# 正割、余割与余切函数

> AP 预备微积分 · AP 微积分预备 2024+ 大纲
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-the-secant-cosecant-and-cotangent/

本模块涵盖三个倒数三角函数：正割、余割、余切的定义、单位圆求值、定义域/值域性质、核心特征以及绘图规则。

**先修:** [正弦、余弦、正切的定义与单位圆取值](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-sine-cosine-tangent-functions/); [有理函数的竖直渐近线规则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-rational-functions-key-features/)

## 学习目标

- 将正割、余割、余切定义为倒数三角函数
- 推导每个倒数函数的定义域、值域和竖直渐近线性质
- 计算标准单位圆角度对应的倒数三角函数值
- 针对AP考试要求绘制经过变换的正割、余割、余切函数图像

## 倒数三角函数的核心定义

**倒数三角函数** — 这三个三角函数分别定义为余弦、正弦、正切的乘法逆元，适用于所有基础函数取值非零的输入。

*记法:* $\sec \theta$, $\csc \theta$, $\cot \theta$

$$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \quad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

注意余切既可以写成$1/\tan \theta$，也可以写成余弦与正弦的比值；第二种形式可以避免正切本身无定义时出现未定义值，简化渐近线计算。

**例题:** 利用单位圆取值计算$\sec(60^\circ)$、$\csc(3\pi/2)$和$\cot(5\pi/4)$。

1. 首先获取每个角度对应的基础正弦和余弦值：

   $$\cos 60^\circ = 0.5, \quad \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1, \quad \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$
2. 代入倒数定义：

   $$\sec 60^\circ = \frac{1}{0.5} = 2, \quad \csc\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \frac{1}{-1} = -1, \quad \cot\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \frac{-\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2} = 1$$

> **考试提示:** AP考试几乎不会直接要求你计算这些值，但你需要将它们作为求解更复杂题目的中间步骤。

## 定义域、值域与渐近线性质

由于每个倒数函数在其对应的基础正弦或余弦取值为0时无定义，我们可以直接通过基础函数的零点推导竖直渐近线的位置。

| 函数 | 无定义条件 | 竖直渐近线（弧度） | 定义域 | 值域 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\sec \theta$ | $\cos \theta = 0$ | $\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 对所有整数 $k$ 成立 | 除 $\frac{\pi}{2} + k\pi$ 外的所有实数 | $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ |
| $\csc \theta$ | $\sin \theta = 0$ | $\theta = k\pi$ 对所有整数 $k$ 成立 | 除 $k\pi$ 外的所有实数 | $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ |
| $\cot \theta$ | $\sin \theta = 0$ | $\theta = k\pi$ 对所有整数 $k$ 成立 | 除 $k\pi$ 外的所有实数 | 所有实数 |

> **info**
>
> 可以注意到正割和余割永远不会输出介于-1到1之间的值，因为余弦和正弦的绝对值始终不超过1，因此它们的倒数的绝对值最小为1。

**概念自测**

测试你对定义域规则的理解：

1. 以下哪个角度不属于$\csc \theta$的定义域？

   - A. $\pi/3$
   - B. $\pi/2$
   - C. $\pi$
   - D. $3\pi/2$

   *解析:* $\sin \pi = 0$，因此$\csc \pi = 1/0$无定义，所以$\pi$被排除在余割的定义域之外。

## 正割、余割与余切的图像

要绘制正割或余割的图像，首先画出对应的余弦或正弦曲线，然后在该曲线的每个零点位置绘制竖直渐近线，再在每对渐近线之间绘制U型的倒数曲线，使其与基础正弦/余弦图像的波峰和波谷相切。

