# 正弦与余弦函数图像

> AP 预备微积分 · 三角函数与极坐标函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-sine-and-cosine-function-graphs/

本模块涵盖AP预备微积分中原正弦和余弦图像的核心性质、正弦函数的变换、关键图像特征，以及根据图像或参数构造正弦函数的方法。

**先修:** 单位圆上的正弦和余弦定义; 基本函数变换规则; 线性方程求解

## 学习目标

- 识别原正弦和余弦图像的关键特征
- 计算变换后正弦曲线的振幅、周期、相位偏移和中线
- 根据图像或给定特征构造正弦函数
- 避免处理正弦曲线图像时的常见考试误区

## 原正弦与余弦图像的关键特征

未变换的（原）正弦和余弦函数是$y = \sin x$和$y = \cos x$，其中$x$以弧度为单位，除非另有明确说明，这是AP预备微积分的标准约定。两个函数具有共同核心性质：定义域为全体实数$(-\infty, \infty)$，值域为$[-1, 1]$，基本周期为$2\pi$，即一个完整振荡周期在长度为$2\pi$的区间上完成。

对于原正弦函数$y = \sin x$：y轴截距为$(0,0)$，x截距出现在所有$x = k\pi$（$k$为任意整数）处，最大值1出现在$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$，最小值-1出现在$x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$。它是奇函数，关于原点对称。对于原余弦函数$y = \cos x$：y轴截距为$(0,1)$，x截距出现在$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k$为任意整数）处，最大值1出现在$x = 2k\pi$，最小值-1出现在$x = \pi + 2k\pi$。它是偶函数，关于y轴对称。

这些图像的凹凸性也遵循固定的模式。按照第1单元的定义，每条曲线在其最大值点附近的弧段上凹下——此处变化率递减——在其最小值点附近的弧段上凹上——此处变化率递增。凹凸性在每次穿过中线时切换（即原函数图像的x截距处），因此每个完整周期都包含波峰上方的一段凹下弧和波谷下方的一段凹上弧。

**例题:** 找出$y = \cos x$在区间$[-3\pi, 3\pi]$上的所有最大值点。

1. 记住对于原余弦函数，最大值出现在$x = 2k\pi$（所有整数$k$），此时函数等于最大值1。
2. 找出所有满足$-3\pi \leq 2k\pi \leq 3\pi$的整数$k$，化简得：
3. $$-1.5 \leq k \leq 1.5$$
4. 满足条件的整数$k$是$k = -1, 0, 1$。
5. 代回得到最大值点：
6. $$(-2\pi, 1), (0, 1), (2\pi, 1)$$

> **考试提示:** 始终确认你的解落在题目指定区间内——AP考题经常考察你将解限制在给定定义域的能力，只有区间内的解才能获得全分。

## 正弦函数的变换

任意平移、拉伸或反射后的正弦/余弦图像都可以写成标准一般形式：

$$f(x) = A\sin\left(B(x - C)\right) + D \quad \text{or} \quad f(x) = A\cos\left(B(x - C)\right) + D$$

- $|A|$ = **振幅**：图像中线（图像的中心线）到任意最大值或最小值的垂直距离。如果$A < 0$，图像会关于中线反射。
- 周期 = $\frac{2\pi}{|B|}$：图像一个完整周期的长度。$|B|$越大，图像水平压缩越厉害，周期越短（振荡越快）。$B$的符号仅使图像水平反射，不改变周期。
- $C$ = **相位偏移**：图像的水平平移。如果$C > 0$，图像向右平移$C$个单位；如果$C < 0$，向左平移$C$个单位。
- $D$ = **垂直平移**：图像的中线是水平线$y = D$。

> **warning**
>
> 如果函数给出的形式是$\sin(Bx - C)$（未因式分解），你必须提取$B$才能得到正确的相位偏移：$\sin(Bx - C) = \sin\left(B\left(x - \frac{C}{B}\right)\right)$，因此相位偏移是$\frac{C}{B}$，不是$C$。

**例题:** 已知$f(x) = 3\sin\left(4x - \pi\right) - 1$，求振幅、周期、相位偏移和中线。

1. 从自变量中提取$B = 4$：$4x - \pi = 4\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$，因此函数变为：
2. $$f(x) = 3\sin\left(4\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) - 1$$
3. 振幅为$|A| = |3| = 3$。
4. 周期计算如下：
5. $$\frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$
6. 相位偏移为向右$\frac{\pi}{4}$个单位，因为$C = \frac{\pi}{4} > 0$。
7. 中线为$y = D = -1$，也就是相对于原函数中线向下平移1个单位。

