# 正切函数

> AP 预备微积分 · 三角与极坐标函数（第3单元）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-tangent-function/

本学习指南覆盖AP预备微积分第3单元的正切函数核心概念，包括定义、关键性质、图像变换、反正切函数以及正切问题求解。

**先修:** 单位圆下的正弦与余弦三角学; 周期函数的图像变换法则; 垂直渐近线附近的极限行为; [AP预备微积分第3单元总览](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-overview/)

## 学习目标

- 用正弦、余弦和单位圆坐标定义正切函数
- 识别正切函数的关键性质：定义域、值域、周期和垂直渐近线
- 将图像变换法则应用于正切函数
- 计算反正切函数的值并求其定义域和值域
- 求解AP预备微积分考试中的正切方程问题

## 什么是正切函数？

正切函数是周期三角函数，定义为同一个角的正弦值与余弦值的比值，通常记为$\tan(\theta)$，按照AP预备微积分的约定，其中$\theta$是以弧度为单位的输入角度。

对于单位圆上终点为$(x,y)$的任意角$\theta$，有$\tan(\theta) = \frac{y}{x}$，该值等于从原点到$(x,y)$的终边的斜率。与正弦和余弦不同，正切函数并非对所有实数输入都有定义，因此它具有带重复垂直渐近线的独特结构。在AP考试中，正切相关内容占总分的2-3%左右，会同时出现在选择题和自由作答题部分。

**正切函数** — 周期三角函数，定义为同一个输入角的正弦与余弦的比值，等于单位圆终边的斜率。

*记法:* $\tan(\theta)$

*例:* 对于$\theta = \frac{\pi}{4}$，$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)} = 1$

## 关键性质：定义域、值域、周期和渐近线

正切函数的所有核心性质都直接来自其定义$\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$。由于除以零无意义，正切函数在$\cos(\theta) = 0$时无定义，此时$\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$，对所有整数$k$成立。

$$\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

在每个无定义点，正切函数都有一条垂直渐近线：从左侧趋近时$\tan(\theta) \to +\infty$，从右侧趋近时$\tan(\theta) \to -\infty$。基本正切函数的值域是全体实数$(-\infty, \infty)$，因为当余弦趋近于零时，该比值会无界增长。

正切函数与正弦/余弦的一个关键区别是周期：正切的基周期是$\pi$，而非$2\pi$，因为$\tan(\theta + \pi) = \frac{-\sin(\theta)}{-\cos(\theta)} = \tan(\theta)$。对于变换后的函数$A\tan(Bx - C) + D$，周期为$\frac{\pi}{|B|}$。

在任意两条相邻的垂直渐近线之间，正切图像始终递增，但它的凹凸性恰好改变一次。在每一支的左半部分，图像是凹向下的（concave down）：当$\theta$在这一半区间内增大时，变化率（割线的斜率）在递减。在右半部分，图像是凹向上的（concave up），此时变化率在递增。凹凸性由凹下转为凹上的那一个点——位于该支的中心、也就是基本正切函数取零值之处——就是一个拐点（point of inflection）。

**例题:** 求函数$f(x) = \tan\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$的定义域、周期和垂直渐近线。

1. 对于任意正切函数，周期按$\frac{\pi}{|B|}$计算。此处$B=3$，因此周期为：
2. $$\frac{\pi}{3}$$
3. 要求垂直渐近线，将正切的整个自变量等于基渐近线位置$\frac{\pi}{2} + k\pi$（对所有整数$k$）：
4. $$3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$
5. 求解$x$：
6. $$3x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$$
7. 定义域是除这些渐近线位置外的全体实数。

> **tip**
>
> 计算正切函数的周期时，千万不要使用正弦和余弦的$\frac{2\pi}{|B|}$公式。请记住：对于相同的$B$，正切的周期是正弦/余弦周期的一半。

## 正切函数的图像变换

变换后正切函数的标准通式是：

$$f(x) = A\tan\left(B(x - h)\right) + k$$

每个常数都遵循标准变换法则，适配正切的独特结构：$|A|$控制纵向陡度，$A$的符号控制图像关于x轴翻转，$B$控制横向伸缩和周期，$h$是水平平移量，$k$是垂直平移量。只有$B$会改变周期或渐近线位置；$A$和$k$不影响这些性质。

**例题:** 写出一个正切函数的方程，满足：相邻垂直渐近线位于$x = -\frac{\pi}{2}$和$x = \frac{\pi}{2}$，经过点$\left(\frac{\pi}{4}, 4\right)$，且在两条渐近线之间单调递增。

