三角方程与不等式

AP 微积分预备课程· AP Precalculus CED — 三角与极坐标函数· 14 分钟阅读

1. 三角方程与不等式概述★★☆☆☆⏱ 3 min

三角方程和不等式是包含三角函数的命题，要求我们找到满足给定关系的所有输入值。与多项式或有理方程不同，三角函数是周期函数，因此大多数不限定定义域的问题有无穷多解。

在AP微积分预备课程考试中，题目几乎总是指定限定定义域（最常见为 $0 \leq x < 2 π$ ），但也可能要求通解或数给定区间内解的个数。本主题占第3单元的约12%，同时出现在选择题和自由作答题部分。

📘 定义

解的周期性

三角方程的所有解都可以写为基础解加上函数周期的整数倍，因为三角函数每个完整周期都会重复其函数值。

2. 求解一次三角方程★★★☆☆⏱ 4 min

📘 定义

一次三角方程

$a f (b x + c) = d$

三角函数仅为一次幂的方程，其中 $a, b, c, d$ 是实常数。

核心求解策略遵循四个关键步骤：1. 将三角项分离到方程一侧；2. 检查得到的右侧值是否在三角函数的值域内；3. 利用单位圆或反三角求出辐角的参考解；4. 利用对称性找到辐角的所有解，求解出 $x$ ，再筛选出符合要求定义域的解。

📐 例题

求 $2 sin (3 x - \frac{π}{6}) = 1$ 在定义域 $0 \leq x < 2 π$ 上的所有解。

1
1. 两边除以2分离三角项：
2
$\sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$
3
$\frac{1}{2}$ 在 $- 1$ 和 $1$ 之间，因此存在实数解。令 $θ = 3 x - \frac{π}{6}$ 。
4
1. 利用单位圆对称性找到 $θ$ 的所有解：
5
$\theta = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad \theta = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \quad (n \in \mathbb{Z})$
6
1. 代回并对两组解分别求解 $x$ ：
7
$3x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$
8
$3x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$
9
1. 筛选出满足 $0 \leq x < 2 π$ 的解，共得到6个有效解：
10
$\frac{π}{9}, \frac{7 π}{9}, \frac{13 π}{9}, \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}$

Exam tip:

一定要先检查分离后的三角项的值域——如果它超出可能范围（例如 $cos x = 2$ ），你可以立刻得出没有实数解的结论，在选择题中可以节省时间。

3. 求解二次三角方程★★★☆☆⏱ 4 min

📘 定义

二次三角方程

$a f^{2} (θ) + b f (θ) + c = 0$

可改写为单个三角函数 $f (θ)$ 的二次多项式形式的方程，其中 $a \neq = 0$ 。

求解这类方程时，首先利用勾股恒等式 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ 将混合项转换为单变量二次式，接下来通过因式分解或二次公式求解三角函数，每个解对应一个独立的一次三角方程，再用一次方程的方法求解。

📐 例题

求 $2 cos^{2} x - 3 sin x = 0$ 在 $0 \leq x < 2 π$ 上的所有解。

1
1. 利用勾股恒等式 $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ 将方程改写为仅含 $sin x$ 的形式：
2
$2(1 - \sin^2 x) - 3\sin x = 0 \implies 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0$
3
1. 令 $u = sin x$ 对二次式因式分解：
4
$2u^2 + 3u - 2 = (2u - 1)(u + 2) = 0$
5
得到解 $u = \frac{1}{2}$ 和 $u = - 2$ 。
6
1. $sin x = - 2$ 不可能成立（正弦的值域是 $[- 1, 1]$ ），因此舍去该解。对于 $sin x = \frac{1}{2}$ ：
7
在 $0 \leq x < 2 π$ 上的解为 $x = \frac{π}{6}$ 和 $x = \frac{5 π}{6}$ 。
8
1. 将解代回原方程验证：
9
$2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0 \quad \checkmark$

Exam tip:

当你使用可能引入增根的操作（例如对等式两边平方）后，一定要将解代回原方程验证。

4. 求解三角不等式★★★★☆⏱ 3 min

三角不等式要求找到使三角表达式满足不等关系的所有输入值。我们利用三角函数的连续性和周期性找到有效的解区间。

核心流程是：1. 求解对应的等式（将不等号替换为等号）得到所有临界点；2. 将临界点按从小到大排序；3. 测试临界点之间每个区间内表达式的符号，或直接利用单位圆对称性识别有效区域。

📐 例题

求 $cos (2 x) \geq \frac{1}{2}$ 在定义域 $0 \leq x < 2 π$ 上的所有解。

1
1. 求解对应等式 $cos (2 x) = \frac{1}{2}$ 。令 $θ = 2 x$ ：
2
$\cos \theta = \frac{1}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad \theta = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$
3
代回 $θ = 2 x$ 并求解 $x$ ：
4
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$
5
1. 筛选并排序 $0 \leq x < 2 π$ 范围内的临界点： $\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$ 。
6
1. 利用单位圆对称性：当 $- \frac{π}{3} + 2 π n \leq θ \leq \frac{π}{3} + 2 π n$ 时， $cos θ \geq \frac{1}{2}$ 。代回 $θ = 2 x$ ：
7
$-\frac{\pi}{6} + \pi n \leq x \leq \frac{\pi}{6} + \pi n$
8
1. 筛选出满足 $0 \leq x < 2 π$ 的解，得到最终解：
9
$0 \leq x \leq \frac{π}{6} \cup \frac{5 π}{6} \leq x \leq \frac{7 π}{6} \cup \frac{11 π}{6} \leq x < 2 π$

