# 正弦函数

> AP 预备微积分 · 第3单元：三角函数与极坐标函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-sinusoidal-functions/

本指南涵盖AP微积分预备考试要求的正弦函数一般形式、关键参数、根据图像构造方程以及真实世界周期现象建模内容。

**先修:** 基函数正弦和余弦的基本性质; 一般函数的变换; 角度的弧度制

## 学习目标

- 从一般形式中识别正弦函数的所有参数
- 根据标注图像构造正弦方程
- 用正弦函数对真实世界周期现象建模
- 对正弦函数应用变换法则

## 正弦函数的定义与作用

正弦函数是任何可以表示为基函数正弦或余弦变换形式的周期函数，会生成振幅和周期都恒定的光滑重复波浪形状。这使得正弦曲线成为对所有以稳定速率重复的真实世界过程建模的理想工具，该技能在AP微积分预备考试中占比很高。

根据AP微积分预备CED，正弦函数是第3单元的核心主题，约占该单元考试权重的30%。选择题通常考察参数识别，而自由作答题重点考察情境建模。

**正弦函数** — 基函数正弦或余弦经过变换得到的周期函数，生成振幅和周期恒定的光滑波浪。

每条正弦曲线都有一个关键的图像特征：它在凹上与凹下之间不断交替。按照第1单元关于凹凸性的定义，凡是变化率递减的弧段——即包含每个最大值的弧段——图像凹下；凡是变化率递增的弧段——即包含每个最小值的弧段——图像凹上。凹凸性在每次穿过中线时切换，因此每个最大值都落在凹下弧段中，每个最小值都落在凹上弧段中。

## 一般正弦形式的参数

AP微积分预备偏好使用标准因式分解形式的正弦函数一般形式，可避免常见错误，该形式为：

$$f(x) = A \sin\left(B(x - C)\right) + D \quad \text{or} \quad f(x) = A \cos\left(B(x - C)\right) + D$$

每个参数直接对应基函数 $y = \sin x$ 或 $y = \cos x$ 的变换，基函数的振幅为 1，周期为 $2\pi$，无相位偏移，中线在 $y=0$：

- $|A|$ = **振幅**: 函数最大值与最小值之间垂直距离的一半，描述波浪的高度。$A$的符号会使图像关于中线对称翻转。
- **周期**: $T = \frac{2\pi}{|B|}$，一个完整重复周期的水平长度。**频率**: $f = \frac{|B|}{2\pi} = \frac{1}{T}$，每单位输入量的周期数量。
- $C$ = **相位偏移**: 相对于基函数的水平平移量。如果 $C>0$，向右平移 $C$ 个单位；如果 $C<0$，向左平移 $|C|$ 个单位。
- $D$ = **垂直平移 / 中线**: 穿过波浪中心的水平线 $y=D$。最大值为 $D + |A|$，最小值为 $D - |A|$。

> **warning**
>
> 如果函数以非因式分解形式 $A\sin(Bx - C) + D$ 给出，相位偏移是 $\frac{C}{B}$，不是 $C$，这是常见错误来源。

**例题:** 找出 $g(t) = -3 \sin\left(\frac{\pi}{2} t + \pi\right) + 1$ 的振幅、周期、相位偏移和中线。将函数改写为标准因式分解形式。

1. 首先，对正弦项内$t$的系数提公因式，得到标准形式：
2. $$\frac{\pi}{2} t + \pi = \frac{\pi}{2}(t + 2) = \frac{\pi}{2}(t - (-2))$$
3. 对比一般形式读出原始参数: $A=-3$, $B=\frac{\pi}{2}$, $C=-2$, $D=1$。
4. 振幅是 $|A| = |-3| = 3$，中线是 $y = D = 1$。
5. 计算周期：
6. $$T = \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$$
7. 相位偏移是 $C=-2$，对应基函数 $y=\sin t$ 向左平移2个单位。

> **考试提示:** 识别相位偏移前，始终先将正弦/余弦的自变量改写为因式分解形式。AP考试题目故意以非因式分解形式给出，考察这一步骤。

## 根据图像构造正弦方程

从标注图像推导正弦曲线的方程是AP微积分预备的核心技能。步骤遵循固定顺序可避免错误：

1. 先找中线 $D$，即最大值和最小值 $y$ 坐标的平均值: $D = \frac{\max + \min}{2}$。
2. 找振幅 $|A|$ 为最大值减最小值差的一半: $|A| = \frac{\max - \min}{2}$。$A$ 的符号取决于你所选基函数的起点关键点是最大值还是最小值。
3. 找周期 $T$ 为两个连续最大值或两个连续最小值之间的水平距离。连续最大值和最小值之间的距离是半个周期。
4. 计算 $B = \frac{2\pi}{T}$。
5. 通过匹配已知关键点（例如余弦的最大值、正弦上升中线点）与基函数，找到相位偏移 $C$。

