# 正弦、余弦与正切（直角三角形）

> AP 预备微积分 · 第3单元：三角函数与极坐标函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-sine-cosine-and-tangent/

本模块讲解AP预备微积分第3单元中正弦、余弦和正切的直角三角形定义。你将学习核心三角比、求解未知边长与角度、应用余函数恒等式，以及规避常见考试陷阱。

**先修:** 直角三角形的勾股定理; 角度制与弧度制的基本角度度量知识; 相似三角形的性质

## 学习目标

- 利用直角三角形边长比定义正弦、余弦和正切
- 求解直角三角形中的未知边长和锐角
- 应用余函数恒等式处理互余角
- 识别并避免直角三角学题目中的常见考试陷阱
- 以弧长除以半径来度量弧度，并将正切定义为标准位置下终边的斜率

## 基础：直角三角形、标准位置与弧度

直角三角形三角学给出了三个核心三角函数的基础定义，其依据是直角三角形边长比为定值的性质。所有含有相等锐角的直角三角形都相似，因此对于给定角度，任意两边的比值与三角形大小无关，是固定值。该定义适用于$0^\circ$到$90^\circ$（即$0$到$\pi/2$弧度）之间的角度，之后我们会通过单位圆将定义扩展到全体实数。掌握本部分内容是学习AP预备微积分所有后续三角学内容的基础，它占考试总分的7%-10%，会在选择题（MCQ）和自由作答题（FRQ）部分都考查。

更一般地，AP微积分预备用处于**标准位置**的角来定义这些函数：角的顶点在原点，始边沿$x$轴正方向，**终边**由始边旋转得到（正角逆时针旋转，负角顺时针旋转）。本课程中角主要以弧度而非角度为单位度量。

**弧度制** — 一个角的弧度值等于它所对的弧长除以圆的半径：$\theta = \frac{s}{r}$，其中$s$为弧长，$r$为半径。由于整个圆的周长为$2\pi r$，所以一整圈是$2\pi$弧度，平角是$\pi$弧度。

*例:* 所对弧长恰好等于半径的圆心角，其大小恰为$1$弧度。

当角$\theta$的终边与单位圆相交于点$(x, y)$时，$\theta$的余弦和正弦恰好就是这两个坐标：$\cos\theta = x$，$\sin\theta = y$。于是$\theta$的正切就是**终边的斜率**，等于这两个坐标之比：

$$\tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \quad (\text{终边的斜率，} x \neq 0)$$

对于锐角$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$，这些标准位置定义与下一节的直角三角形比值完全一致，因此SOHCAHTOA只是这些更一般定义的特殊情形。

## 核心三角比与SOHCAHTOA定义

在任意直角三角形中，各边的命名都是*相对于你正在分析的锐角$\theta$*，而非直角。斜边永远是直角对边（也是最长边）。对边是不接触$\theta$的直角边，邻边是接触$\theta$的直角边。

$$\sin\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} = \frac{O}{H}$$

$$\cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} = \frac{A}{H}$$

$$\tan\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} = \frac{O}{A}$$

> **SOHCAHTOA记忆口诀**
>
> SOHCAHTOA（发音为“搜卡托阿”）是记忆这些三角比的通用方法：SOH = 正弦（Sine）= 对边（Opposite）比斜边（Hypotenuse），CAH = 余弦（Cosine）= 邻边（Adjacent）比斜边（Hypotenuse），TOA = 正切（Tangent）= 对边（Opposite）比邻边（Adjacent）。

**例题:** 在直角三角形$ABC$中，直角位于点$C$，$AC = 5$，$BC = 12$。求$\sin(A)$和$\tan(A)$。

1. 相对于目标角$A$标注各边：直角在$C$点，因此斜边是$AB$。$A$的对边是$BC$，$A$的邻边是$AC$。
2. 用勾股定理计算斜边长：

   $$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 169 \implies AB = 13$$
3. 用核心三角比计算$\sin(A)$：

   $$\sin(A) = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{13}$$
4. 用核心三角比计算$\tan(A)$：

   $$\tan(A) = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{5}$$

> **考试提示:** 一定要相对于目标角标注各边，而非另一个锐角。混淆对边和邻边是基础三角比题目中最常见的错误，也是选择题中常见的干扰项设计。

## 求解未知边长与角度

只要你知道直角三角形至少一条边长和一个锐角，就可以利用SOHCAHTOA、勾股定理，以及两个锐角和为$90^\circ$的性质求出所有未知边长和角度。

1. 求解未知边长：(1) 相对于已知角度标注出已知边和需求解的边，(2) 选择连接已知边和未知边的三角比，(3) 列方程并整理后求解。
2. 求解未知锐角：(1) 相对于未知角度标注出两条已知边，(2) 列出对应三角比，再使用相应的反三角函数（$\arcsin$、$\arccos$、$\arctan$）求解角度。

