三角函数的等价表示

AP 微积分预备· AP Precalculus CED — Trigonometric and Polar Functions· 14 分钟阅读

1. 勾股恒等式与化简★★☆☆☆⏱ 3 min

勾股恒等式是改写三角表达式最常用的工具，直接由单位圆方程推导而来。对于单位圆上对应点 $(x, y)$ 的任意角度 $θ$ ，满足 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，代入 $x = cos θ$ 、 $y = sin θ$ 即可得到核心恒等式：

cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1

两边除以 $cos^{2} θ$ （ $cos θ \neq = 0$ 时）得到正切-正割形式： $1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ$ ；两边除以 $sin^{2} θ$ （ $sin θ \neq = 0$ 时）得到余切-余割形式： $1 + cot^{2} θ = csc^{2} θ$ 。这些恒等式可用于替换二次项、约去公因子，化简为单个基本三角项。

📘 定义

等价三角表示

在共同定义域内的所有输入都产生相同输出值的不同代数表达式。等价要求定义域匹配，而不只是在两者都有定义的位置输出匹配。

例:

$\frac{1 - s i n ^{2} θ}{c o s θ}$ and $cos θ$ are only equivalent when $cos θ \neq = 0$

📐 例题

在原表达式有定义的所有 $θ$ 范围内，将 $\frac{1 - s i n ^{2} θ}{1 - c o s ^{2} θ}$ 化简为单个基本三角函数的等价表达式。

1
对分子应用核心勾股恒等式：
$1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$
2
对分母应用核心勾股恒等式：
$1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$
3
改写分数并使用余切的定义：
$\frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \left(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)^2 = \cot^2 \theta$
4
化简后的表达式 $cot^{2} θ$ 与原表达式定义域相同（ $sin θ \neq = 0$ ），因此二者完全等价。

Exam tip:

务必确认化简后的表达式与原表达式定义域相同。如果原表达式排除了化简形式允许的输入值，在自由作答题中必须明确注明排除值才能得满分。

2. 二倍角恒等式与降幂恒等式★★★☆☆⏱ 3 min

二倍角和降幂恒等式可以在 $2 θ$ 的三角函数和 $θ$ 的三角函数之间转换，将正弦/余弦的二次幂转换为二倍角的线性函数。这些恒等式由正弦和余弦的和角公式推导而来，在正弦和角公式中令 $A = B = θ$ 可得：

\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta

对于余弦，令 $A = B = θ$ 可得三种等价形式：

\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta

整理后两种形式即可得到降幂恒等式：

\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}, \quad \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}

📐 例题

将 $4 sin^{2} x cos^{2} x$ 改写为余弦的线性等价表达式（不包含次数大于1的三角函数幂次）。

1
分组以便应用正弦的二倍角恒等式：
$4\sin^2 x \cos^2 x = (2\sin x \cos x)^2$
2
代入 $2 sin x cos x = sin 2 x$ ：
$(2\sin x \cos x)^2 = \sin^2 2x$
3
令 $u = 2 x$ 应用降幂恒等式：
$\sin^2 u = \frac{1 - \cos 2u}{2} = \frac{1 - \cos 4x}{2}$
4
展开得到最终的线性表达式：
$\frac{1 - \cos 4x}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 4x$

Exam tip:

牢记降幂恒等式的符号规律：'正弦负，余弦正'，避免化简时出现符号错误。

3. 合并正弦曲线的振幅-相位形式★★★★☆⏱ 3 min

任意相同周期的正弦和余弦线性组合都可以改写为单个等价正弦函数，更便于分析振幅、最大值/最小值和相位偏移。这种等价表示称为振幅-相位形式，遵循以下公式：

a\cos Bx + b\sin Bx = C\cos(Bx - \phi) + D

其中 $C = a^{2} + b^{2}$ （振幅，按惯例取正值）， $cos ϕ = \frac{a}{C}$ ， $sin ϕ = \frac{b}{C}$ ， $D$ 为任意垂直偏移。

