# 对数表达式

> AP 预备微积分 · 第二单元：指数与对数函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u2-logarithmic-expressions/

本指南讲解对数表达式的定义、对数-指数等价关系、对数核心性质、换底公式，以及展开和合并对数表达式的技巧，这些都是AP微积分预科第二单元的基础技能。

**先修:** [指数函数的定义与性质](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u2-exponential-functions/); 指数的代数运算法则; 代数表达式的基本因式分解与化简

## 学习目标

- 定义对数表达式，掌握其与指数函数的互逆关系
- 利用核心等价关系实现指数形式与对数形式的互化
- 运用乘积法则、商法则、幂法则展开和合并对数表达式
- 使用换底公式计算和化简对数
- 规避AP考试中常见的定义域错误和法则误用问题

## 定义与对数-指数等价关系

对数表达式是指包含一个或多个对数的代数表达式，对数是指数函数的反函数。对数解决的问题是：将给定的底数升到多少次方，才能得到真数的值？在AP考试中，你主要会遇到常用对数（底数为10，记作$\text{log }x$）和自然对数（底数为$e$，记作$\text{ln }x$），不过任意满足$b \neq 1$的正底数都是合法的。掌握这个主题是第二单元几乎所有后续内容的基础，因此这里的错误会传导到高分值的题目中。

**对数-指数等价关系** — 对数的整个定义都建立在它与指数运算的互逆关系之上。它允许我们自由转换指数形式和对数形式。定义域要求为$b>0, b\neq 1, x>0$：负真数或不合法的底数会得到非实数结果。

*记法:* $y = \log_b x \iff b^y = x$

**例题:** 计算$\log_4 \left(\frac{1}{64}\right)$的值

1. 设$y = \log_4 \left(\frac{1}{64}\right)$，根据等价关系，可转换为：
2. $$4^y = \frac{1}{64}$$
3. 将两边都改写为以4为底的形式，匹配对数的底数：
4. $$4^y = (4^3)^{-1} = 4^{-3}$$
5. 指数函数是一一对应的，因此指数相等，得$y = -3$。验证：$4^{-3} = \frac{1}{64}$，与原真数一致。

> **考试提示:** 如果你不确定对数值，将其转换回指数形式验证即可——这只需要10秒，几乎可以消除所有符号错误。

## 对数核心性质：展开与合并

由于对数是指数的逆运算，它们的性质直接对应我们熟悉的指数法则。对于任意满足$b \neq 1$的正底数$b$，正真数$M, N$，以及实数$k$，三个核心性质可用于解决AP考试中两种常见任务：将单个合并后的表达式展开为更简单的项，或将多个对数的和/差合并为单个表达式。

1. 乘积法则：$\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$（对应$b^m b^n = b^{m+n}$）
2. 商法则：$\log_b\left(\frac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$（对应$\frac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$）
3. 幂法则：$\log_b(M^k) = k \log_b M$（对应$(b^m)^k = b^{mk}$）

**例题:** 在$x>0, y>0$的条件下，完全展开$\log_3\left(\frac{9x^5}{\sqrt{y}}\right)$。

1. 先应用商法则拆分分数：
2. $$\log_3\left(\frac{9x^5}{\sqrt{y}}\right) = \log_3(9x^5) - \log_3(\sqrt{y})$$
3. 对第一项应用乘积法则，再将平方根改写为指数形式：
4. $$\log_3 9 + \log_3(x^5) - \log_3(y^{1/2})$$
5. 计算常数对数值，对变量项应用幂法则：$\log_3 9 = 2$，因此完全展开后的形式为：
6. $$2 + 5\log_3 x - \frac{1}{2}\log_3 y$$

> **考试提示:** 合并表达式时，一定要先把系数作为指数移入对数内部，再用乘积/商法则合并项——这可以避免常见的系数错误。

## 换底公式

换底公式将任意底数的对数改写为另一个底数的两个对数的比值。当我们需要用计算器计算非常用/非自然对数，或是化简混合底数的表达式时，都需要用到这个公式。

**换底公式** — 对于任意正的$a, b \neq 1$，以及正的$x$，该公式成立。在AP考试中，用计算器计算时，通常取$a=10$（常用对数）或$a=e$（自然对数）。

*记法:* $\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}$

**例题:** 将$\frac{\log_2 27}{\log_2 9}$化简为单个常数。

1. 该表达式符合换底公式的右侧形式，其中$a=2$，$b=9$，$x=27$，可直接化简为：
2. $$\log_9 27$$
3. 将27和9改写为同一个底数3的幂：
4. $$\log_{3^2} 3^3$$
5. 再次应用换底公式改写为以3为底：
6. $$\frac{\log_3 3^3}{\log_3 3^2} = \frac{3 \log_3 3}{2 \log_3 3}$$
7. 消去$\log_3 3 = 1$，得到最终结果：
8. $$\frac{3}{2}$$

> **考试提示:** 如果题目要求计算一个对数，且其底数和真数都是同一个更小底数的幂，一定要先改写消去对数，避免不必要的计算器运算。

## AP风格例题练习

**概念自测**

通过这道选择题测试你的理解：

1. 以下哪个选项与$2 \log 6 - \log 3$等价？

   - $\log 3$
   - $\log 8$
   - $\log 12$
   - $\log 36$

   *答案:* $\log 12$

   *解析:* 回答正确！你先应用幂法则移动系数，再用商法则合并项，步骤正确。

**例题:** 设$x>0, y>0$，且$A = \log_2(16x^3y^{-2})$。(a) 完全展开$A$；(b) 已知$\log_2 x = 4$，$\log_2 y = -1$，计算$A$的值；(c) 将$A$改写为用$\ln x$和$\ln y$表示的形式。

