# 三角方程与不等式

> AP 预备微积分 · 三角与极坐标函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-trigonometric-equations-and-inequalities/

本模块讲解如何在限定定义域和通域上求解一次、二次三角方程以及三角不等式。我们使用反三角、单位圆对称性和周期性求出所有有效解，并配有AP风格的例题。

**先修:** 正弦、余弦、正切的单位圆定义; [勾股三角恒等式和倒数三角恒等式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-trigonometric-identities/); 计算反三角函数的值

## 学习目标

- 在限定定义域和通域上求解一次三角方程
- 利用恒等式和因式分解求解二次三角方程
- 通过识别临界点和区间测试求解三角不等式
- 应用对称性和周期性正确求出所有解

## 三角方程与不等式概述

三角方程和不等式是包含三角函数的命题，要求我们找到满足给定关系的所有输入值。与多项式或有理方程不同，三角函数是周期函数，因此大多数不限定定义域的问题有无穷多解。

在AP微积分预备课程考试中，题目几乎总是指定限定定义域（最常见为$0 \leq x < 2\pi$），但也可能要求通解或数给定区间内解的个数。本主题占第3单元的约12%，同时出现在选择题和自由作答题部分。

**解的周期性** — 三角方程的所有解都可以写为基础解加上函数周期的整数倍，因为三角函数每个完整周期都会重复其函数值。

## 求解一次三角方程

**一次三角方程** — 三角函数仅为一次幂的方程，其中$a,b,c,d$是实常数。

*记法:* $af(bx + c) = d$

核心求解策略遵循四个关键步骤：1. 将三角项分离到方程一侧；2. 检查得到的右侧值是否在三角函数的值域内；3. 利用单位圆或反三角求出辐角的参考解；4. 利用对称性找到辐角的所有解，求解出$x$，再筛选出符合要求定义域的解。

**例题:** 求$2\sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) = 1$在定义域$0 \leq x < 2\pi$上的所有解。

1. 1. 两边除以2分离三角项：
2. $$\sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$
3. $\frac{1}{2}$ 在$-1$ 和 $1$之间，因此存在实数解。令$\theta = 3x - \frac{\pi}{6}$。
4. 2. 利用单位圆对称性找到$\theta$的所有解：
5. $$\theta = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad \theta = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \quad (n \in \mathbb{Z})$$
6. 3. 代回并对两组解分别求解$x$：
7. $$3x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$$
8. $$3x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$$
9. 4. 筛选出满足$0 \leq x < 2\pi$的解，共得到6个有效解：
10. $\frac{\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}, \frac{13\pi}{9}, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}$

> **考试提示:** 一定要先检查分离后的三角项的值域——如果它超出可能范围（例如$\cos x = 2$），你可以立刻得出没有实数解的结论，在选择题中可以节省时间。

## 求解二次三角方程

**二次三角方程** — 可改写为单个三角函数$f(\theta)$的二次多项式形式的方程，其中$a \neq 0$。

*记法:* $af^2(\theta) + bf(\theta) + c = 0$

求解这类方程时，首先利用勾股恒等式$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$将混合项转换为单变量二次式，接下来通过因式分解或二次公式求解三角函数，每个解对应一个独立的一次三角方程，再用一次方程的方法求解。

**例题:** 求$2\cos^2 x - 3\sin x = 0$在$0 \leq x < 2\pi$上的所有解。

1. 1. 利用勾股恒等式$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$将方程改写为仅含$\sin x$的形式：
2. $$2(1 - \sin^2 x) - 3\sin x = 0 \implies 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0$$
3. 2. 令$u = \sin x$对二次式因式分解：
4. $$2u^2 + 3u - 2 = (2u - 1)(u + 2) = 0$$
5. 得到解$u = \frac{1}{2}$和$u = -2$。
6. 3. $\sin x = -2$不可能成立（正弦的值域是$[-1,1]$），因此舍去该解。对于$\sin x = \frac{1}{2}$：
7. 在$0 \leq x < 2\pi$上的解为$x = \frac{\pi}{6}$和$x = \frac{5\pi}{6}$。
8. 4. 将解代回原方程验证：
9. $$2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0 \quad \checkmark$$

> **考试提示:** 当你使用可能引入增根的操作（例如对等式两边平方）后，一定要将解代回原方程验证。

## 求解三角不等式

三角不等式要求找到使三角表达式满足不等关系的所有输入值。我们利用三角函数的连续性和周期性找到有效的解区间。

核心流程是：1. 求解对应的等式（将不等号替换为等号）得到所有临界点；2. 将临界点按从小到大排序；3. 测试临界点之间每个区间内表达式的符号，或直接利用单位圆对称性识别有效区域。

**例题:** 求$\cos(2x) \geq \frac{1}{2}$在定义域$0 \leq x < 2\pi$上的所有解。

1. 1. 求解对应等式$\cos(2x) = \frac{1}{2}$。令$\theta = 2x$：
2. $$\cos \theta = \frac{1}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad \theta = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$$
3. 代回$\theta = 2x$并求解$x$：
4. $$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$$
5. 2. 筛选并排序$0 \leq x < 2\pi$范围内的临界点：$\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$。
6. 3. 利用单位圆对称性：当$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq \theta \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n$时，$\cos \theta \geq \frac{1}{2}$。代回$\theta = 2x$：
7. $$-\frac{\pi}{6} + \pi n \leq x \leq \frac{\pi}{6} + \pi n$$
8. 4. 筛选出满足$0 \leq x < 2\pi$的解，得到最终解：
9. $0 \leq x \leq \frac{\pi}{6} \cup \frac{5\pi}{6} \leq x \leq \frac{7\pi}{6} \cup \frac{11\pi}{6} \leq x < 2\pi$

