# 正弦与余弦函数值（单位圆）

> AP 预备微积分 · 三角函数与极坐标函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-sine-and-cosine-function-values/

本教程涵盖正弦和余弦的单位圆定义、参考角计算、象限符号规则、求特殊角的精确值，以及使用勾股恒等式求解未知三角函数值。

**先修:** 弧度与角度的相互转换; 坐标平面内的点描点; 基础直角三角形三角学

## 学习目标

- 用单位圆定义法定义正弦和余弦
- 利用参考角求特殊角的精确正弦和余弦值
- 运用勾股恒等式求未知三角函数值
- 应用象限符号规则得到正确的最终值

## 正弦与余弦的单位圆定义

单位圆定义将直角三角学从锐角拓展到所有实数角，是AP预备微积分考试考察的所有三角概念的基础。单位圆以原点为圆心，半径为1，满足方程：

$$x^2 + y^2 = 1$$

单位圆上的角遵循标准位置约定：从正x轴开始测量，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。对于任意角$\theta$，其终边与单位圆相交于点$P(x,y)$。根据定义：

**单位圆下的正弦与余弦** — 对于$\theta$的终边与单位圆的交点$(x,y)$，有$\cos\theta = x$（即x坐标），$\sin\theta = y$（即y坐标）。该定义对所有实数角都成立。

*记法:* $\cos\theta, \sin\theta$

*例:* 这与锐角的直角三角形定义一致：对于长度为1的斜边，$\cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = x$，$\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = y$。

> **mnemonic**
>
> "cos(x), sin(y)" — 记住余弦对应x坐标，正弦对应y坐标，避免将二者弄混。

**例题:** 写出$\theta = \frac{7\pi}{6}$的终边与单位圆交点的坐标，然后给出$\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)$和$\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)$的值。

1. 首先，确定象限：$\frac{7\pi}{6}$在$\pi$和$\frac{3\pi}{2}$之间，因此位于第三象限，第三象限中x和y坐标均为负数。
2. 计算参考角，即终边与x轴之间的锐角：
3. $$\frac{7\pi}{6} - \pi = \frac{\pi}{6}$$
4. 对于第一象限的$\frac{\pi}{6}$，已知单位圆交点为：
5. $$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$$
6. 应用第三象限符号规则得到最终交点：
7. $$\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)$$
8. 根据单位圆定义，$\cos\theta = x$，$\sin\theta = y$，因此最终值为：
9. $$\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$$

> **考试提示:** 做选择题时，你通常可以在计算大小之前，仅根据象限判断正弦和余弦的符号，就能立即排除两个错误选项。

*计算器:* forbidden

## 参考角与精确值求解

参考角是任意角的终边与x轴形成的锐角，取值范围始终在$0$到$\frac{\pi}{2}$之间。由于单位圆的对称性，任意角的正弦和余弦的绝对值等于其参考角的正弦和余弦值。仅符号会根据角所在的象限变化。

要求任意角的正弦或余弦精确值，请遵循以下步骤：

1. 如果角为负或大于$2\pi$，通过加减$2\pi$的整数倍，找到一个介于$0$和$2\pi$之间的共终边角。
2. 确定共终边角所在的象限，得到最终值的正确符号。
3. 使用象限规则计算参考角$\alpha$：第一象限：$\alpha = \theta$；第二象限：$\alpha = \pi - \theta$；第三象限：$\alpha = \theta - \pi$；第四象限：$\alpha = 2\pi - \theta$。
4. 使用已知的$\alpha$的正弦/余弦值，并应用步骤2得到的正确符号。

**例题:** 求$\sin\left(-\frac{7\pi}{4}\right)$的精确值。

1. 给负角加上$2\pi = \frac{8\pi}{4}$，得到一个介于$0$和$2\pi$之间的正共终边角：
2. $$-\frac{7\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$$
3. $\frac{\pi}{4}$位于第一象限，第一象限中正弦（即y坐标）为正。
4. 第一象限角的参考角就是其本身，因此$\alpha = \frac{\pi}{4}$。我们已知$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$，因此最终值为：
5. $$\sin\left(-\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

