sin x = \frac{2}{3}$且$\frac{\pi}{2} < x < \pi$，$\tan(2x)$的值是多少？  
Options: A) $-\frac{4\sqrt{5}}{9}$, B) $-4\sqrt{5}$, C) $\frac{4\sqrt{5}}{5}$, D) $4\sqrt{5}$

1. 利用勾股恒等式求$\cos x$。由于$x$在第二象限，$\cos x$为负：

   $$\cos x = -\sqrt{1 - \sin^2 x} = -\sqrt{1 - \frac{4}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$$
2. 计算$\tan x$：

   $$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2/3}{-\sqrt{5}/3} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$$
3. 代入正切二倍角恒等式：

   $$\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{2(-2/\sqrt{5})}{1 - 4/5} = \frac{-4/\sqrt{5}}{1/5} = -4\sqrt{5}$$
4. 正确答案是选项B。

**例题:** 设 $f(x) = \cos^2 x - \sin^2 x + 2 \sin x \cos x$。  
(a) 将$f(x)$改写为$2x$的一次幂三角函数和的形式。  
(b) 求$f\left(\frac{5\pi}{12}\right)$的精确值。  
(c) 验证 that $f(x) = \sqrt{2} \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$.

1. 问题(a)：对每一项应用二倍角恒等式改写：

   $$\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x), \quad 2 \sin x \cos x = \sin(2x) \implies f(x) = \cos(2x) + \sin(2x)$$
2. 问题(b)：代入$x = \frac{5\pi}{12}$，得$2x = \frac{5\pi}{6}$：

   $$f\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$$
3. 问题(c)：利用正弦和恒等式展开右侧：

   $$\sqrt{2} \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left[\sin(2x)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos(2x)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]$$
4. $$= \sqrt{2}\left[\sin(2x) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos(2x) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right] = \sin 2x + \cos 2x = f(x)$$

## 常见错误

- **错误做法:** 将$\sin^2 \theta$写为$\sin(\theta^2)$（错误理解指数记法）
  - 原因: 混淆了标准三角指数记法（$\sin^2 \theta = (\sin \theta)^2$）和自变量平方（$\sin(\theta^2)$是完全不同的函数）
  - 正确做法: 永远记住指数作用于整个三角函数，而非角度自变量。如果你对记法不确定，可以写成$(\sin \theta)^2$。
- **错误做法:** 将$\cos(\alpha + \beta)$写为$\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$，中间项符号错误
  - 原因: 学生经常套用和正弦一样的符号规则，导致计算错误
  - 正确做法: 每次展开和差恒等式时，都用「正弦不变，余弦翻转」的口诀确认中间项符号。
- **错误做法:** 将常数提出三角函数自变量，写成$\sin(2\theta) = 2\sin \theta$
  - 原因: 混淆了线性函数性质和非线性三角函数
  - 正确做法: 永远不要将常数提出三角函数自变量——加倍角度时一定要使用正确的二倍角恒等式。
- **错误做法:** 忘记为第二/三/四象限$\theta$的未知三角函数改变符号，导致最终结果错误
  - 原因: 学生记得勾股恒等式，但求未知三角值时忽略了题目给出的象限信息
  - 正确做法: 代入恒等式前，一定要根据给定象限确定未知三角函数的符号。
- **错误做法:** 化简三角方程时，两边同时除以$\sin \theta$（或其他三角函数），导致丢失解
  - 原因: 学生用恒等式化简时，忘记除法仅对非零除数成立
  - 正确做法: 永远要把所有项移到方程一侧，提取公三角因子，不要做除法。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 核心勾股型 | $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ | 对所有实数$\theta$成立 |
| 勾股型（正切-正割） | $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ | 在$\theta \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$时有效 |
| 勾股型（余切-余割） | $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$ | 在$\theta \neq k\pi$时有效 |
| 正弦和差 | $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$ | 中间项符号与自变量符号一致 |
| 余弦和差 | $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ | 中间项符号与自变量符号相反 |
| 正切和差 | $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha \tan\beta}$ | 分母符号也翻转 |
| 二倍角正弦 | $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ | 对所有实数$\theta$成立 |
| 二倍角余弦 | $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ | 使用替代形式进行降幂 |
| 二倍角正切 | $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 当$1 - \tan^2\theta = 0$时无定义 |

## 下一步

本主题是AP预备微积分第3单元所有高阶三角主题的基础。掌握这些恒等式后，你接下来会用它们化简反三角函数复合、解复杂三角方程，以及改写极坐标和参数三角函数用于绘图和分析。如果不能快速正确应用这些恒等式，你会在调和形式转换、降幂，以及AP考试中出现的微积分预备主题上遇到困难。本主题还提供了直角坐标和极坐标转换、分析极坐标函数图像所需的核心三角工具，这是第3单元占比很大的考察内容。

- [反三角函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-inverse-trigonometric-functions/)
- [极坐标与图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-polar-coordinates-and-graphs/)
- [极坐标函数图像性质](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-polar-function-graph-behavior/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-trigonometric-identities/