Exam tip:

记住单位圆上余弦对应 $x$ 坐标，正弦对应 $y$ 坐标，因此你可以直接判断哪个象限满足不等式，无需测试每个区间。

5. 常见陷阱

错误做法:

忘记将周期项除以 $x$ 的系数，例如将 $sin (3 x) = 1/2$ 的通解写为 $x = π /6 + 2 π n$ ，而非正确的 $x = π /18 + 2 π n /3$ 。

原因:

学生通常只给原三角函数加上周期，忘记调整水平拉伸带来的变化。

正确做法:

解出 $θ = b x$ 后，将整个解（包括周期项）除以 $b$ ，得到 $x$ 的解。

错误做法:

正弦或余弦方程每个周期只找一个解，例如在 $0 \leq x < 2 π$ 上求解 $sin x = 1/2$ 时只写 $x = π /6$ ，漏掉 $x = 5 π /6$ 。

原因:

学生通过反三角函数得到参考角后就停止求解，忘记正弦和余弦每个周期会取每个值两次。

正确做法:

通过反三角函数得到第一个解后，一定要利用单位圆对称性找到 $[0, 2 π)$ 内的第二个解。

错误做法:

正切方程的通解加上 $2 π n$ 而非 $π n$ 。

原因:

学生记住了正弦和余弦的 $2 π$ 周期性，忘记正切的周期更短，为 $π$ 。

正确做法:

始终注意你处理的是哪个三角函数，正切加 $π n$ ，正弦和余弦加 $2 π n$ 。

错误做法:

求解二次三角方程时保留超出值域的解，例如保留 $u = - 2$ 作为 $sin x = - 2$ 的有效解。

原因:

学生专注于对二次式因式分解，忘记检查每个解是否在三角函数的值域内。

正确做法:

解出三角函数后，在继续求 $x$ 之前，先检查正弦或余弦的解是否在 $- 1$ 和 $1$ 之间。

错误做法:

不等式端点开闭错误，例如严格不等式 $f (x) > 0$ 包含端点。

原因:

学生急于写出解，没有检查原不等式的符号。

正确做法:

始终匹配不等号：非严格不等式（ $\leq, \geq$ ）包含端点，严格不等式（ $<, >$ ）不包含端点。

错误做法:

对三角方程两边平方后不检查增根。

原因:

平方会引入使两边互为相反数的解，这些解满足平方后的方程但不满足原方程。

正确做法:

求解两边平方过的方程后，一定要将每个解代回原方程，舍去无效解。

6. 速查表

类别	公式 / 法则	说明
一次三角方程	$a f (b x + c) = d$ , $f \in {sin, cos, tan}$	先分离 $f (b x + c)$ ，对于 $sin, cos$ 检查 $∣ d / a ∣ \leq 1$
通解的周期性	Add $2 π n$ ( $n \in Z$ ) for $sin, cos$ ; add $π n$ for $tan$	始终将整个解（包括周期项）除以 $b$
二次三角标准形式	$a f^{2} (x) + b f (x) + c = 0$	利用勾股恒等式将混合项转换为单变量
$sin θ = k$ 的解	$θ = arcsin (k) + 2 π n$ , $θ = π - arcsin (k) + 2 π n$	仅当 $∣ k ∣ \leq 1$ 时有效，每个 $2 π$ 周期有两个解
$cos θ = k$ 的解	$θ = arccos (k) + 2 π n$ , $θ = - arccos (k) + 2 π n$	仅当 $∣ k ∣ \leq 1$ 时有效，每个 $2 π$ 周期有两个解
$tan θ = k$ 的解	$θ = arctan (k) + π n$	每个 $π$ 周期有一个解，对所有实数 $k$ 都有效
三角不等式求解流程	求解等式得临界点 2. 排序临界点 3. 测试区间符号	端点开闭匹配原不等式符号
勾恒转换	$sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ , $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$	用于将混合二次项转换为单变量

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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在给定定义域上求解二次三角不等式

深入阅读

unit overviewAP 微积分预备课程第3单元概述父单元概述
prerequisite三角恒等式求解二次方程的前置知识

下一步

掌握三角方程与不等式是AP微积分预备课程剩余所有主题以及未来微积分课程的关键基础。本主题常与三角恒等式、函数变换、实际建模结合出现在多步考题中，因此练习本文列出的分步方法能帮助你应对考试日最复杂的问题。你可以通过探索极坐标和参数三角函数拓展理解，这些内容依赖相同的核心求解技能，也可以通过做更多AP风格的练习题来提升考试的解题速度和准确率。