> **考试提示:** 始终立即将弧度分数化简为最简形式。例如，立即将$\frac{10\pi}{8}$改写为$\frac{5\pi}{4}$，避免数错象限或误判特殊角。

*计算器:* forbidden

## 使用勾股恒等式求未知值

正弦和余弦的勾股恒等式直接由单位圆方程推导得出。由于$x^2 + y^2 = 1$，且$x = \cos\theta$，$y = \sin\theta$，因此我们得到对所有实数角$\theta$都成立的恒等式：

$$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$$

该恒等式是考试中常用的工具，当你已知另一个值和$\theta$所在象限时，可以用来求未知的正弦或余弦值。解出平方值后的关键步骤是根据象限选择正确的符号，因为开平方会得到正负两个解。

**例题:** 已知$\cos\theta = \frac{2}{3}$，且$\theta$位于第四象限，求$\sin\theta$。

1. 将已知的$\cos\theta$代入勾股恒等式：
2. $$\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \sin^2\theta = 1$$
3. 化简并求解$\sin^2\theta$：
4. $$\frac{4}{9} + \sin^2\theta = 1 \implies \sin^2\theta = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$
5. 对两边开平方得到两个可能的解：
6. $$\sin\theta = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$$
7. $\theta$位于第四象限，该象限中y坐标（因此$\sin\theta$）为负，因此最终解为：
8. $$\sin\theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}$$

> **考试提示:** 开平方时不要省略写$\pm$。明确写出符号选项会提醒你根据象限选择正确符号，这是这类题型最容易丢分的点。

*计算器:* forbidden

## AP风格练习例题

**例题:** 下列哪个选项等于$\sin\left(\frac{17\pi}{4}\right)$?<br>A) $\frac{\sqrt{2}}{2}$<br>B) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br>C) $\frac{1}{2}$<br>D) $-\frac{1}{2}$

1. 减去$2 \cdot 2\pi = \frac{16\pi}{4}$，得到一个介于$0$和$2\pi = \frac{8\pi}{4}$之间的共终边角：
2. $$\frac{17\pi}{4} - \frac{16\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$$
3. $\frac{\pi}{4}$位于第一象限，第一象限中正弦为正。$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$的精确值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此正确答案是A。

**例题:** 已知角$\theta$的终边经过坐标平面上的点$(-2, 3)$。<br>(a) 求原点到该点的长度$r$。<br>(b) $\cos\theta$和$\sin\theta$的精确值分别是多少？<br>(c) 如果$\phi$与$\theta$共终边，且$0 \leq \phi < 2\pi$，那么$\phi$位于哪个象限，$\phi$的参考角是多少？

1. Part (a): Use the distance formula from the origin:
2. $$r = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}}$$
3. Part (b): For any point $(x,y)$ at distance $r$ from the origin, the unit circle intersection is $\left(\frac{x}{r}, \frac{y}{r}\right)$, so:
4. $$\cos\theta = \frac{-2}{\sqrt{13}} = -\frac{2\sqrt{13}}{13}, \quad \sin\theta = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13}$$
5. Part (c): The x-coordinate is negative and the y-coordinate is positive, so $\phi$ is in Quadrant II. For a Quadrant II angle, the reference angle is $\alpha = \pi - \phi$, so:
6. $$\alpha = \pi - \arccos\left(\frac{2\sqrt{13}}{13}\right)$$