你可以选择正弦或余弦作为基函数；只要参数准确，两者都是正确的，但选择匹配起点关键点的基函数可以简化计算。

**例题:** 某正弦图像在 $(0, 5)$ 处有最大值，下一个连续最小值在 $(4, 1)$。使用余弦基函数写出方程。

1. 计算中线 $D = \frac{5 + 1}{2} = 3$，因此中线为 $y=3$。
2. 计算振幅: $|A| = \frac{5 - 1}{2} = 2$。$x=0$ 处的起点是最大值，和基余弦的起点值 $\cos(0)=1$ 匹配，因此 $A$ 为正: $A=2$。
3. 找周期：最大值到下一个连续最小值的距离是半个周期，因此 $\frac{T}{2} = 4 - 0 = 4$，故 $T=8$。
4. 计算 $B = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$。
5. $x=0$ 处是最大值意味着没有相位偏移，因此 $C=0$。最终方程是：
6. $$f(x) = 2\cos\left(\frac{\pi}{4}x\right) + 3$$
7. 代入原给定的点验证，结果正确。

> **考试提示:** 始终通过确认两个最大值之间的距离是否等于你计算出的完整周期来验证结果。如果你的周期差了2倍，这个检查会立即发现错误。

## 对真实世界周期现象建模

正弦函数是微积分预备中对重复真实世界过程建模的主要工具：每日气温、潮汐高度、钟摆运动、季节性销售周期、交流电等等，不胜枚举。成功建模的关键是将情境映射到标准参数，从明确定义输入变量开始（通常是时间 $t$，且将 $t=0$ 设为有意义的起点，例如午夜或1月1日）。

> **tip**
>
> 在使用模型预测前，始终检查模型在给定关键点处的输出是否正确。

**例题:** 沿海港口的潮汐高度是正弦函数。高潮12英尺发生在凌晨2点（午夜后 $t=2$ 小时），低潮2英尺发生在6小时15分钟后。写出高度 $H(t)$（单位：英尺）的模型，其中 $t$ 是午夜后的小时数。

1. 计算中线和振幅: $D = \frac{12 + 2}{2} = 7$ 英尺，$|A| = \frac{12 - 2}{2} = 5$ 英尺。
2. 高潮到下一个低潮之间的时间是6.25小时，即半个周期，因此 $T = 2(6.25) = 12.5$ 小时。
3. 计算 $B = \frac{2\pi}{12.5} = \frac{4\pi}{25}$。
4. 我们使用余弦基函数，高潮在 $t=2$，因此相位偏移 $C=2$，$A=+5$（在 $C$ 处为最大值，故为正）。模型是：
5. $$H(t) = 5\cos\left(\frac{4\pi}{25}(t - 2)\right) + 7$$
6. 验证模型: $t=2$ 时，$H(2) = 5\cos(0) +7 = 12$（高潮正确），$t=8.25$ 时，$H(8.25) = 5\cos(\pi) +7 = 2$（低潮正确）。

> **考试提示:** 回答建模自由作答题时，始终明确说明所有参数和最终预测的单位。AP微积分预备要求情境题必须写明单位才能得满分。

## AP风格练习题

**例题:** 挪威奥斯陆的日照时长可以建模为时间 $t$ 的正弦函数，其中 $t=0$ 是1月1日（冬至），周期为365天，最小日照时长为6小时，最大为18小时。写出日照时长 $D(t)$ 的模型，并预测1月1日后91.25天的日照时长。

1. 首先计算中线和振幅: $D = \frac{6 + 18}{2} = 12$ 小时，$|A| = \frac{18 - 6}{2} = 6$。
2. 由于 $t=0$ 在最小值点，我们使用余弦基函数且 $A=-6$，因此 $A=-6$。周期 $T=365$，故 $B = \frac{2\pi}{365}$，相位偏移 $C=0$。模型是：
3. $$D(t) = -6\cos\left(\frac{2\pi}{365}t\right) + 12$$
4. 代入 $t=91.25$ 计算预测的日照时长：
5. $$D(91.25) = -6\cos\left(\frac{2\pi}{365} \times 91.25\right) + 12 = -6\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 12 = -6(0) + 12 = 12$$
6. 这个结果合理：1月1日后91.25天是春分，全球昼夜大致等长。