1. 从通式$f(x) = A\tan\left(B(x - h)\right) + k$开始。题目未提到垂直平移，因此$k=0$。相邻渐近线的中点在$x=0$，因此没有水平平移，$h=0$。
2. 相邻渐近线之间的距离等于周期，因此：
3. $$P = \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi \implies \pi = \frac{\pi}{|B|} \implies |B| = 1, \text{ so } B=1$$
4. 函数单调递增，因此$A$为正。利用点$\left(\frac{\pi}{4}, 4\right)$求解$A$：
5. $$4 = A\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = A(1) \implies A=4$$
6. 满足所有条件的最终方程为：
7. $$f(x) = 4\tan(x)$$

> **tip**
>
> 要验证你得到的变换后正切方程是否正确，可以检查任意两条相邻渐近线之间的距离是否等于你计算出的周期。这个10秒的检查可以排除80%常见的变换错误。

## 反正切函数

由于正切函数是周期函数，每$\pi$就会重复输出值，因此它在整个定义域上不是一一对应的。为了定义有效的反函数，我们将正切的定义域限制在$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$，该区间覆盖了一个完整周期，也覆盖了正切所有可能的输出值。

**反正切函数** — 定义域限制为$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$的正切函数的反函数。根据定义，$y = \arctan(x)$当且仅当$\tan(y) = x$且$y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$。

*记法:* $\arctan(x)$ or $\tan^{-1}(x)$

*例:* $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$，而非$\frac{5\pi}{4}$，因为$\frac{5\pi}{4}$不在限制值域内。

$\arctan(x)$的定义域是全体实数$(-\infty, \infty)$（对应原正切函数的值域），$\arctan(x)$的值域是$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$（对应原正切函数的限制定义域）。$\arctan(x)$的图像在$y = \pm \frac{\pi}{2}$处有水平渐近线。

**例题:** 计算$\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$的值，并求$g(x) = 3\arctan(2x) + \pi$的值域。

1. 要计算$\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$，我们需要找到一个满足$\tan(y) = \frac{1}{\sqrt{3}}$且$y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$的角$y$。根据单位圆三角学，我们知道$\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$，因此：
2. $$\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$$
3. 基本$\arctan(2x)$的值域仍然是$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$。乘以3得到伸缩后的值域：
4. $$\left(-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$$
5. 加上$\pi$得到垂直平移后的最终值域：
6. $$\left(-\frac{3\pi}{2} + \pi, \frac{3\pi}{2} + \pi\right) = \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right)$$

> **tip**
>
> 除非题目明确要求正切方程的所有解，否则AP考试中反正切的输出始终在$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$内；绝对不要给出该区间外的结果。

## AP风格实操例题

**例题:** 以下哪个选项正确给出了$f(x) = \tan\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{6}\right)$的周期和第一个正垂直渐近线？
A) 周期 $3\pi$, 渐近线 $x = 2\pi$
B) 周期 $\frac{\pi}{3}$, 渐近线 $x = 2\pi$
C) 周期 $3\pi$, 渐近线 $x = \frac{2\pi}{3}$
D) 周期 $\frac{\pi}{3}$, 渐近线 $x = \frac{2\pi}{3}$

1. 首先用公式$P = \frac{\pi}{|B|}$计算周期。此处$B = \frac{1}{3}$，因此：
2. $$P = \frac{\pi}{1/3} = 3\pi$$
3. 这就排除了周期错误的选项B和D。接下来，将自变量等于最小的正基渐近线位置$\frac{\pi}{2}$，求出第一个正垂直渐近线：
4. $$\frac{x}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$$
5. 求解$x$：
6. $$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \implies x = 2\pi$$
7. 这与选项A一致，是正确答案。

**例题:** 考虑函数$f(x) = 2\tan\left(3\left(x - \frac{\pi}{9}\right)\right) + 1$。
(a) 求$f(x)$的周期和所有垂直渐近线的位置。
(b) 写出$f(x)$的定义域和值域。
(c) 求区间$[0, \pi]$内所有满足$f(x) = 3$的$x$值。

1. (a)问：$B=3$，因此周期为：
2. $$\frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$$
3. 将自变量等于$\frac{\pi}{2} + k\pi$求解渐近线：
4. $$3\left(x - \frac{\pi}{9}\right) = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{5\pi}{18} + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$$
5. (b)问：定义域是除上述渐近线位置外的全体实数。即使经过垂直平移，任意正切函数的值域都是全体实数，因此：
6. $$\text{Domain}: \left\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{5\pi}{18} + \frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}\right\}, \quad \text{Range}: (-\infty, \infty)$$
7. (c)问：令$f(x) = 3$并化简：
8. $$2\tan\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) + 1 = 3 \implies \tan\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) = 1$$
9. $\tan(y) = 1$的解是$y = \frac{\pi}{4} + k\pi$，因此代入求解$x$：
10. $$3x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + k\pi \implies x = \frac{7\pi}{36} + \frac{k\pi}{3}$$
11. 代入不同整数$k$检验，得到$[0, \pi]$内的解如下：
12. $$x = \frac{7\pi}{36}, \frac{19\pi}{36}, \frac{31\pi}{36}$$