> **考试提示:** 如果你对相位偏移的计算不确定，可以将偏移后的起点代入函数，验证它是否符合原函数的预期输出。

## 根据特征或图像构造正弦函数

AP预备微积分经常要求你根据给定的图像或关键特征写出正弦函数的方程。遵循这个一致的分步方法求解$A, B, C, D$：

1. 求$D$（中线/垂直平移）：$D = \frac{\text{最大值} + \text{最小值}}{2}$
2. 求$|A|$（振幅）：$|A| = \text{最大值} - D = D - \text{最小值}$
3. 求周期：测量两个连续相同点（例如两个连续最大值）之间的水平距离，然后计算$B = \frac{2\pi}{\text{周期}}$
4. 求$C$（相位偏移）：选择以正弦或余弦为基底简化计算。如果最大值/最小值在$x=0$处，使用$C=0$的余弦函数可以避免额外计算。如果斜率为正的中线点在$x=0$处，使用$C=0$的正弦函数。

**例题:** 某个正弦函数在$(0, -2)$处有最小值，下一个最大值在$(2, 4)$处。写出符合该图像的标准形式余弦函数。

1. 计算$D$（中线）：
2. $$D = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$
3. 计算振幅：最小值在$y=-2$，因此$|A| = D - (-2) = 3$。由于$x=0$处是最小值（不是最大值），因此$A$为负：$A = -3$。
4. 计算周期：最小值到下一个最大值的水平距离是半个周期，因此半周期 = $2 - 0 = 2$，全周期 = $4$。然后：
5. $$B = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$
6. $A\cos(B(x-C)) + D$的最小值在$x=0 = C$，因此$C = 0$。
7. 最终函数验证：$f(0) = -2$（正确最小值），$f(2) = 4$（正确最大值）：
8. $$f(x) = -3\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 1$$

> **考试提示:** 任意正弦函数都可以写成平移后的正弦或余弦形式——只要符合给定特征，两种都是正确的，但选择能让$C$简化为0的形式可以减少符号错误的概率。

## AP风格练习例题

**概念自测**

测试你对关键变换规则的理解：

1. 下列哪个选项给出了函数$f(x) = -5\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right) + 2$的振幅和周期？

   - 振幅 5, 周期 $\frac{\pi}{4}$
   - 振幅 5, 周期 8
   - 振幅 5, 周期 4
   - 振幅 $-5$, 周期 8

   *答案:* 振幅 5, 周期 8

   *解析:* 振幅始终是$A$的绝对值，因此振幅为5。周期 = $\frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{\pi/4} = 8$，与该选项一致。

**例题:** 设$f(x) = A\cos\left(B(x - C)\right) + D$是一个正弦函数，最大值为10，最小值为2，周期为$6\pi$。(a) 求$A$（已知$A>0$）和中线$D$。(b) 如果$f(x)$在$x = \frac{3\pi}{2}$处有最小值，求$C$。(c) 写出最终方程。

1. (a) 计算中线和振幅：
2. $$D = \frac{10 + 2}{2} = 6, \quad A = 10 - 6 = 4$$
3. (b) 计算$B = \frac{2\pi}{6\pi} = \frac{1}{3}$。余弦函数的最小值出现在$B(x-C) = \pi$。代入数值：
4. $$\frac{1}{3}\left(\frac{3\pi}{2} - C\right) = \pi \implies C = -\frac{3\pi}{2}$$
5. (c) 最终方程：
6. $$f(x) = 4\cos\left(\frac{1}{3}\left(x + \frac{3\pi}{2}\right)\right) + 6$$

**例题:** 某城市月平均气温呈正弦变化，$t=0$对应一月（最冷月份）。一月最低气温为40°F，七月最高气温为84°F。写出$T(t)$并求四月（$t=3$）的气温。

1. 使用$C=0$的负余弦函数（最小值在$t=0$）。周期为12个月。计算中线和振幅：
2. $$D = \frac{40 + 84}{2} = 62, \quad A = -22, \quad B = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$$
3. 代入$t=3$得到四月气温：
4. $$T(3) = -22\cos\left(\frac{\pi}{6} \cdot 3\right) + 62 = -22\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 62 = 62^\circ F$$