1. (a) 问：应用乘积法则拆分真数，再应用幂法则并计算常数对数：
2. $$\log_2 16 + \log_2 x^3 + \log_2 y^{-2} = 4 + 3\log_2 x - 2\log_2 y$$
3. (b) 问：代入已知值：
4. $$A = 4 + 3(4) - 2(-1) = 4 + 12 + 2 = 18$$
5. (c) 问：用换底公式将以2为底的对数转换为自然对数：$\log_2 x = \frac{\ln x}{\ln 2}$，$\log_2 y = \frac{\ln y}{\ln 2}$，得：
6. $$A = 4 + \frac{3\ln x - 2\ln y}{\ln 2}$$

**例题:** 溶液的pH值计算公式为$\text{pH} = -\log_{10} [\text{H}^+]$，其中$[\text{H}^+]$是氢离子浓度，单位为mol/L。橙汁的$[\text{H}^+] = 3.2 \times 10^{-4}$ mol/L，计算它的pH值，保留一位小数。牛奶的pH值为6.6，求它的$[\text{H}^+]$，结果用科学记数法表示。

1. 计算橙汁的pH：代入公式，用乘积法则展开：
2. $$\text{pH} = -\log_{10}(3.2 \times 10^{-4}) = -\left(\log_{10} 3.2 + \log_{10} 10^{-4}\right) = -(0.505 - 4) \approx 3.5$$
3. 计算牛奶的氢离子浓度：整理后转换为指数形式：
4. $$6.6 = -\log_{10} [\text{H}^+] \implies [\text{H}^+] = 10^{-6.6} = 10^{0.4} \times 10^{-7} \approx 2.5 \times 10^{-7}$$

## 常见错误

- **错误做法:** $\log_b(M+N) = \log_b M + \log_b N$
  - 原因: 学生混淆了对数乘积法则和对数内部的加法；对数的和不存在通用的展开法则。
  - 正确做法: 对数法则仅适用于对数内部的乘积、商和幂运算，绝对不适用于加法或减法。
- **错误做法:** $\frac{\log_b M}{\log_b N} = \log_b\left(\frac{M}{N}\right)$
  - 原因: 学生混淆了换底公式（两个独立对数的商）和商法则（商法则适用于单个对数内部的商）。
  - 正确做法: 商法则仅适用于除法在对数内部的情况，不适用于两个独立对数之间的除法。
- **错误做法:** $\log_b(-x) = -\log_b x$ for $x>0$
  - 原因: 学生错误地对负真数应用幂法则，忘记了所有对数的真数都必须为正的定义域要求。
  - 正确做法: 一定要先检查定义域：$\log_b(-x)$仅在$x<0$时有定义，且真数的负号永远不能作为系数提取出来。
- **错误做法:** $(\log_b M)^k = k \log_b M$
  - 原因: 学生误用幂法则，幂法则仅适用于对数内部的幂，不适用于整个对数本身被乘方的情况。
  - 正确做法: 只有当指数在对数的真数上时才能使用幂法则，指数在整个对数上时不能使用。
- **错误做法:** $\log_b\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{\log_b x}$
  - 原因: 学生错误地将普通代数中的倒数法则套用在对数上，忘记了倒数的幂法则。
  - 正确做法: Rewrite $\frac{1}{x}$ as $x^{-1}$, then apply the power rule to get $\log_b\left(\frac{1}{x}\right) = -\log_b x$.

## 速查表

| 类别 | 公式 | 备注 |
| --- | --- | --- |
| 核心定义 | $y = \log_b x \iff b^y = x$ | $b>0, b\neq 1, x>0$ |
| 常用对数 | $\log x = \log_{10} x$ | 不写出底数；用于pH值、里氏震级 |
| 自然对数 | $\ln x = \log_e x$ | 底数$e \approx 2.71828$；用于连续增长模型 |
| 乘积法则 | $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$ | $M>0, N>0$；适用于任意多个因子 |
| 商法则 | $\log_b\left(\frac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ | $M>0, N>0$ |
| 幂法则 | $\log_b(M^k) = k \log_b M$ | $M>0$；适用于任意实数$k$ |
| 倒数法则 | $\log_b\left(\frac{1}{M}\right) = -\log_b M$ | 幂法则当$k=-1$时的特殊情况 |
| 换底公式 | $\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}$ | 用计算器计算时取$a=10$或$a=e$ |
| 底数的对数 | $\log_b b = 1$ | 由核心定义直接得出 |
| 1的对数 | $\log_b 1 = 0$ | 由核心定义直接得出 |

## 下一步

掌握对数表达式是AP微积分预科第二单元（指数与对数函数）所有剩余内容的基础前提，第二单元占AP考试总分的25%-30%。你会用到这些化简和变形技巧来在解方程时分离变量，对现实世界的增长衰减建模，以及绘制对数函数的图像。化简对数表达式的错误几乎总会导致高分值题目答案错误，因此一定要在继续学习前掌握好这个主题。

- [指数函数的反函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u2-inverses-of-exponential-functions/)
- [对数函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u2-logarithmic-functions/)
- [对数函数变形](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u2-logarithmic-function-manipulation/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u2-logarithmic-expressions/