极坐标函数的变化率

AP 微积分预备课程· AP Precalculus CED — Trigonometric and Polar Functions· 14 分钟阅读

1. 核心概念：推导极坐标斜率公式★★☆☆☆⏱ 3 min

极坐标曲线定义为 $r = f (θ)$ ，其中 $r$ 是到原点的距离， $θ$ 是与x轴正方向的夹角。与直角坐标曲线不同，我们无法直接对 $y$ 关于 $x$ 求导得到切线斜率，因此我们使用参数求导法来得到所需的变化率。

🔬 推导

目标:

推导极坐标曲线 $r = f (θ)$ 的 $\frac{d y}{d x}$ （切线斜率）公式

起点:

极坐标转直角坐标转换公式

1
将 $r = f (θ)$ 代入转换公式，得到以 $θ$ 为参数的参数方程：
2
$x = f(\theta)\cos\theta \quad y = f(\theta)\sin\theta$
3
应用参数导数法则，法则内容如下：
4
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$
5
使用乘积法则对 $y$ 关于 $θ$ 求导：
6
$\frac{dy}{d\theta} = f'(\theta)\sin\theta + f(\theta)\cos\theta = f'(\theta)\sin\theta + r\cos\theta$
7
使用乘积法则对 $x$ 关于 $θ$ 求导：
8
$\frac{dx}{d\theta} = f'(\theta)\cos\theta - f(\theta)\sin\theta = f'(\theta)\cos\theta - r\sin\theta$

结果:

结合以上结果，得到极坐标曲线上任意非奇点处的最终斜率公式：

\frac{dy}{dx} = \frac{f'(\theta)\sin\theta + r\cos\theta}{f'(\theta)\cos\theta - r\sin\theta}

2. 计算给定点处的切线斜率★★☆☆☆⏱ 4 min

要计算特定角度处切线的斜率，应先在给定角度处计算 $f (θ)$ 和 $f^{'} (θ)$ 的值，再代入斜率公式。这样可以避免不必要的代数运算错误。

📐 例题

求 $r = 2 sin θ$ 在 $θ = \frac{π}{3}$ 处切线的斜率。

1
确定 $f (θ)$ 及其导数：
2
$f(\theta) = 2\sin\theta, \quad f'(\theta) = 2\cos\theta$
3
在 $θ = \frac{π}{3}$ 处计算 $r$ 和 $f^{'} (θ)$ 的值：
4
$r = 2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}, \quad f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 1$
5
计算 $\frac{d y}{d x}$ 的分子：
6
$f'(\theta)\sin\theta + r\cos\theta = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$
7
计算 $\frac{d y}{d x}$ 的分母：
8
$f'(\theta)\cos\theta - r\sin\theta = 1 \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -1$
9
做除法得到最终斜率：
10
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$

3. 求解水平切线与垂直切线★★★☆☆⏱ 4 min

水平切线的斜率为 $\frac{d y}{d x} = 0$ ，其出现条件是 $\frac{d y}{d θ} = 0$ 且 $\frac{d x}{d θ} \neq = 0$ （避免出现不确定的 $\frac{0}{0}$ 型）。垂直切线斜率不存在，出现条件是 $\frac{d x}{d θ} = 0$ 且 $\frac{d y}{d θ} \neq = 0$ 。

📐 例题

求 $r = 1 + 2 cos θ$ 在区间 $[0, π)$ 内所有存在水平切线的 $θ$ 值。

1
确定 $f (θ)$ 及其导数：
2
$f(\theta) = 1 + 2\cos\theta, \quad f'(\theta) = -2\sin\theta$
3
令 $\frac{d y}{d θ} = 0$ ，并利用 $sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ 化简：
4
$-2\sin^2\theta + (1 + 2\cos\theta)\cos\theta = 0 \\ 4\cos^2\theta + \cos\theta - 2 = 0$
5
求解关于 $cos θ$ 的二次方程：
6
$\cos\theta = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{8}$
7
两个解都在-1到1之间，因此都是有效的。 $\frac{d x}{d θ} = 0$ 的解与我们的结果不重叠，因此此处不存在不确定点。
8
求解 $θ$ 得到最终结果：

4. 原点与奇点处的切线★★★★☆⏱ 3 min

许多极坐标曲线会在多个不同角度处经过原点，每个角度对应一条不同的切线。若 $f (θ_{0}) = 0$ 且 $f^{'} (θ_{0}) \neq = 0$ ，斜率公式可化简，直接得到原点处的切线。