## 常见错误

- **错误做法:** 对于$f(x) = \sin(2x - \pi)$，将相位偏移读为向右$\pi$个单位。
  - 原因: 学生忘记从自变量中提取水平缩放因子$B$，混淆了形式$(Bx - C)$和$B(x - C)$。
  - 正确做法: 始终先从自变量中提取$B$：$2x - \pi = 2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$，因此相位偏移是向右$\frac{\pi}{2}$个单位。
- **错误做法:** 将周期计算为$\frac{|B|}{2\pi}$而不是$\frac{2\pi}{|B|}$。
  - 原因: 学生混淆了$B$和周期的反比关系——$B$越大周期越短，但倒数会颠倒这个关系。
  - 正确做法: 计算周期后验证：如果$|B| > 1$，周期应该小于$2\pi$；如果$|B| < 1$，周期应该大于$2\pi$，以此确认。
- **错误做法:** 当$A < 0$时声称振幅为负。
  - 原因: 学生混淆了$A$的符号（表示反射）和振幅，振幅是距离，始终非负。
  - 正确做法: 振幅始终表示为$|A|$；如果题目要求说明变换，单独注明反射即可。
- **错误做法:** 从图像读取周期时，将最大值到下一个最小值的距离当作全周期。
  - 原因: 最大值和最小值之间相隔半个周期，不是一个完整周期。
  - 正确做法: 始终测量两个连续相同点（最大值到最大值，最小值到最小值）之间的距离得到全周期。
- **错误做法:** 构造方程时将$D$设为最大值。
  - 原因: 学生在垂直平移的图像中，混淆了垂直平移和最大值。
  - 正确做法: 始终将$D$计算为最大值和最小值的平均值得到中线。
- **错误做法:** 未指定单位时使用度数计算周期。
  - 原因: 入门课程经常混合度数和弧度绘图，但AP预备微积分默认所有未指定情况使用弧度。
  - 正确做法: 除非题目明确要求使用度数，否则所有周期和相位偏移计算都使用弧度。

## 速查表

| 类别 | 公式/数值 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 一般标准形式（正弦） | $f(x) = A\sin\left(B(x - C)\right) + D$ | 必须提取$B$才能正确读出$C$ |
| 一般标准形式（余弦） | $f(x) = A\cos\left(B(x - C)\right) + D$ | 和正弦有相同的因式分解要求 |
| 振幅 | $\|A\|$ | 始终非负；负$A$ = 关于中线反射 |
| 周期（弧度，标准） | $\frac{2\pi}{\|B\|}$ | 仅当明确指定度数时调整为$\frac{360^\circ}{\|B\|}$ |
| 相位偏移 | $C$个单位 | $C>0$向右，$C<0$向左 |
| 中线（垂直平移） | $y = D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ | 正弦曲线的中心线 |
| 原正弦x截距 | $x = k\pi, \ k \in \mathbb{Z}$ | 对所有实输入成立 |
| 原余弦x截距 | $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \ k \in \mathbb{Z}$ | 对所有实输入成立 |
| 原正弦极值 | 最大值在$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$，最小值在$x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$ | $k \in \mathbb{Z}$ |
| 原余弦极值 | 最大值在$x = 2k\pi$，最小值在$x = \pi + 2k\pi$ | $k \in \mathbb{Z}$ |

## 下一步

掌握正弦和余弦函数的图像是AP预备微积分第3单元后续核心主题必不可少的前提。如果不能快速识别关键特征、变换图像并根据情境写出正弦方程，你会很难在周期建模自由问答题中获得全分，这类题目占第3单元考试分数的很大一部分。本主题还为极坐标绘图奠定了基础，许多常见极坐标曲线都是用角度的正弦函数定义的，同时也为反三角函数奠定了基础，理解正弦和余弦的定义域和值域限制需要熟悉它们的完整图像。通过以下主题继续构建你对三角函数的理解。

- [反三角函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-inverse-trigonometric-functions/)
- [正弦函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-sinusoidal-functions/)
- [正弦函数变换](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-sinusoidal-function-transformations/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-sine-and-cosine-function-graphs/