对数函数

AP 预备微积分· AP 预备微积分 CED — 指数函数与对数函数· 14 分钟阅读

1. 作为反函数的对数函数定义★★☆☆☆⏱ 3 min

对数函数是一一对应指数函数的反函数。形式化定义为，对于 $b > 0, b \neq = 1$ ， $y = lo g_{b} x$ 当且仅当 $b^{y} = x$ 。标准记号中，常用对数（底为10）记为 $lo g x$ ，自然对数（底为 $e \approx 2.71828$ ）记为 $ln x$ ，自然对数是微积分和连续增长模型中最常用的形式。

对数函数逆转指数运算，让我们可以求解未知指数，对对数缩放现象（从pH值到分贝评级）建模。作为指数函数的反函数，对数函数交换了指数函数的定义域和值域：对数函数的定义域仅为正实数（ $x > 0$ ），值域为全体实数。

📘 定义

对数函数

$y = lo g_{b} x$ , $ln x$ (base $e$ ), $lo g x$ (base 10)

底数为 $b > 0, b \neq = 1$ 的一一对应指数函数的反函数，满足 $lo g_{b} x = y ⟺ b^{y} = x$ ，仅对正的 $x$ 有定义。

例:

$lo g_{2} 8 = 3$ , since $2^{3} = 8$

📐 例题

将 $3^{4} = 81$ 改写为对数形式，将 $lo g_{4} 64 = 3$ 改写为指数形式。

1
指数的底数成为对数的底数，指数成为对数的输出。
$3^4 = 81 \implies \log_3 81 = 4$
2
对于对数表达式，对数的底数成为指数的底数，对数的输出成为指数。
$\log_4 64 = 3 \implies 4^3 = 64$

2. 核心性质与换底公式★★☆☆☆⏱ 4 min

由于对数和指数的反函数关系，所有对数性质都直接从对应的指数规则推导而来。连接这两类函数的关键逆恒等式为：

b^{\log_b x} = x \quad (x>0) \quad \text{and} \quad \log_b (b^x) = x \quad (\text{for all real } x)

乘积法则: $lo g_{b} (M N) = lo g_{b} M + lo g_{b} N$ (将正数的乘积转化为对数的和)
Quotient Rule: $lo g_{b} (\frac{M}{N}) = lo g_{b} M - lo g_{b} N$ (将正数的商转化为对数的差)
Power Rule: $lo g_{b} (M^{k}) = k lo g_{b} M$ for any real $k$ and positive $M$

换底公式允许你使用仅能计算以10或 $e$ 为底对数的标准计算器计算任意对数值：

\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b} = \frac{\log_{10} a}{\log_{10} b} \quad (a>0, b>0, b \neq 1)

📐 例题

化简 $lo g_{5} (250) - lo g_{5} (2) + 3 lo g_{5} (5)$ 为最简数值。

1
对前两项应用商法则：
$\log_5 \left(\frac{250}{2}\right) + 3 \log_5 (\sqrt{5}) = \log_5 (125) + 3 \log_5 (5^{1/2})$
2
对第二项应用幂法则，利用 $lo g_{b} b = 1$ ：
$3 \log_5 (5^{1/2}) = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \log_5 5 = \frac{3}{2} (1) = \frac{3}{2}$
3
将125改写为5的幂并应用逆恒等式：
$\log_5 (5^3) = 3 \log_5 5 = 3(1) = 3$
4
将结果相加得到最终值：
$3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$

3. 对数方程求解★★★☆☆⏱ 4 min

对数方程的未知变量出现在对数的真数中。核心求解策略利用对数和指数的反函数关系：分离出单个对数项，转换为指数形式，然后求解变量。如果同侧有多个对数，先利用对数性质合并它们。

