对数表达式

AP 微积分预科· AP 微积分预科课程与考试说明（CED）—— 指数与对数函数· 14 分钟阅读

1. 定义与对数-指数等价关系★★☆☆☆⏱ 3 min

对数表达式是指包含一个或多个对数的代数表达式，对数是指数函数的反函数。对数解决的问题是：将给定的底数升到多少次方，才能得到真数的值？在AP考试中，你主要会遇到常用对数（底数为10，记作 $log x$ ）和自然对数（底数为 $e$ ，记作 $ln x$ ），不过任意满足 $b \neq = 1$ 的正底数都是合法的。掌握这个主题是第二单元几乎所有后续内容的基础，因此这里的错误会传导到高分值的题目中。

📘 定义

对数-指数等价关系

$y = lo g_{b} x ⟺ b^{y} = x$

对数的整个定义都建立在它与指数运算的互逆关系之上。它允许我们自由转换指数形式和对数形式。定义域要求为 $b > 0, b \neq = 1, x > 0$ ：负真数或不合法的底数会得到非实数结果。

📐 例题

计算 $lo g_{4} (\frac{1}{64})$ 的值

1
设 $y = lo g_{4} (\frac{1}{64})$ ，根据等价关系，可转换为：
2
$4^y = \frac{1}{64}$
3
将两边都改写为以4为底的形式，匹配对数的底数：
4
$4^y = (4^3)^{-1} = 4^{-3}$
5
指数函数是一一对应的，因此指数相等，得 $y = - 3$ 。验证： $4^{- 3} = \frac{1}{64}$ ，与原真数一致。

Exam tip:

如果你不确定对数值，将其转换回指数形式验证即可——这只需要10秒，几乎可以消除所有符号错误。

2. 对数核心性质：展开与合并★★★☆☆⏱ 4 min

由于对数是指数的逆运算，它们的性质直接对应我们熟悉的指数法则。对于任意满足 $b \neq = 1$ 的正底数 $b$ ，正真数 $M, N$ ，以及实数 $k$ ，三个核心性质可用于解决AP考试中两种常见任务：将单个合并后的表达式展开为更简单的项，或将多个对数的和/差合并为单个表达式。

乘积法则： $lo g_{b} (M N) = lo g_{b} M + lo g_{b} N$ （对应 $b^{m} b^{n} = b^{m + n}$ ）
商法则： $lo g_{b} (\frac{M}{N}) = lo g_{b} M - lo g_{b} N$ （对应 $\frac{b ^{m}}{b ^{n}} = b^{m - n}$ ）
幂法则： $lo g_{b} (M^{k}) = k lo g_{b} M$ （对应 $(b^{m})^{k} = b^{mk}$ ）

📐 例题

在 $x > 0, y > 0$ 的条件下，完全展开 $lo g_{3} (\frac{9 x ^{5}}{y})$ 。

1
先应用商法则拆分分数：
2
$\log_3\left(\frac{9x^5}{\sqrt{y}}\right) = \log_3(9x^5) - \log_3(\sqrt{y})$
3
对第一项应用乘积法则，再将平方根改写为指数形式：
4
$\log_3 9 + \log_3(x^5) - \log_3(y^{1/2})$
5
计算常数对数值，对变量项应用幂法则： $lo g_{3} 9 = 2$ ，因此完全展开后的形式为：
6
$2 + 5\log_3 x - \frac{1}{2}\log_3 y$

Exam tip:

合并表达式时，一定要先把系数作为指数移入对数内部，再用乘积/商法则合并项——这可以避免常见的系数错误。

3. 换底公式★★★☆☆⏱ 3 min

换底公式将任意底数的对数改写为另一个底数的两个对数的比值。当我们需要用计算器计算非常用/非自然对数，或是化简混合底数的表达式时，都需要用到这个公式。

📘 定义

换底公式

$lo g_{b} x = \frac{l o g _{a} x}{l o g _{a} b}$

对于任意正的 $a, b \neq = 1$ ，以及正的 $x$ ，该公式成立。在AP考试中，用计算器计算时，通常取 $a = 10$ （常用对数）或 $a = e$ （自然对数）。

📐 例题

将 $\frac{l o g _{2} 27}{l o g _{2} 9}$ 化简为单个常数。

1
该表达式符合换底公式的右侧形式，其中 $a = 2$ ， $b = 9$ ， $x = 27$ ，可直接化简为：
2
$\log_9 27$
3
将27和9改写为同一个底数3的幂：
4
$\log_{3^2} 3^3$
5
再次应用换底公式改写为以3为底：
6
$\frac{\log_3 3^3}{\log_3 3^2} = \frac{3 \log_3 3}{2 \log_3 3}$
7
消去 $lo g_{3} 3 = 1$ ，得到最终结果：
8
$\frac{3}{2}$

Exam tip:

如果题目要求计算一个对数，且其底数和真数都是同一个更小底数的幂，一定要先改写消去对数，避免不必要的计算器运算。

4. AP风格例题练习★★★★☆⏱ 4 min

✓ 快速检测

通过这道选择题测试你的理解：

以下哪个选项与 $2 lo g 6 - lo g 3$ 等价？
- $lo g 3$
- $lo g 8$
- $lo g 12$
- $lo g 36$
显示答案
2 —
回答正确！你先应用幂法则移动系数，再用商法则合并项，步骤正确。