📐 例题

求三叶玫瑰线 $r = 4 sin 3 θ$ 在原点处所有切线的直角坐标方程。

1
找出所有使 $r = 0$ 的角度：
2
$4\sin3\theta = 0 \implies \theta = \frac{n\pi}{3} \text{ for integer } n$
3
在这些角度处检查 $f^{'} (θ)$ ，确认其不为零：
4
$f'(\theta) = 12\cos3\theta \implies f'\left(\frac{n\pi}{3}\right) = \pm 12 \neq 0$
5
列出 $[0, π)$ 内所有不同角度，即可得到所有过原点的不同直线： $θ = 0$ , $θ = \frac{π}{3}$ , $θ = \frac{2 π}{3}$
6
将每个角度转换为直角坐标切线形式 $y = (tan θ_{0}) x$ ：

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用这道AP风格的选择题测试你的理解：

下列哪一个是 $r = 3 cos θ$ 在 $θ = \frac{π}{4}$ 处切线的斜率？
- $- 3$
- $- 1$
- $0$
- $1$
显示答案
2 —
正确！代入斜率公式后得到分子为0，分母非零，因此斜率为0，对应一条水平切线。

5. 常见陷阱

错误做法:

认为 $\frac{d r}{d θ}$ 就是切线斜率 $\frac{d y}{d x}$

原因:

将半径对角度的变化率与AP考试要求的直角坐标切线斜率混淆

正确做法:

始终记住切线斜率是 $\frac{d y}{d x}$ ，因此要使用由参数转换推导得到的极坐标斜率公式，而非 $\frac{d r}{d θ}$

错误做法:

交换分子和分母，写成 $\frac{d y}{d x} = \frac{d x / d θ}{d y / d θ}$

原因:

常见的粗心错误，混淆了参数求导的顺序

正确做法:

记住顺序与记号一致： $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d θ}{d x / d θ}$ ，y的导数在分子位置

错误做法:

只要 $\frac{d y}{d θ} = 0$ 就认为存在水平切线，即使 $\frac{d x}{d θ}$ 也为零

原因:

忘记 $\frac{0}{0}$ 是不确定型，不是零

正确做法:

求解后一定要检查另一个导数：水平切线要确认 $\frac{d x}{d θ} \neq = 0$ ，垂直切线要确认 $\frac{d y}{d θ} \neq = 0$

错误做法:

对 $x = r cos θ$ 和 $y = r sin θ$ 求导时将r视为常数

原因:

忘记r是 $θ$ 的函数，不是固定值

正确做法:

求导前一定要先代入 $r = f (θ)$ ，这样你就会记得使用乘积法则

错误做法:

即使曲线在多个角度经过原点，也只列出一条原点处的切线

原因:

忘记原点可以写成任意角度的 $(0, θ)$ ，因此可能存在多条不同的切线

正确做法:

一定要找出 $f (θ) = 0$ 在 $[0, π)$ 内的所有解，才能得到原点处所有不同的切线

6. 速查表

类别	公式 / 法则	注释
极坐标转参数形式	$x = f (θ) cos θ$ , $y = f (θ) sin θ$	适用于任意极坐标函数 $r = f (θ)$
切线斜率 $\frac{d y}{d x}$	$\frac{f ^{'} ( θ ) sin θ + r cos θ}{f ^{'} ( θ ) cos θ - r sin θ}$	适用于所有非奇点
水平切线条件	$\frac{d y}{d θ} = 0$ , $\frac{d x}{d θ} \neq = 0$	水平切线的斜率为0
垂直切线条件	$\frac{d x}{d θ} = 0$ , $\frac{d y}{d θ} \neq = 0$	垂直切线斜率不存在
原点处切线	若 $f (θ_{0}) = 0$ , $f^{'} (θ_{0}) \neq = 0$ , 切线为 $y = (tan θ_{0}) x$	若 $f^{'} (θ_{0}) = 0$ 则不适用
不确定奇点	计算 $θ \to θ_{0} lim \frac{d y}{d x}$	两个导数都为零时需要使用该方法
核心参数法则	$\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d θ}{d x / d θ}$	用于推导所有极坐标变化率公式

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

本主题建立在你对参数求导和极坐标的理解之上，是AP微积分预备课程第3单元中进一步分析极坐标曲线的基础。你在这里使用的x、y、r和θ之间的参数关系，会在你求解极坐标曲线围成的面积和极坐标曲线弧长时再次出现，因此掌握这里的乘积法则和转换步骤会帮助你在这些主题中避免错误。这个概念也能加深你对参数化曲线变化率的理解，该内容在选择题和自由作答题部分都占很大分值，同时为你学习AP微积分中的高级曲线分析做好准备。