**推导:** 推导$\cot \theta$的周期

*起点:* $\tan \theta$的周期为$\pi$，且$\cot \theta = -\tan(\theta - \pi/2)$

1. 水平平移和竖直反射不会改变周期函数的周期
2. 由于正切每$\pi$弧度重复一次，余切也必然每$\pi$弧度重复一次

*结论:* 未经过变换的$\cot \theta$、$\sec \theta$和$\csc \theta$的周期分别为$\pi$、$2\pi$和$2\pi$。

**例题:** 求函数$f(x) = 2 \csc(3x)$的周期以及两个连续的竖直渐近线的位置。

1. 首先识别作用在基础余割函数上的变换。水平缩放系数为3，因此周期为：

   $$T = \frac{2\pi}{3}$$
2. 基础余割的渐近线位于0和$\pi$处，将这些位置乘以1/3即可得到新的渐近线位置：

   $$x=0, \quad x = \frac{\pi}{3}$$

**考试命令词**

AP考试的绘图类题目会使用特定的指令术语：

- **Identify key features** — 你只需要列出渐近线、周期和值域，不需要绘制完整图像

- **Sketch the function** — 你必须在图上标注至少2条渐近线和2个参考点才能获得满分

## 倒数勾股恒等式

**推导:** 推导正割与正切对应的勾股恒等式

*起点:* 核心勾股恒等式$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

1. 将恒等式的每一项都除以$\cos^2 \theta$
2. 化简每一项：$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \tan^2 \theta$，$\frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = 1$，$\frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta$

*结论:* 最终得到的恒等式为$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$

$$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

> **mnemonic**
>
> 记忆技巧：要记住哪个恒等式对应哪个函数：正切和正割配对的恒等式是1加正切的平方，余切和余割配对的恒等式是1加余切的平方，与6个三角函数的排列顺序一致。

## 常见错误

- **错误做法:** 将余切定义为$1/\tan \theta$，随后在$\theta = \pi/2$处错误求值，而该位置正切本身无定义
  - 原因: 在$\theta = \pi/2$处，$\tan \theta$无定义，但$\cot \theta = \cos \theta / \sin \theta = 0$，因此使用正切倒数的形式会在这里失效
  - 正确做法: 所有计算都应使用$\cot \theta = \cos \theta / \sin \theta$，避免遗漏有定义的合法取值。
- **错误做法:** 认为正割的值域包含-1到1之间的取值
  - 原因: 学生混淆了余弦的值域（范围为[-1,1]）和它的倒数的值域
  - 正确做法: 记住如果$|x| \leq 1$，那么对于非零的x，必然有$|1/x| \geq 1$。
- **错误做法:** 认为余切函数的周期为$2\pi$
  - 原因: 学生默认所有三角函数的周期都是$2\pi$
  - 正确做法: 牢记只有正切和余切的基础周期为$\pi$，其余四个三角函数的基础周期为$2\pi$。
- **错误做法:** 绘制正割图像时画出与x轴相交的部分
  - 原因: 正割是1/余弦，永远不可能等于0，因为分子始终为1
  - 正确做法: 正弦和余弦的倒数函数永远不会有x轴截距，只有竖直渐近线。
- **错误做法:** 应用水平拉伸/压缩变换时忘记缩放渐近线的位置
  - 原因: 学生将渐近线保留在基础函数的位置，没有针对$A\sec(Bx)$中的B值进行调整
  - 正确做法: 将所有基础渐近线的x值乘以$1/B$，得到水平缩放后的新位置。

## 速查表

| 函数 | 倒数定义 | 基础周期 | 渐近线位置 | 值域 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\sec \theta$ | $1/\cos \theta$ | $2\pi$ | $\pi/2 + k\pi$ | $(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$ |
| $\csc \theta$ | $1/\sin \theta$ | $2\pi$ | $k\pi$ | $(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$ |
| $\cot \theta$ | $\cos \theta / \sin \theta$ | $\pi$ | $k\pi$ | $\mathbb{R}$ |
| 恒等式1 | $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ | - | - | - |
| 恒等式2 | $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$ | - | - | - |

## 下一步

熟练掌握这些倒数三角函数是后续AP微积分预备课程内容的重要前置要求，包括求解三角方程、验证三角恒等式、极坐标相关内容。你会在AP考试的选择题和自由作答题部分频繁用到正割、余割和余切，尤其是在直角三角形应用和周期函数建模相关题目中。这些函数也会为你在后续微积分课程中的学习打下基础。

- [三角恒等式验证](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-trigonometric-identities/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-the-secant-cosecant-and-cotangent/