> **考试注意事项**
>
> 在AP考试中，一定要遵循题目关于精确值还是小数近似值的要求，并且检查你的答案是否合理（斜边一定是三角形中最长的边）。

**例题:** 一个直角三角形的锐角为$32^\circ$，该角的邻边长为10厘米。求斜边长度，结果保留一位小数。

1. 标注已知量和未知量：$\theta = 32^\circ$，已知邻边长为10厘米，未知斜边为$c$。
2. 选择连接邻边和斜边的三角比，即余弦。
3. 将数值代入三角比：

   $$\cos(32^\circ) = \frac{10}{c}$$
4. 整理后求解$c$：

   $$c = \frac{10}{\cos(32^\circ)}$$
5. 使用角度模式的计算器计算：$\cos(32^\circ) \approx 0.8480$，因此$c \approx 11.8$厘米。

> **考试提示:** 计算三角函数或反三角函数值之前，一定要检查计算器的角度模式；混淆角度制和弧度制得到的错误答案永远会和某一个选择题干扰项匹配，很容易做错。

*计算器:* allowed

## 直角三角形的余函数恒等式

直角三角形的两个锐角互余（和为$90^\circ$或$\pi/2$弧度）。对于锐角$\theta$，另一个锐角为$90^\circ - \theta$，此时对边和邻边相对于这个新角会互换位置，由此我们得到了余函数恒等式。

$$\sin(\theta) = \cos(90^\circ - \theta)$$

$$\cos(\theta) = \sin(90^\circ - \theta)$$

$$\tan(\theta) = \cot(90^\circ - \theta)$$

这些恒等式可用于化简三角表达式、关联互余角，帮助你在考试中节省时间。“余弦（cosine）”这个名称本身就是“complementary sine（互余正弦）”的缩写，正是来源于这个关系。

**例题:** 不使用计算器化简$\sin(47^\circ) - \cos(43^\circ)$。

1. 检查角度和：$47^\circ + 43^\circ = 90^\circ$，因此$43^\circ = 90^\circ - 47^\circ$。
2. 应用余弦的余函数恒等式：$\cos(90^\circ - \theta) = \sin(\theta)$，因此：

   $$\cos(43^\circ) = \cos(90^\circ - 47^\circ) = \sin(47^\circ)$$
3. 代回原表达式：

   $$\sin(47^\circ) - \sin(47^\circ) = 0$$
4. 该表达式化简后的值为0。

> **考试提示:** 如果你的表达式中出现两个和为$90^\circ$（或$\pi/2$弧度）的角度，在拿计算器计算前一定要先检查是否可以用余函数恒等式化简，这样能节省时间。

## AP风格例题讲解

**例题:** 选择题：在直角三角形$XYZ$中，直角位于$Y$点，$XZ = 10$，$\tan(Z) = \frac{3}{4}$。$XY$的长度是多少？<br>A) 4 B) 6 C) 8 D) 10

1. 正确标注三角形：直角在$Y$点，因此斜边（直角对边）为$XZ = 10$。对于目标角$Z$，对边是$XY$，邻边是$YZ$。
2. 我们知道$\tan(Z) = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} = \frac{XY}{YZ} = \frac{3}{4}$。设$XY = 3k$，$YZ = 4k$，其中$k$为正的常数。
3. 应用勾股定理：

   $$(3k)^2 + (4k)^2 = 10^2 \implies 25k^2 = 100 \implies k^2 = 4 \implies k = 2$$
4. 代回求出$XY$：

   $$XY = 3(2) = 6$$

**例题:** 自由作答题：直角三角形$PQR$的直角位于$R$点。角$P$的大小为$2\theta$，角$Q$的大小为$(3\theta - 10)^\circ$，所有角度单位均为度。(a) 证明$\theta = 20$，并求出两个锐角的大小。(b) 若$PR = 7$，求斜边$PQ$的精确长度。(c) 求$\tan(Q)$的精确值。

1. (a)部分：任意三角形内角和为$180^\circ$，因此：

   $$90^\circ + 2\theta + (3\theta - 10^\circ) = 180^\circ$$
2. 化简后求解$\theta$：

   $$5\theta + 80^\circ = 180^\circ \implies 5\theta = 100^\circ \implies \theta = 20^\circ$$
3. 两个锐角分别为$2\theta = 40^\circ$和$3(20^\circ) - 10^\circ = 50^\circ$。
4. (b)部分：$PR$是角$P = 40^\circ$的邻边，因此使用余弦比：

   $$\cos(P) = \frac{PR}{PQ} \implies PQ = \frac{PR}{\cos(P)} = \frac{7}{\cos(40^\circ)}$$
5. 这就是题目要求的精确值（$7\sec(40^\circ)$同样可接受）。
6. (c)部分：$Q = 90^\circ - P = 50^\circ$，因此应用余函数恒等式：

   $$\tan(Q) = \tan(90^\circ - 40^\circ) = \cot(40^\circ) = \frac{1}{\tan(40^\circ)}$$
7. 这就是题目要求的精确值。