最容易被遗漏的关键步骤是检验增根。合并多个对数会抹除单个的定义域限制，因此所有候选解都必须代入原方程检验，任何使对数真数非正的解都必须舍去。

📐 例题

求解方程 $lo g_{2} (x + 2) + lo g_{2} (x) = 3$ 的所有实数解。

1
从原方程写出定义域限制： $x + 2 > 0 ⟹ x > - 2$ 且 $x > 0$ ，因此整体有效定义域为 $x > 0$ 。
2
用乘积法则合并两个对数：
$\log_2 \left(x(x+2)\right) = 3 \implies \log_2 (x^2 + 2x) = 3$
3
根据对数定义转换为指数形式：
$2^3 = x^2 + 2x \implies x^2 + 2x - 8 = 0$
4
对二次方程因式分解得到候选解：
$(x+4)(x-2) = 0 \implies x=-4 \text{ and } x=2$
5
对照原定义域检验： $x = - 4 < 0$ 是增根，舍去； $x = 2 > 0$ 是有效解。

✓ 快速检测

测试你对对数性质的理解：

下列哪个表达式与 $3 ln 2 - ln 4$ 等价？
- A) $ln 2$
- B) $ln 6$
- C) $2 ln 3$
- D) $- ln 2$
显示答案
A) $\ln 2$ —
应用幂法则： $3 ln 2 = ln 2^{3} = ln 8$ ，再应用商法则： $ln 8 - ln 4 = ln (8/4) = ln 2$ 。

4. 对数函数的图像与变换★★★☆☆⏱ 3 min

母对数函数 $y = lo g_{b} x$ 具有一致的核心特征：它在 $x = 0$ （y轴）处有一条垂直渐近线，经过点 $(1, 0)$ （因为对任意有效底数 $b$ ， $lo g_{b} 1 = 0$ ），定义域为 $(0, \infty)$ ，值域为全体实数。如果 $b > 1$ ，函数严格递增且凹向下；如果 $0 < b < 1$ ，函数严格递减且凹向上。

对数函数的变换遵循与所有其他函数变换相同的规则：对于 $y = a lo g_{b} (c (x - h)) + k$ ， $a$ 控制垂直拉伸/压缩/反射， $c$ 控制水平拉伸/压缩/反射， $h$ 是水平平移， $k$ 是垂直平移。要找到平移后的新垂直渐近线，只需令对数的真数等于零并求解 $x$ ，这样可以避免记忆平移方向带来的错误。

📐 例题

对于 $f (x) = ln (x - 3) + 2$ ，找出定义域、垂直渐近线方程，以及图像上的一个点，然后描述从母函数 $y = ln x$ 得到该函数的变换。

1
通过要求真数为正找出定义域：
$x-3>0 \implies x>3, \text{ so domain is } (3, \infty)$
2
令真数等于零找出垂直渐近线：
$x-3=0 \implies x=3$
3
利用母函数的已知截点找一个简单点：当 $ln (真数) = 0$ 时，真数等于1。令 $x - 3 = 1 ⟹ x = 4$ ，然后计算 $f (4)$ ：
$f(4) = \ln(1) + 2 = 0 + 2 = 2, \text{ so } (4,2) \text{ is on the graph}$
4
描述变换：
$\text{The graph of } y = \ln x \text{ is shifted 3 units right and 2 units up}$

📐 例题

水溶液的pH定义为 $pH = - lo g_{10} [H^{+}]$ ，其中 $[H^{+}]$ 是氢离子浓度，单位为摩尔每升（mol/L）。一份橙汁样品的pH为3.8，黑咖啡的pH为5.0。(a) 求橙汁的氢离子浓度（保留三位有效数字）。(b) 橙汁的氢离子浓度是黑咖啡的多少倍？

1
Part (a): Substitute pH = 3.8 and rearrange:
$3.8 = -\log_{10} [H^+] \implies \log_{10} [H^+] = -3.8$
2
Rewrite in exponential form and calculate:
$[H^+] = 10^{-3.8} \approx 1.58 \times 10^{-4} \text{ mol/L}$
3
Part (b): Find the hydrogen ion concentration of black coffee:
$5.0 = -\log_{10} [H^+]_{\text{coffee}} \implies [H^+]_{\text{coffee}} = 10^{-5.0} = 1.0 \times 10^{-5} \text{ mol/L}$
4
Calculate the ratio of concentrations:
$\frac{1.58 \times 10^{-4}}{1.0 \times 10^{-5}} = 15.8 \approx 16$
5
Final result: The hydrogen ion concentration of orange juice is approximately 16 times greater than that of black coffee.