> **考试提示:** 记住单位圆上余弦对应$x$坐标，正弦对应$y$坐标，因此你可以直接判断哪个象限满足不等式，无需测试每个区间。

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记将周期项除以$x$的系数，例如将$\sin(3x) = 1/2$的通解写为$x = \pi/6 + 2\pi n$，而非正确的$x = \pi/18 + 2\pi n/3$。
  - 原因: 学生通常只给原三角函数加上周期，忘记调整水平拉伸带来的变化。
  - 正确做法: 解出$\theta = bx$后，将整个解（包括周期项）除以$b$，得到$x$的解。
- **错误做法:** 正弦或余弦方程每个周期只找一个解，例如在$0 \leq x < 2\pi$上求解$\sin x = 1/2$时只写$x = \pi/6$，漏掉$x = 5\pi/6$。
  - 原因: 学生通过反三角函数得到参考角后就停止求解，忘记正弦和余弦每个周期会取每个值两次。
  - 正确做法: 通过反三角函数得到第一个解后，一定要利用单位圆对称性找到$[0, 2\pi)$内的第二个解。
- **错误做法:** 正切方程的通解加上$2\pi n$而非$\pi n$。
  - 原因: 学生记住了正弦和余弦的$2\pi$周期性，忘记正切的周期更短，为$\pi$。
  - 正确做法: 始终注意你处理的是哪个三角函数，正切加$\pi n$，正弦和余弦加$2\pi n$。
- **错误做法:** 求解二次三角方程时保留超出值域的解，例如保留$u = -2$作为$\sin x = -2$的有效解。
  - 原因: 学生专注于对二次式因式分解，忘记检查每个解是否在三角函数的值域内。
  - 正确做法: 解出三角函数后，在继续求$x$之前，先检查正弦或余弦的解是否在$-1$和$1$之间。
- **错误做法:** 不等式端点开闭错误，例如严格不等式$f(x) > 0$包含端点。
  - 原因: 学生急于写出解，没有检查原不等式的符号。
  - 正确做法: 始终匹配不等号：非严格不等式（$\leq, \geq$）包含端点，严格不等式（$<, >$）不包含端点。
- **错误做法:** 对三角方程两边平方后不检查增根。
  - 原因: 平方会引入使两边互为相反数的解，这些解满足平方后的方程但不满足原方程。
  - 正确做法: 求解两边平方过的方程后，一定要将每个解代回原方程，舍去无效解。

## 速查表

| 类别 | 公式 / 法则 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 一次三角方程 | $a f(bx + c) = d$, $f \in \{\sin, \cos, \tan\}$ | 先分离$f(bx + c)$，对于$\sin, \cos$检查$\|d/a\| \leq 1$ |
| 通解的周期性 | Add $2\pi n$ ($n \in \mathbb{Z}$) for $\sin, \cos$; add $\pi n$ for $\tan$ | 始终将整个解（包括周期项）除以$b$ |
| 二次三角标准形式 | $a f^2(x) + b f(x) + c = 0$ | 利用勾股恒等式将混合项转换为单变量 |
| $\sin \theta = k$的解 | $\theta = \arcsin(k) + 2\pi n$, $\theta = \pi - \arcsin(k) + 2\pi n$ | 仅当$\|k\| \leq 1$时有效，每个$2\pi$周期有两个解 |
| $\cos \theta = k$的解 | $\theta = \arccos(k) + 2\pi n$, $\theta = -\arccos(k) + 2\pi n$ | 仅当$\|k\| \leq 1$时有效，每个$2\pi$周期有两个解 |
| $\tan \theta = k$的解 | $\theta = \arctan(k) + \pi n$ | 每个$\pi$周期有一个解，对所有实数$k$都有效 |
| 三角不等式求解流程 | 1. 求解等式得临界点<br>2. 排序临界点<br>3. 测试区间符号 | 端点开闭匹配原不等式符号 |
| 勾恒转换 | $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ | 用于将混合二次项转换为单变量 |

## 下一步

掌握三角方程与不等式是AP微积分预备课程剩余所有主题以及未来微积分课程的关键基础。本主题常与三角恒等式、函数变换、实际建模结合出现在多步考题中，因此练习本文列出的分步方法能帮助你应对考试日最复杂的问题。你可以通过探索极坐标和参数三角函数拓展理解，这些内容依赖相同的核心求解技能，也可以通过做更多AP风格的练习题来提升考试的解题速度和准确率。

- [第3单元：三角与极坐标函数概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-overview/)
- [三角恒等式（前置知识复习）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-trigonometric-identities/)
- [三角函数的等价表示](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-equivalent-representations-of-trigonometric-functions/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-trigonometric-equations-and-inequalities/