**例题:** 测量员需要求信号塔顶部的仰角。到塔基的水平距离是85米，且$\tan(\theta) = 0.42$。(a) 求$\theta$的弧度值，保留三位小数。(b) 测斜仪只能精确测量小于0.4弧度的角，$\theta$是否在精确测量范围内？

1. 当$\tan(\theta) = 0.42$时，使用反正切求$\theta$：
2. $$\theta = \arctan(0.42)$$
3. 使用弧度模式的计算器计算，结果约为0.398弧度。与最大精确角度0.4弧度比较，0.398 < 0.4，因此$\theta$在精确测量范围内。

## 常见错误

- **错误做法:** 认为基本正切函数的周期是$2\pi$，和正弦、余弦一致。
  - 原因: 学生先学习正弦和余弦，因此记住了$2\pi$是默认三角周期，忘记正切的重复速度是两倍。
  - 正确做法: 始终牢记正切的基周期是$\pi$，变换后周期按$\frac{\pi}{|B|}$计算，而非$\frac{2\pi}{|B|}$。
- **错误做法:** 将$f(x) = \tan(2x - \pi)$的渐近线错误求为$x = \frac{\pi}{4} + k\pi$。
  - 原因: 学生对基渐近线平移了$C$，但忘记将平移量缩放$\frac{1}{B}$倍。
  - 正确做法: 始终将整个自变量等于$\frac{\pi}{2} + k\pi$，然后逐步求解$x$得到所有渐近线位置。
- **错误做法:** 计算反正切时，将最终答案写为$\arctan(1) = \frac{5\pi}{4}$。
  - 原因: 学生混淆了求解一般正切方程和计算反正切函数，反正切函数要求输出在限制值域内。
  - 正确做法: 交卷前始终检查反正切的输出是否落在$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$内。
- **错误做法:** 认为$f(x) = A\tan(Bx) + k$中的$A$会改变函数的周期。
  - 原因: 学生混淆了纵向和横向变换，认为任何伸缩都会改变周期。
  - 正确做法: 记住只有$x$的系数$B$会改变正切的周期；$A$只改变纵向陡度，不影响周期或渐近线。
- **错误做法:** 求解$\tan(\theta) = 1$时，只给出$\theta = \frac{\pi}{4}$作为通解。
  - 原因: 学生只给出反正切的输出，忘记正切是周期为$\pi$的周期函数。
  - 正确做法: 找到基解$\theta_0 = \arctan(k)$后，始终加上$+n\pi$（而非$+2n\pi$），得到对任意整数$n$的所有通解。
- **错误做法:** 混淆正切和反正切的定义域与值域。
  - 原因: 学生在正切和反正切之间转换时，混淆了反函数的输入输出关系。
  - 正确做法: 记住：正切是限制定义域，全体值域；反正切是全体定义域，限制值域。

## 速查表

| 类别 | 公式/性质 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 基本定义 | $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{y}{x}$ | 对应单位圆终点$(x,y)$；$\cos(\theta) = 0$时无定义 |
| 一般变换后正切 | $f(x) = A\tan(B(x-h)) + k$ | 图像变换的标准形式 |
| 正切周期 | $P = \frac{\pi}{\|B\|}$ | 始终为$\frac{\pi}{\|B\|}$，而非正弦/余弦使用的$\frac{2\pi}{\|B\|}$ |
| 垂直渐近线 | $B(x-h) = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}$ | 每个周期一条渐近线 |
| 正切的定义域/值域 | 定义域：除渐近线外所有实数<br>值域：$(-\infty, \infty)$ | 垂直平移不改变值域 |
| 反正切定义 | $y = \arctan(x) \iff \tan(y) = x, y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ | 输出始终在限制区间内 |
| 反正切的定义域/值域 | 定义域：$(-\infty, \infty)$<br>值域：$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ | 在$y = \pm \frac{\pi}{2}$处有水平渐近线 |

## 下一步

掌握正切函数为你未来的微积分课程打下坚实基础。本主题直接关联AP预备微积分第3单元的其他核心内容，包括三角恒等式、反三角函数和极坐标建模，所有这些内容都经常出现在AP考试中。熟练掌握正切变换和方程求解，能帮助你在考试日应对选择题和自由作答题。

- [AP预备微积分第3单元总览](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-overview/)
- [反三角函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-inverse-trigonometric-functions/)
- [三角方程与不等式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-trigonometric-equations-and-inequalities/)

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