**例题:** 实际应用：测量员需要测量海岸平原上一座山峰相对于平原的高度。他们在峰顶正下方水平距离1500米处放置了一台激光测量设备，测得设备到峰顶的仰角为$12.5^\circ$。测量设备本身高于平原1.8米。求峰顶相对于平原的总高度，结果保留到整数米。

1. 该场景构成一个直角三角形：$12.5^\circ$仰角的邻边是1500米的水平距离，对边是峰顶相对于测量设备的高度，记为$h$。正切关联对边和邻边：

   $$\tan(12.5^\circ) = \frac{h}{1500}$$
2. 整理后求解$h$：

   $$h = 1500 \tan(12.5^\circ)$$
3. 使用角度模式的计算器计算：$\tan(12.5^\circ) \approx 0.2217$，因此$h \approx 1500(0.2217) = 332.55$米。
4. 加上测量设备本身的高度：

   $$\text{Total height} \approx 332.55 + 1.8 = 334.35 \approx 334 \text{ m}$$
5. 峰顶相对于平原的总高度约为334米。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 相对于直角而非目标锐角标注对边/邻边
  - 原因: 学生急于将“底边”标注为邻边，没有确认他们要求解的是哪个角。
  - 正确做法: 每次开始解题时，先明确标出目标角$\theta$，再仅相对于该角标注对边和邻边。
- **错误做法:** 求解未知边长时颠倒三角比，例如写成$c = 10 \cos(32^\circ)$而非$c = \frac{10}{\cos(32^\circ)}$
  - 原因: 学生列出三角比后忘记正确整理方程。
  - 正确做法: 解出任意边长后，检查斜边是否比两条直角边都长；如果不是，说明你的三角比颠倒了。
- **错误做法:** 题目使用角度制时计算器留在弧度模式，反之亦然
  - 原因: 学生沿用前一道题的模式，忘记切换。
  - 正确做法: 进行任何三角计算前，明确检查计算器模式是否和题目给出的角度单位一致。
- **错误做法:** 对大于等于90°的角使用直角三角形定义
  - 原因: 学生最先记住SOHCAHTOA，忘记了它的定义域限制。
  - 正确做法: 对于不在$0 < \theta < 90^\circ$范围内的角，使用单位圆定义而非直角三角形三角比。
- **错误做法:** 在非标准朝向的三角形中选错斜边，默认斜边永远是水平的
  - 原因: 学生默认斜边永远是水平边或底边，而非直角的对边。
  - 正确做法: 永远先确认直角位置，斜边永远是直角的对边，和三角形的绘制朝向无关。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 备注 |
| --- | --- | --- |
| 正弦比（直角三角形） | $\sin\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$ | 仅适用于$0 < \theta < 90^\circ$（$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$弧度）；所有值均为正 |
| 余弦比（直角三角形） | $\cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$ | 仅适用于$0 < \theta < 90^\circ$（$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$弧度）；所有值均为正 |
| 正切比（直角三角形） | $\tan\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$ | $\theta = 90^\circ$时无定义；仅适用于$0 < \theta < 90^\circ$ |
| SOHCAHTOA记忆口诀 | Sine=Opposite/Hypotenuse, Cosine=Adjacent/Hypotenuse, Tangent=Opposite/Adjacent | 用于记忆核心三角比定义 |
| 余函数恒等式 | $\sin\theta = \cos(90^\circ - \theta), \cos\theta = \sin(90^\circ - \theta)$ | 对直角三角形中任意锐角$\theta$成立 |
| 求解未知角度 | If $\sin\theta = k$, $\theta = \arcsin(k)$; if $\cos\theta = k$, $\theta = \arccos(k)$; if $\tan\theta = k$, $\theta = \arctan(k)$ | 已知边长比时用反三角函数求角度 |
| 互余角和 | $\theta_1 + \theta_2 = 90^\circ$ | 适用于任意直角三角形的两个锐角 |
| 弧度制 | $\theta = \frac{s}{r}$ | 弧长除以半径；一整圈 $= 2\pi$ 弧度 |
| 正切即斜率（标准位置） | $\tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ | 过$(x,y)$的终边的斜率；当$x = 0$时无定义 |

## 下一步

本主题是AP预备微积分所有后续三角学内容的基础。接下来，你会通过单位圆将正弦、余弦、正切的直角三角形定义扩展到所有实数角度，从而可以处理大于$90^\circ$的角、负角，并用三角函数建模周期现象。如果不掌握直角三角形SOHCAHTOA，你会很难将单位圆坐标和三角值关联起来，也很难解决需要计算边长和角度的应用三角题。本主题也是正弦定理、余弦定理（用于解非直角三角形）和极坐标（正弦余弦用于极坐标和直角坐标转换）的直接基础。

- [反三角函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-inverse-trigonometric-functions/)
- [正弦与余弦函数值（单位圆）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-sine-and-cosine-function-values/)
- [正弦与余弦函数图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-sine-and-cosine-function-graphs/)

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