正弦与余弦函数值（单位圆）

AP 预备微积分· AP 预备微积分课程与考试说明（CED）—— 三角函数与极坐标函数· 14 分钟阅读

1. 正弦与余弦的单位圆定义★★☆☆☆⏱ 3 min

🚫 计算器禁用

单位圆定义将直角三角学从锐角拓展到所有实数角，是AP预备微积分考试考察的所有三角概念的基础。单位圆以原点为圆心，半径为1，满足方程：

x^2 + y^2 = 1

单位圆上的角遵循标准位置约定：从正x轴开始测量，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。对于任意角 $θ$ ，其终边与单位圆相交于点 $P (x, y)$ 。根据定义：

📘 定义

单位圆下的正弦与余弦

$cos θ, sin θ$

对于 $θ$ 的终边与单位圆的交点 $(x, y)$ ，有 $cos θ = x$ （即x坐标）， $sin θ = y$ （即y坐标）。该定义对所有实数角都成立。

例:

这与锐角的直角三角形定义一致：对于长度为1的斜边， $cos θ = \frac{邻边}{斜边} = x$ ， $sin θ = \frac{对边}{斜边} = y$ 。

📐 例题

写出 $θ = \frac{7 π}{6}$ 的终边与单位圆交点的坐标，然后给出 $cos (\frac{7 π}{6})$ 和 $sin (\frac{7 π}{6})$ 的值。

1
首先，确定象限： $\frac{7 π}{6}$ 在 $π$ 和 $\frac{3 π}{2}$ 之间，因此位于第三象限，第三象限中x和y坐标均为负数。
2
计算参考角，即终边与x轴之间的锐角：
3
$\frac{7\pi}{6} - \pi = \frac{\pi}{6}$
4
对于第一象限的 $\frac{π}{6}$ ，已知单位圆交点为：
5
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$
6
应用第三象限符号规则得到最终交点：
7
$\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)$
8
根据单位圆定义， $cos θ = x$ ， $sin θ = y$ ，因此最终值为：
9
$\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$

Exam tip:

做选择题时，你通常可以在计算大小之前，仅根据象限判断正弦和余弦的符号，就能立即排除两个错误选项。

2. 参考角与精确值求解★★★☆☆⏱ 4 min

🚫 计算器禁用

参考角是任意角的终边与x轴形成的锐角，取值范围始终在 $0$ 到 $\frac{π}{2}$ 之间。由于单位圆的对称性，任意角的正弦和余弦的绝对值等于其参考角的正弦和余弦值。仅符号会根据角所在的象限变化。

要求任意角的正弦或余弦精确值，请遵循以下步骤：

如果角为负或大于 $2 π$ ，通过加减 $2 π$ 的整数倍，找到一个介于 $0$ 和 $2 π$ 之间的共终边角。
确定共终边角所在的象限，得到最终值的正确符号。
使用象限规则计算参考角 $α$ ：第一象限： $α = θ$ ；第二象限： $α = π - θ$ ；第三象限： $α = θ - π$ ；第四象限： $α = 2 π - θ$ 。
使用已知的 $α$ 的正弦/余弦值，并应用步骤2得到的正确符号。

📐 例题

求 $sin (- \frac{7 π}{4})$ 的精确值。

1
给负角加上 $2 π = \frac{8 π}{4}$ ，得到一个介于 $0$ 和 $2 π$ 之间的正共终边角：
2
$-\frac{7\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$
3
$\frac{π}{4}$ 位于第一象限，第一象限中正弦（即y坐标）为正。
4
第一象限角的参考角就是其本身，因此 $α = \frac{π}{4}$ 。我们已知 $sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}$ ，因此最终值为：
5
$\sin\left(-\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Exam tip:

始终立即将弧度分数化简为最简形式。例如，立即将 $\frac{10 π}{8}$ 改写为 $\frac{5 π}{4}$ ，避免数错象限或误判特殊角。

3. 使用勾股恒等式求未知值★★★☆☆⏱ 3 min

🚫 计算器禁用

正弦和余弦的勾股恒等式直接由单位圆方程推导得出。由于 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，且 $x = cos θ$ ， $y = sin θ$ ，因此我们得到对所有实数角 $θ$ 都成立的恒等式：

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

该恒等式是考试中常用的工具，当你已知另一个值和 $θ$ 所在象限时，可以用来求未知的正弦或余弦值。解出平方值后的关键步骤是根据象限选择正确的符号，因为开平方会得到正负两个解。

📐 例题

已知 $cos θ = \frac{2}{3}$ ，且 $θ$ 位于第四象限，求 $sin θ$ 。

1
将已知的 $cos θ$ 代入勾股恒等式：
2
$\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \sin^2\theta = 1$
3
化简并求解 $sin^{2} θ$ ：
4
$\frac{4}{9} + \sin^2\theta = 1 \implies \sin^2\theta = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$
5
对两边开平方得到两个可能的解：
6
$\sin\theta = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$
7
$θ$ 位于第四象限，该象限中y坐标（因此 $sin θ$ ）为负，因此最终解为：
8
$\sin\theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

Exam tip:

开平方时不要省略写 $\pm$ 。明确写出符号选项会提醒你根据象限选择正确符号，这是这类题型最容易丢分的点。

4. AP风格练习例题★★★★☆⏱ 4 min

✓ 计算器

📐 例题

下列哪个选项等于 $sin (\frac{17 π}{4})$ ?
A) $\frac{2}{2}$
B) $- \frac{2}{2}$
C) $\frac{1}{2}$
D) $- \frac{1}{2}$

1
减去 $2 \cdot 2 π = \frac{16 π}{4}$ ，得到一个介于 $0$ 和 $2 π = \frac{8 π}{4}$ 之间的共终边角：
2
$\frac{17\pi}{4} - \frac{16\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$
3
$\frac{π}{4}$ 位于第一象限，第一象限中正弦为正。 $sin (\frac{π}{4})$ 的精确值为 $\frac{2}{2}$ ，因此正确答案是A。

📐 例题

已知角 $θ$ 的终边经过坐标平面上的点 $(- 2, 3)$ 。
(a) 求原点到该点的长度 $r$ 。
(b) $cos θ$ 和 $sin θ$ 的精确值分别是多少？
(c) 如果 $ϕ$ 与 $θ$ 共终边，且 $0 \leq ϕ < 2 π$ ，那么 $ϕ$ 位于哪个象限， $ϕ$ 的参考角是多少？

1
Part (a): Use the distance formula from the origin:
2
$r = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}}$
3
Part (b): For any point $(x, y)$ at distance $r$ from the origin, the unit circle intersection is $(\frac{x}{r}, \frac{y}{r})$ , so:
4
$\cos\theta = \frac{-2}{\sqrt{13}} = -\frac{2\sqrt{13}}{13}, \quad \sin\theta = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13}$
5
Part (c): The x-coordinate is negative and the y-coordinate is positive, so $ϕ$ is in Quadrant II. For a Quadrant II angle, the reference angle is $α = π - ϕ$ , so:
6
$\alpha = \pi - \arccos\left(\frac{2\sqrt{13}}{13}\right)$

📐 例题

一个半径为10米的摩天轮，其中心距离地面15米。一名乘客从3点钟位置（与中心同高，在中心右侧）开始出发。摩天轮逆时针旋转210度。旋转后乘客距离地面的高度是多少？结果保留到十分位米。

1
首先将210度转换为弧度：
2
$210^\circ = \frac{7\pi}{6} \text{ radians}$
3
乘客相对于摩天轮中心的竖直位置为 $r sin θ$ ，其中 $r = 10$ 米。根据单位圆值：
4
$\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$
5
计算相对竖直位置，再加上中心距离地面的高度：
6
$10 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -5 \implies 15 + (-5) = 10.0$
7
旋转后乘客的高度为10.0米。