**概念自测**

测试你的基础参数计算：

1. What is the period of $y = -5 \sin\left(\frac{2\pi}{3}x + \frac{4\pi}{3}\right) + 2$?

   - $\frac{2\pi}{3}$
   - $3$
   - $\frac{3}{2}$
   - $3\pi$

   *答案:* $3$

   *解析:* 正确。$T = \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{2\pi/3} = 3$。振幅和相位偏移不影响周期。

## 常见错误

- **错误做法:** 直接从未因式分解形式 $A\sin(Bx - C) + D$ 中把 $C$ 读作相位偏移。
  - 原因: 学生混淆因式分解和非因式分解一般形式，忘记在非因式分解形式中 $C$ 必须除以 $B$。
  - 正确做法: 识别相位偏移前，始终先把 $B$ 从自变量中提出，得到标准因式分解形式，此时 $C$ 就是明确的相位偏移。
- **错误做法:** 将周期计算为 $\frac{|B|}{2\pi}$ 而不是 $\frac{2\pi}{|B|}$。
  - 原因: 学生从一般形式计算时混淆了周期和频率的定义。
  - 正确做法: 用基函数 $y=\sin x$ 测试你的公式，此时 $B=1$: $\frac{2\pi}{1}=2\pi$，符合已知周期。每次都反向检查。
- **错误做法:** 将一个最大值和一个最小值之间的距离当作完整周期。
  - 原因: 最大值和最小值交替出现，因此连续最大值/最小值间隔半个周期，而非完整周期。
  - 正确做法: 始终将周期计算为两个连续最大值或两个连续最小值之间的距离，或者将连续最大值和最小值之间的距离加倍。
- **错误做法:** 计算一般形式的 $B$ 时使用角度制。
  - 原因: 从入门三角过渡的学生通常默认使用角度制，但AP微积分预备中所有面向微积分的题目都使用弧度制。
  - 正确做法: 除非题目明确指定角度制，否则AP考试中的正弦模型始终使用弧度制。
- **错误做法:** 对于余弦基函数起点为最小值的情况，使用正的 $A$。
  - 原因: 学生忘记 $A$ 的符号会使图像关于中线翻转，将最大值变为最小值。
  - 正确做法: 在继续计算前，将起点 $x$ 值代入最终方程，检查它是否给出正确的起点值（最大值/最小值）。

## 速查表

| 类别 | 公式/数值 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 标准因式分解形式 | $f(x) = A\sin\left(B(x-C)\right) + D$<br>$f(x) = A\cos\left(B(x-C)\right) + D$ | AP微积分预备偏好形式；$C$ 直接是相位偏移 |
| 非因式分解形式 | $f(x) = A\sin(Bx - C) + D$ | 相位偏移 = $C/B$，不是 $C$ |
| 振幅 | $\|A\| = \frac{\max - \min}{2}$ | 始终为正；$A$ 的符号表示关于中线翻转 |
| 中线 / 垂直平移 | $y = D = \frac{\max + \min}{2}$ | 正弦曲线的中心线 |
| 周期 | $T = \frac{2\pi}{\|B\|}$ | 一个完整周期的长度，单位为输入单位 |
| 频率 | $f = \frac{\|B\|}{2\pi} = \frac{1}{T}$ | 每单位输入的周期数量 |
| 相位偏移 | $C$ (因式分解), $C/B$ (非因式分解) | $C>0$ = 右移；$C<0$ = 左移 |
| 最大/最小值 | $\max = D + \|A\|$, $\min = D - \|A\|$ | 对所有正弦函数都成立 |

## 下一步

正弦函数是AP微积分预备中所有剩余三角和周期内容的基础主题。接下来，你将描述正弦函数的平均变化率如何在区间上变化，以及它的凹凸性如何随该变化率的递增和递减而交替，这是常考的自由作答题主题。你还将使用正弦函数构造玫瑰线、心脏线等曲线的极坐标方程，这些内容完全依赖于对正弦参数如何影响输出的理解。掌握本主题对所有即将学习的三角应用和未来大学STEM学习至关重要。

- [正弦函数变换](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-sinusoidal-function-transformations/)
- [正弦函数情境与数据建模](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-sinusoidal-function-context-and-data/)
- [正切函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-tangent-function/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-sinusoidal-functions/