📐 例题

将 $3 cos 2 x + 4 sin 2 x$ 改写为 $C cos (2 x - ϕ)$ 形式的单个等价余弦函数，其中 $C > 0$ 且 $0 \leq ϕ < 2 π$ 。

1
识别出 $a = 3$ ， $b = 4$ ，计算振幅 $C$ ：
$C = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$
2
利用 $cos ϕ$ 和 $sin ϕ$ 的定义求解 $ϕ$ ：
$\cos \phi = \frac{3}{5}, \quad \sin \phi = \frac{4}{5}$
3
由于 $cos ϕ$ 和 $sin ϕ$ 均为正， $ϕ$ 位于第一象限，因此 $ϕ = arctan (\frac{4}{3})$ ，满足定义域要求。
4
写出最终的等价表达式：
$5\cos\left(2x - \arctan\left(\frac{4}{3}\right)\right)$

Exam tip:

务必根据 $cos ϕ$ 和 $sin ϕ$ 的符号确认 $ϕ$ 所在象限，不要直接使用反正切的输出，因为反正切仅给出 $- π /2$ 到 $π /2$ 之间的值，会漏掉其他象限的角度。

4. 积化和差与和差化积恒等式★★★★☆⏱ 3 min

这些恒等式可以将正弦/余弦的乘积改写为和，或将正弦/余弦的和改写为乘积，有助于对三角表达式因式分解，求解含多个三角项的方程。最常用的正弦和差化积恒等式是：

\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)

该恒等式将两个正弦的和转换为乘积，之后即可令其等于零，利用零乘积性质求解。

📐 例题

先将和改写为乘积，求解 $0 \leq x < 2 π$ 范围内的方程 $sin 3 x + sin x = 0$ 。

1
令 $A = 3 x$ ， $B = x$ 应用和差化积恒等式：
$\sin 3x + \sin x = 2\sin\left(\frac{3x + x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x - x}{2}\right) = 2\sin 2x \cos x$
2
令等式等于零： $2 sin 2 x cos x = 0$ ，根据零乘积性质，要么 $sin 2 x = 0$ 要么 $cos x = 0$ 。
3
在区间 $0 \leq x < 2 π$ 内求解： $sin 2 x = 0$ 的解为 $x = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}$ ， $cos x = 0$ 的解为 $x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$ 。
4
所有不同的解为 $x = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}$ ，均满足原方程。

Exam tip:

和差化积仅适用于两个同类型、同周期的三角函数（两个正弦或两个余弦）；对于正弦和余弦的混合和，应使用振幅-相位形式。

5. AP风格例题练习★★★☆☆⏱ 5 min

✓ 快速检测

在原表达式有定义的所有 $θ$ 范围内，以下哪个表达式与 $\frac{c o s 2 θ}{c o s θ - s i n θ}$ 等价？

- A) $1$
- B) $cos θ + sin θ$
- C) $cos 2 θ$
- D) $\frac{1}{c o s θ + s i n θ}$
显示答案
B —
改写 $cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ$ ，因式分解为 $(cos θ - sin θ) (cos θ + sin θ)$ 。约去公因子（原表达式中 $cos θ - sin θ \neq = 0$ ，因此该操作合法），得到 $cos θ + sin θ$ 。

📐 例题

设 $f (x) = 2 cos^{2} x - 4 sin x cos x + 1$ 。(a) 将 $f (x)$ 改写为正弦和余弦的等价线性表达式。(b) 求 $f (x)$ 的最大值。(c) 将 $f (x)$ 写为振幅-相位形式 $C cos (2 x - ϕ) + D$ ，要求 $C > 0$ ， $0 \leq ϕ < 2 π$ 。

1
(a)问：应用降幂恒等式和二倍角恒等式：
$2\cos^2 x = 1 + \cos 2x, \quad 4\sin x \cos x = 2\sin 2x$
2
化简得到线性表达式：
$f(x) = \cos 2x - 2\sin 2x + 2$
3
(b)问： $a cos k x + b sin k x + D$ 的最大值为 $a^{2} + b^{2} + D$ ：
$\sqrt{1^2 + (-2)^2} + 2 = \sqrt{5} + 2$
4
(c)问：计算 $C$ 并求 $ϕ$ ：
$C = \sqrt{5}, \quad \cos \phi = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \sin \phi = \frac{-2}{\sqrt{5}}$
5
$ϕ$ 位于第四象限，因此 $ϕ = 2 π - arctan (2)$ 。最终表达式：
$f(x) = \sqrt{5}\cos\left(2x - (2\pi - \arctan 2)\right) + 2$