5. 常见陷阱

错误做法:

不管象限，求出大小后直接保留正号，例如得到 $cos (\frac{5 π}{4}) = \frac{2}{2}$ ，而非 $- \frac{2}{2}$

原因:

学生记住特殊角的值后就停止，忘记应用象限符号规则。

正确做法:

求出大小后，明确写出象限，分配正确符号，再写出最终答案。

错误做法:

错误应用第四象限的参考角公式，误用第三象限规则，例如将 $\frac{5 π}{3}$ 的参考角计算为 $\frac{5 π}{3} - π = \frac{2 π}{3}$ ，而非正确的 $\frac{π}{3}$

原因:

学生混淆了第三象限和第四象限的减法顺序。

正确做法:

对于 $[0, 2 π)$ 内的任意共终边角，先写下它所在的象限，再使用对应象限的参考角公式。

错误做法:

用已知值的符号推断未知值的符号，例如如果 $cos θ$ 为正就假设 $sin θ$ 也为正

原因:

学生忘记正弦和余弦在第二和第四象限符号相反。

正确做法:

始终仅根据给定的 $θ$ 象限分配未知函数的符号，而非已知函数的符号。

错误做法:

没有先找到区间内的共终边角，就直接计算 $[0, 2 π)$ 外的角的参考角

原因:

学生尝试直接对大角或负角减去 $π$ ，导致参考角计算错误。

正确做法:

对于任何 $[0, 2 π)$ 外的角，先加减 $2 π$ 的倍数，得到正确区间内的共终边角，再计算参考角。

错误做法:

混淆正弦和余弦，对于单位圆上的点 $(x, y)$ ，写出 $sin θ = x$ 和 $cos θ = y$

原因:

学生记忆定义时记错了顺序。

正确做法:

Use the mnemonic 'cos(x), sin(y)' to always recall that cosine maps to the x-coordinate and sine maps to the y-coordinate.

6. 速查表

分类	公式/规则	注释
单位圆定义	$cos θ = x, sin θ = y$	$(x, y)$ = 终边与单位圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的交点，逆时针旋转为正角
勾股恒等式	$cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$	对所有实数角成立，直接由单位圆方程推导得出
共终边角	$θ \pm 2 π k, k \in Z$	所有共终边角的正弦和余弦值都相同
参考角（第一象限）	$α = θ$	$0 < θ < π /2$ , $∣ sin θ ∣ = sin α, ∣ cos θ ∣ = cos α$
参考角（第二象限）	$α = π - θ$	$π /2 < θ < π$ , $∣ sin θ ∣ = sin α, ∣ cos θ ∣ = cos α$
参考角（第三象限）	$α = θ - π$	$π < θ < 3 π /2$ , $∣ sin θ ∣ = sin α, ∣ cos θ ∣ = cos α$
参考角（第四象限）	$α = 2 π - θ$	$3 π /2 < θ < 2 π$ , $∣ sin θ ∣ = sin α, ∣ cos θ ∣ = cos α$
象限符号助记口诀	All Students Take Calculus	第一象限：全正，第二象限：正弦正，第三象限：正切正，第四象限：余弦正

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · AP Precalculus
选择题：求负角的正弦值
2023 · AP Precalculus
自由作答题：求未知余弦值

下一步

本主题是AP预备微积分第三单元中所有剩余三角和极坐标主题的基础构建块。接下来，你将使用单位圆的正弦和余弦值绘制正弦和余弦函数的图像，确定它们的振幅、周期和相位偏移，并对周期性现实世界现象（如季节温度变化或潮汐运动）建模。如果不掌握精确的单位圆值和符号规则，你将无法正确计算关键点的三角函数值，无法找到三角函数图像的截距和极值，也无法在本单元后续内容中进行直角坐标和极坐标之间的转换。本主题也是后续三角恒等式和反三角函数学习的基础，这些内容在AP预备微积分考试中占比很大。