5. 常见陷阱

错误做法:

$lo g_{b} (M + N) = lo g_{b} M + lo g_{b} N$

原因:

学生将乘积法则和真数相加混淆，错误认为对数将乘积转化为和，而非将和转化为和。

正确做法:

Only $lo g_{b} (M N) = lo g_{b} M + lo g_{b} N$ ; there is no general simplification for the logarithm of a sum.

错误做法:

After solving $lo g_{2} (x + 2) + lo g_{2} x = 3$ , keeping $x = - 4$ as a valid solution

原因:

学生对照合并后的最终方程检验解，而非原方程，忘记合并后单个项的定义域限制会丢失。

正确做法:

Always list domain restrictions from the original equation before solving, and discard any candidate that violates any restriction.

错误做法:

$\frac{l o g _{b} M}{l o g _{b} N} = lo g_{b} (\frac{M}{N})$

原因:

学生混淆换底公式和商法则，搞错运算顺序。

正确做法:

The quotient rule is $lo g_{b} (\frac{M}{N}) = lo g_{b} M - lo g_{b} N$ , while $\frac{l o g _{b} M}{l o g _{b} N} = lo g_{N} M$ by change of base—they are not equivalent.

错误做法:

Stating the domain of $f (x) = lo g (x^{2})$ is $x > 0$

原因:

学生将 $lo g (x)$ 的定义域规则推广到 $lo g (x^{2})$ ，没有检查真数何时为正。

正确做法:

Always check for positive arguments directly: $x^{2} > 0$ for all $x \neq = 0$ , so domain is $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

错误做法:

Writing the vertical asymptote of $y = ln (x + 2) - 1$ as $x = 2$

原因:

学生搞混水平平移方向，认为+2是向右平移，而非向左。

正确做法:

Always find the vertical asymptote by setting the argument equal to zero and solving: $x + 2 = 0 ⟹ x = - 2$ , which gives the correct asymptote regardless of shift direction.

6. 速查表

类别	公式	注释
对数定义	$lo g_{b} y = x ⟺ b^{x} = y$	要求 $b > 0, b \neq = 1, y > 0$
逆恒等式 1	$b^{l o g_{b} x} = x$	仅对 $x > 0$ 和任意有效底数 $b$ 成立
逆恒等式 2	$lo g_{b} (b^{x}) = x$	对任意实数 $x$ 和任意有效底数 $b$ 成立
乘积法则	$lo g_{b} (M N) = lo g_{b} M + lo g_{b} N$	要求 $M > 0, N > 0$ ；不适用于 $lo g_{b} (M + N)$
商法则	$lo g_{b} (\frac{M}{N}) = lo g_{b} M - lo g_{b} N$	要求 $M > 0, N > 0$ ；不等价于 $\frac{l o g _{b} M}{l o g _{b} N}$
幂法则	$lo g_{b} (M^{k}) = k lo g_{b} M$	要求 $M > 0$ ，对任意实数 $k$ 成立
换底公式	$lo g_{b} a = \frac{l n a}{l n b} = \frac{l o g _{10} a}{l o g _{10} b}$	用于计算器计算任意对数值；要求 $a > 0, b > 0, b \neq = 1$
母对数图像特征	$y = lo g_{b} x$	垂直渐近线在 $x = 0$ ，经过 $(1, 0)$ ，定义域 $(0, \infty)$ ，值域 $(- \infty, \infty)$ ， $b > 1$ 时递增， $0 < b < 1$ 时递减

下一步

掌握对数函数是学习AP预备微积分第2单元所有剩余主题的基础，首先是指数和对数建模，你将在该主题中使用对数求解连续增长衰减模型中的未知参数。如果不扎实掌握化简对数表达式和求解对数方程时检验增根的能力，你会难以计算半衰期、倍增时间，或估计指数数据的参数，这是AP考试中非常常见的自由回答题考点。对数函数也为未来的微积分学习打下关键基础，自然对数是 $\frac{1}{x}$ 的原函数，对数求导法可以简化复杂的导数问题。