📐 例题

设 $x > 0, y > 0$ ，且 $A = lo g_{2} (16 x^{3} y^{- 2})$ 。(a) 完全展开 $A$ ；(b) 已知 $lo g_{2} x = 4$ ， $lo g_{2} y = - 1$ ，计算 $A$ 的值；(c) 将 $A$ 改写为用 $ln x$ 和 $ln y$ 表示的形式。

1
(a) 问：应用乘积法则拆分真数，再应用幂法则并计算常数对数：
2
$\log_2 16 + \log_2 x^3 + \log_2 y^{-2} = 4 + 3\log_2 x - 2\log_2 y$
3
(b) 问：代入已知值：
4
$A = 4 + 3(4) - 2(-1) = 4 + 12 + 2 = 18$
5
(c) 问：用换底公式将以2为底的对数转换为自然对数： $lo g_{2} x = \frac{l n x}{l n 2}$ ， $lo g_{2} y = \frac{l n y}{l n 2}$ ，得：
6
$A = 4 + \frac{3\ln x - 2\ln y}{\ln 2}$

📐 例题

溶液的pH值计算公式为 $pH = - lo g_{10} [H^{+}]$ ，其中 $[H^{+}]$ 是氢离子浓度，单位为mol/L。橙汁的 $[H^{+}] = 3.2 \times 1 0^{- 4}$ mol/L，计算它的pH值，保留一位小数。牛奶的pH值为6.6，求它的 $[H^{+}]$ ，结果用科学记数法表示。

1
计算橙汁的pH：代入公式，用乘积法则展开：
2
$\text{pH} = -\log_{10}(3.2 \times 10^{-4}) = -\left(\log_{10} 3.2 + \log_{10} 10^{-4}\right) = -(0.505 - 4) \approx 3.5$
3
计算牛奶的氢离子浓度：整理后转换为指数形式：
4
$6.6 = -\log_{10} [\text{H}^+] \implies [\text{H}^+] = 10^{-6.6} = 10^{0.4} \times 10^{-7} \approx 2.5 \times 10^{-7}$

5. 常见陷阱

错误做法:

$lo g_{b} (M + N) = lo g_{b} M + lo g_{b} N$

原因:

学生混淆了对数乘积法则和对数内部的加法；对数的和不存在通用的展开法则。

正确做法:

对数法则仅适用于对数内部的乘积、商和幂运算，绝对不适用于加法或减法。

错误做法:

$\frac{l o g _{b} M}{l o g _{b} N} = lo g_{b} (\frac{M}{N})$

原因:

学生混淆了换底公式（两个独立对数的商）和商法则（商法则适用于单个对数内部的商）。

正确做法:

商法则仅适用于除法在对数内部的情况，不适用于两个独立对数之间的除法。

错误做法:

$lo g_{b} (- x) = - lo g_{b} x$ for $x > 0$

原因:

学生错误地对负真数应用幂法则，忘记了所有对数的真数都必须为正的定义域要求。

正确做法:

一定要先检查定义域： $lo g_{b} (- x)$ 仅在 $x < 0$ 时有定义，且真数的负号永远不能作为系数提取出来。

错误做法:

$(lo g_{b} M)^{k} = k lo g_{b} M$

原因:

学生误用幂法则，幂法则仅适用于对数内部的幂，不适用于整个对数本身被乘方的情况。

正确做法:

只有当指数在对数的真数上时才能使用幂法则，指数在整个对数上时不能使用。

错误做法:

$lo g_{b} (\frac{1}{x}) = \frac{1}{l o g _{b} x}$

原因:

学生错误地将普通代数中的倒数法则套用在对数上，忘记了倒数的幂法则。

正确做法:

Rewrite $\frac{1}{x}$ as $x^{- 1}$ , then apply the power rule to get $lo g_{b} (\frac{1}{x}) = - lo g_{b} x$ .

6. 速查表

类别	公式	备注
核心定义	$y = lo g_{b} x ⟺ b^{y} = x$	$b > 0, b \neq = 1, x > 0$
常用对数	$lo g x = lo g_{10} x$	不写出底数；用于pH值、里氏震级
自然对数	$ln x = lo g_{e} x$	底数 $e \approx 2.71828$ ；用于连续增长模型
乘积法则	$lo g_{b} (M N) = lo g_{b} M + lo g_{b} N$	$M > 0, N > 0$ ；适用于任意多个因子
商法则	$lo g_{b} (\frac{M}{N}) = lo g_{b} M - lo g_{b} N$	$M > 0, N > 0$
幂法则	$lo g_{b} (M^{k}) = k lo g_{b} M$	$M > 0$ ；适用于任意实数 $k$
倒数法则	$lo g_{b} (\frac{1}{M}) = - lo g_{b} M$	幂法则当 $k = - 1$ 时的特殊情况
换底公式	$lo g_{b} x = \frac{l o g _{a} x}{l o g _{a} b}$	用计算器计算时取 $a = 10$ 或 $a = e$
底数的对数	$lo g_{b} b = 1$	由核心定义直接得出
1的对数	$lo g_{b} 1 = 0$	由核心定义直接得出

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · AP Precalculus
展开合并后的对数表达式
2023 · AP Precalculus
计算对数的比值

下一步

掌握对数表达式是AP微积分预科第二单元（指数与对数函数）所有剩余内容的基础前提，第二单元占AP考试总分的25%-30%。你会用到这些化简和变形技巧来在解方程时分离变量，对现实世界的增长衰减建模，以及绘制对数函数的图像。化简对数表达式的错误几乎总会导致高分值题目答案错误，因此一定要在继续学习前掌握好这个主题。