**例题:** 一个半径为10米的摩天轮，其中心距离地面15米。一名乘客从3点钟位置（与中心同高，在中心右侧）开始出发。摩天轮逆时针旋转210度。旋转后乘客距离地面的高度是多少？结果保留到十分位米。

1. 首先将210度转换为弧度：
2. $$210^\circ = \frac{7\pi}{6} \text{ radians}$$
3. 乘客相对于摩天轮中心的竖直位置为$r\sin\theta$，其中$r = 10$米。根据单位圆值：
4. $$\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$$
5. 计算相对竖直位置，再加上中心距离地面的高度：
6. $$10 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -5 \implies 15 + (-5) = 10.0$$
7. 旋转后乘客的高度为10.0米。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 不管象限，求出大小后直接保留正号，例如得到$\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$，而非$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
  - 原因: 学生记住特殊角的值后就停止，忘记应用象限符号规则。
  - 正确做法: 求出大小后，明确写出象限，分配正确符号，再写出最终答案。
- **错误做法:** 错误应用第四象限的参考角公式，误用第三象限规则，例如将$\frac{5\pi}{3}$的参考角计算为$\frac{5\pi}{3} - \pi = \frac{2\pi}{3}$，而非正确的$\frac{\pi}{3}$
  - 原因: 学生混淆了第三象限和第四象限的减法顺序。
  - 正确做法: 对于$[0, 2\pi)$内的任意共终边角，先写下它所在的象限，再使用对应象限的参考角公式。
- **错误做法:** 用已知值的符号推断未知值的符号，例如如果$\cos\theta$为正就假设$\sin\theta$也为正
  - 原因: 学生忘记正弦和余弦在第二和第四象限符号相反。
  - 正确做法: 始终仅根据给定的$\theta$象限分配未知函数的符号，而非已知函数的符号。
- **错误做法:** 没有先找到区间内的共终边角，就直接计算$[0, 2\pi)$外的角的参考角
  - 原因: 学生尝试直接对大角或负角减去$\pi$，导致参考角计算错误。
  - 正确做法: 对于任何$[0, 2\pi)$外的角，先加减$2\pi$的倍数，得到正确区间内的共终边角，再计算参考角。
- **错误做法:** 混淆正弦和余弦，对于单位圆上的点$(x,y)$，写出$\sin\theta = x$和$\cos\theta = y$
  - 原因: 学生记忆定义时记错了顺序。
  - 正确做法: Use the mnemonic 'cos(x), sin(y)' to always recall that cosine maps to the x-coordinate and sine maps to the y-coordinate.

## 速查表

| 分类 | 公式/规则 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 单位圆定义 | $\cos\theta = x, \sin\theta = y$ | $(x,y)$ = 终边与单位圆$x^2+y^2=1$的交点，逆时针旋转为正角 |
| 勾股恒等式 | $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ | 对所有实数角成立，直接由单位圆方程推导得出 |
| 共终边角 | $\theta \pm 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ | 所有共终边角的正弦和余弦值都相同 |
| 参考角（第一象限） | $\alpha = \theta$ | $0 < \theta < \pi/2$, $\|\sin\theta\| = \sin\alpha, \|\cos\theta\| = \cos\alpha$ |
| 参考角（第二象限） | $\alpha = \pi - \theta$ | $\pi/2 < \theta < \pi$, $\|\sin\theta\| = \sin\alpha, \|\cos\theta\| = \cos\alpha$ |
| 参考角（第三象限） | $\alpha = \theta - \pi$ | $\pi < \theta < 3\pi/2$, $\|\sin\theta\| = \sin\alpha, \|\cos\theta\| = \cos\alpha$ |
| 参考角（第四象限） | $\alpha = 2\pi - \theta$ | $3\pi/2 < \theta < 2\pi$, $\|\sin\theta\| = \sin\alpha, \|\cos\theta\| = \cos\alpha$ |
| 象限符号助记口诀 | All Students Take Calculus | 第一象限：全正，第二象限：正弦正，第三象限：正切正，第四象限：余弦正 |

## 下一步

本主题是AP预备微积分第三单元中所有剩余三角和极坐标主题的基础构建块。接下来，你将使用单位圆的正弦和余弦值绘制正弦和余弦函数的图像，确定它们的振幅、周期和相位偏移，并对周期性现实世界现象（如季节温度变化或潮汐运动）建模。如果不掌握精确的单位圆值和符号规则，你将无法正确计算关键点的三角函数值，无法找到三角函数图像的截距和极值，也无法在本单元后续内容中进行直角坐标和极坐标之间的转换。本主题也是后续三角恒等式和反三角函数学习的基础，这些内容在AP预备微积分考试中占比很大。

- [勾股与倒数三角恒等式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-trigonometric-identities/)
- [反正弦与反余弦函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-inverse-trigonometric-functions/)
- [正弦与余弦函数图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-sine-and-cosine-function-graphs/)

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