正割、余割与余切函数

AP 微积分预备· 20 分钟阅读

1. 倒数三角函数的核心定义★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

倒数三角函数

$sec θ$ , $csc θ$ , $cot θ$

这三个三角函数分别定义为余弦、正弦、正切的乘法逆元，适用于所有基础函数取值非零的输入。

\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \quad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}

注意余切既可以写成 $1/ tan θ$ ，也可以写成余弦与正弦的比值；第二种形式可以避免正切本身无定义时出现未定义值，简化渐近线计算。

📐 例题

利用单位圆取值计算 $sec (6 0^{\circ})$ 、 $csc (3 π /2)$ 和 $cot (5 π /4)$ 。

1
首先获取每个角度对应的基础正弦和余弦值：
$\cos 60^\circ = 0.5, \quad \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1, \quad \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
2
代入倒数定义：
$\sec 60^\circ = \frac{1}{0.5} = 2, \quad \csc\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \frac{1}{-1} = -1, \quad \cot\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \frac{-\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2} = 1$

Exam tip:

AP考试几乎不会直接要求你计算这些值，但你需要将它们作为求解更复杂题目的中间步骤。

2. 定义域、值域与渐近线性质★★★☆☆⏱ 6 min

由于每个倒数函数在其对应的基础正弦或余弦取值为0时无定义，我们可以直接通过基础函数的零点推导竖直渐近线的位置。

函数	无定义条件	竖直渐近线（弧度）	定义域	值域
$sec θ$	$cos θ = 0$	$θ = \frac{π}{2} + k π$ 对所有整数 $k$ 成立	除 $\frac{π}{2} + k π$ 外的所有实数	$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$
$csc θ$	$sin θ = 0$	$θ = k π$ 对所有整数 $k$ 成立	除 $k π$ 外的所有实数	$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$
$cot θ$	$sin θ = 0$	$θ = k π$ 对所有整数 $k$ 成立	除 $k π$ 外的所有实数	所有实数

✓ 快速检测

测试你对定义域规则的理解：

以下哪个角度不属于 $csc θ$ 的定义域？
- A. $π /3$
- B. $π /2$
- C. $π$
- D. $3 π /2$
显示答案
C —
$sin π = 0$ ，因此 $csc π = 1/0$ 无定义，所以 $π$ 被排除在余割的定义域之外。

3. 正割、余割与余切的图像★★★☆☆⏱ 6 min

要绘制正割或余割的图像，首先画出对应的余弦或正弦曲线，然后在该曲线的每个零点位置绘制竖直渐近线，再在每对渐近线之间绘制U型的倒数曲线，使其与基础正弦/余弦图像的波峰和波谷相切。

🔬 推导

目标:

推导 $cot θ$ 的周期

起点:

$tan θ$ 的周期为 $π$ ，且 $cot θ = - tan (θ - π /2)$

1
水平平移和竖直反射不会改变周期函数的周期
2
由于正切每 $π$ 弧度重复一次，余切也必然每 $π$ 弧度重复一次

结果:

未经过变换的 $cot θ$ 、 $sec θ$ 和 $csc θ$ 的周期分别为 $π$ 、 $2 π$ 和 $2 π$ 。

📐 例题

求函数 $f (x) = 2 csc (3 x)$ 的周期以及两个连续的竖直渐近线的位置。

1
首先识别作用在基础余割函数上的变换。水平缩放系数为3，因此周期为：
$T = \frac{2\pi}{3}$
2
基础余割的渐近线位于0和 $π$ 处，将这些位置乘以1/3即可得到新的渐近线位置：
$x=0, \quad x = \frac{\pi}{3}$

4. 倒数勾股恒等式★★★★☆⏱ 3 min

🔬 推导

目标:

推导正割与正切对应的勾股恒等式

起点:

核心勾股恒等式 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$

1
将恒等式的每一项都除以 $cos^{2} θ$
2
化简每一项： $\frac{s i n ^{2} θ}{c o s ^{2} θ} = tan^{2} θ$ ， $\frac{c o s ^{2} θ}{c o s ^{2} θ} = 1$ ， $\frac{1}{c o s ^{2} θ} = sec^{2} θ$

结果:

最终得到的恒等式为 $1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ$

1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta

5. 常见陷阱

错误做法:

将余切定义为 $1/ tan θ$ ，随后在 $θ = π /2$ 处错误求值，而该位置正切本身无定义

原因:

在 $θ = π /2$ 处， $tan θ$ 无定义，但 $cot θ = cos θ / sin θ = 0$ ，因此使用正切倒数的形式会在这里失效

正确做法:

所有计算都应使用 $cot θ = cos θ / sin θ$ ，避免遗漏有定义的合法取值。

错误做法:

认为正割的值域包含-1到1之间的取值

原因:

学生混淆了余弦的值域（范围为[-1,1]）和它的倒数的值域

正确做法:

记住如果 $∣ x ∣ \leq 1$ ，那么对于非零的x，必然有 $∣1/ x ∣ \geq 1$ 。

错误做法:

认为余切函数的周期为 $2 π$

原因:

学生默认所有三角函数的周期都是 $2 π$

正确做法:

牢记只有正切和余切的基础周期为 $π$ ，其余四个三角函数的基础周期为 $2 π$ 。

错误做法:

绘制正割图像时画出与x轴相交的部分

原因:

正割是1/余弦，永远不可能等于0，因为分子始终为1

正确做法:

正弦和余弦的倒数函数永远不会有x轴截距，只有竖直渐近线。

错误做法:

应用水平拉伸/压缩变换时忘记缩放渐近线的位置

原因:

学生将渐近线保留在基础函数的位置，没有针对 $A sec (B x)$ 中的B值进行调整

正确做法:

将所有基础渐近线的x值乘以 $1/ B$ ，得到水平缩放后的新位置。

6. 速查表

函数	倒数定义	基础周期	渐近线位置	值域
$sec θ$	$1/ cos θ$	$2 π$	$π /2 + k π$	$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$
$csc θ$	$1/ sin θ$	$2 π$	$k π$	$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$
$cot θ$	$cos θ / sin θ$	$π$	$k π$	$R$
恒等式1	$1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ$
恒等式2	$1 + cot^{2} θ = csc^{2} θ$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

熟练掌握这些倒数三角函数是后续AP微积分预备课程内容的重要前置要求，包括求解三角方程、验证三角恒等式、极坐标相关内容。你会在AP考试的选择题和自由作答题部分频繁用到正割、余割和余切，尤其是在直角三角形应用和周期函数建模相关题目中。这些函数也会为你后续课程中学习三角函数导数等微积分内容打下基础。

→三角恒等式验证