6. 常见陷阱

错误做法:

化简 $\frac{1 - s i n ^{2} θ}{c o s θ} = cos θ$ 后，声称两个表达式对所有实数 $θ$ 都等价

原因:

原表达式排除了所有 $cos θ = 0$ 的 $θ$ ，而 $cos θ$ 对所有 $θ$ 都有定义，因此不注明排除值的话二者不完全等价

正确做法:

陈述等价性时，务必比较原表达式和化简后表达式的定义域，明确列出所有被排除的输入值

错误做法:

将余弦平方的降幂公式写为 $cos^{2} θ = \frac{1 - c o s 2 θ}{2}$ （符号颠倒）

原因:

学生混淆了正弦和余弦降幂恒等式的符号规律

正确做法:

牢记'正弦负，余弦正'的记忆法，每次都能想起分子中正确的符号

错误做法:

忘记正弦二倍角恒等式中的 $cos θ$ 项，写成 $sin 2 θ = 2 sin θ$

原因:

学生记得因子2，但快速化简时漏掉了余弦项

正确做法:

化简前务必写出完整恒等式 $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ ，绝不要省略余弦项

错误做法:

当要求 $C > 0$ 且 $0 \leq ϕ < 2 π$ 时，写成 $2 cos 2 x - 4 sin 2 x = 25 cos (2 x + 1.107)$

原因:

学生弄错了自变量中 $ϕ$ 的符号，使用加法而不是减法

正确做法:

始终使用 $cos (B x - ϕ)$ 的形式，因此自变量内的符号与要求定义域内 $ϕ$ 的正符号匹配

错误做法:

对 $sin 3 x + cos 2 x$ 应用和差化积改写为乘积

原因:

学生忘记和差化积仅适用于两个同类型、频率相同的三角函数

正确做法:

和差化积仅适用于两个同周期的正弦或余弦；混合组合应使用其他恒等式或振幅-相位形式

7. 速查表

类别	公式	说明
核心勾股恒等式	$cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$	对所有实数 $θ$ 成立，用于转换二次项
正切-正割勾股恒等式	$1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ$	$cos θ \neq = 0$ 时有定义
余切-余割勾股恒等式	$1 + cot^{2} θ = csc^{2} θ$	$sin θ \neq = 0$ 时有定义
二倍角（正弦）	$sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$	对所有实数 $θ$ 成立
二倍角（余弦）	$cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 1 - 2 sin^{2} θ$	三种等价形式，适用于不同场景
降幂恒等式	$sin^{2} θ = \frac{1 - c o s 2 θ}{2}, cos^{2} θ = \frac{1 + c o s 2 θ}{2}$	'正弦负，余弦正'，将二次式转换为一次式
振幅-相位形式	$a cos B x + b sin B x = C cos (B x - ϕ), C = a^{2} + b^{2}$	将多个正弦曲线的和转换为单个等价正弦曲线
和差化积（正弦和）	$sin A + sin B = 2 sin (\frac{A + B}{2}) cos (\frac{A - B}{2})$	对正弦和因式分解，用于解方程

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · AP Precalculus
化简三角表达式选择题
2023 · AP Precalculus
自由作答题改写正弦曲线和

下一步

本主题是第3单元后续核心主题：三角方程求解和周期现象建模的基础先修内容，这两个主题在AP微积分预备考试中占比很大。如果不能将三角表达式改写为等价化简形式，你就无法对复杂三角方程因式分解，无法求合并正弦曲线的精确最大最小值，也无法分析振荡系统的拍频模式——这些都是选择题和自由作答题中常见的考点。本主题还会培养你学习入门微积分所需的三角运算能力。