指数函数变形

AP 预备微积分· AP Precalculus CED — 指数与对数函数· 14 分钟阅读

1. 化简复合指数表达式★★☆☆☆⏱ 4 min

所有指数函数变形都建立在核心指数法则之上，这些法则对可变指数（指数函数的标准情况）和常数指数都适用。将所有项改写为同一底数始终是任何化简的第一步，这样后续的绘图、求截距或比较增长率都会简单得多。

\begin{align*} b^u \cdot b^v &= b^{u+v} \\ \frac{b^u}{b^v} &= b^{u-v} \\ \left(b^u\right)^v &= b^{uv} \\ (ab)^u &= a^u b^u \end{align*}

📐 例题

化简 $f (x) = \frac{5 \cdot 3 ^{2 x + 1} \cdot ( 9 ^{x} ) ^{2}}{3 ^{x - 2}}$ ，并将其写为 $f (x) = A \cdot c^{x}$ 的形式，其中 $A$ 和 $c$ 为常数。

1
首先，将所有项改写为以3为底数： $9^{x} = (3^{2})^{x} = 3^{2 x}$ ，因此 $(9^{x})^{2} = (3^{2 x})^{2} = 3^{4 x}$ 。
2
合并分子中所有指数：同底数相加指数： $(2 x + 1) + 4 x = 6 x + 1$ ，因此分子变为 $5 \cdot 3^{6 x + 1}$ 。
3
减去分母的指数：除以 $3^{x - 2}$ 后总指数为 $(6 x + 1) - (x - 2) = 5 x + 3$ ，因此我们得到 $f (x) = 5 \cdot 3^{5 x + 3}$ 。
4
利用 $b^{m + n} = b^{m} b^{n}$ 拆分常数指数： $3^{5 x + 3} = 3^{3} \cdot 3^{5 x} = 27 (3^{5})^{x} = 27 \cdot 24 3^{x}$ 。常数相乘得： $5 \cdot 27 = 135$ 。
5
最终化简形式为： $f (x) = 135 \cdot 24 3^{x}$ ，因此 $A = 135$ ， $c = 243$ 。

Exam tip:

合并指数前，一定要先将所有项改写为同一底数。即使题目没有要求你求根，单底数也能让你在选择题中更容易找到等价选项。

2. 指数函数的底数转换★★★☆☆⏱ 4 min

AP预备微积分中最常见的题型之一就是在两种标准指数函数形式之间转换：周期增长/衰减形式 $f (x) = a b^{x}$ （其中 $b$ 是每单位输入的底数），以及连续增长/衰减形式 $f (x) = a e^{k x}$ （其中 $k$ 是瞬时连续增长率）。这种转换对建模和微积分预备非常重要。

🔬 推导

目标:

推导 $a b^{x}$ 和 $a e^{k x}$ 之间的转换法则

起点:

对任意正数 $b$ ，根据对数和指数的逆性质， $b = e^{l n b}$

1
代入 $a b^{x}$ 得：
2
$ab^x = a\left(e^{\ln b}\right)^x = ae^{(\ln b)x}$

结果:

将 $a b^{x}$ 转换为 $a e^{k x}$ 时，使用 $k = ln b$ 。将 $a e^{k x}$ 转换为 $a b^{x}$ 时，使用 $b = e^{k}$ 。

📐 例题

某细菌菌落的数量由 $P (t) = 200 (1.12)^{t}$ 给出，其中 $t$ 是时间，单位为小时。(a) 将该函数写为 $P (t) = P_{0} e^{r t}$ 的形式，求出连续小时增长率 $r$ ，结果保留四位小数。(b) 将 $Q (t) = 500 e^{0.06 t}$ 转换为 $Q (t) = Q_{0} b^{t}$ 的形式，结果保留四位小数。

1
问题(a)：使用转换法则 $r = ln b$ ，其中 $b = 1.12$ 。
2
计算得 $ln (1.12) \approx 0.1133$ ，因此 $P (t) = 200 e^{0.1133 t}$ ，连续增长率 $r \approx 0.1133$ （每小时11.33%）。
3
问题(b)：使用转换法则 $b = e^{k}$ ，其中 $k = 0.06$ 。
4
计算得 $e^{0.06} \approx 1.0618$ ，因此 $Q (t) = 500 (1.0618)^{t}$ ，每小时增长底数 $b \approx 1.0618$ 。

Exam tip:

在自由作答题中，不要提前对 $k = ln b$ 取整。中间步骤保留计算器的全部精度，只对最终答案按要求保留小数位数，以避免可避免的舍入误差。

3. 复合指数函数的因式分解★★★★☆⏱ 4 min

许多考试题目要求你求出由多个指数项组合而成的函数的关键特征（如x轴截距）。这类函数的常见结构是关于单个指数项的二次式： $f (x) = A b^{2 k x} + B b^{k x} + C$ ，通过换元 $u = b^{k x}$ 即可化简为标准二次式。这样我们就可以用因式分解或二次公式求根。

📐 例题

求 $f (x) = 2 \cdot 4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 2$ 的所有实x轴截距，写出精确值。

1
首先，将 $4^{x}$ 改写为与第二项相同的底数： $4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2}$ 。
2
换元 $u = 2^{x}$ ，对于所有实数 $x$ ， $u$ 始终为正，因此将 $f (x)$ 改写为关于 $u$ 的二次式： $f (u) = 2 u^{2} - 5 u + 2$ 。
3
对二次式因式分解： $(2 u - 1) (u - 2) = 0$ ，解得 $u = \frac{1}{2}$ 和 $u = 2$ ，两个解均为正，因此都有效。
4
换回 $x$ ：当 $u = 2^{x} = \frac{1}{2} = 2^{- 1}$ 时，得 $x = - 1$ 。当 $u = 2^{x} = 2^{1}$ 时，得 $x = 1$ 。
5
代入验证：两个值都满足 $f (x) = 0$ ，因此x轴截距为 $x = - 1$ 和 $x = 1$ 。

Exam tip:

对关于 $u = b^{x}$ 的二次式因式分解时，一定要舍去所有 $u$ 的负解，因为对于实数输入，指数函数始终为正，因此负 $u$ 不可能对应任何实x轴截距。

4. AP风格概念检测★★★☆☆⏱ 2 min

✓ 快速检测

用这道AP风格选择题测试你的理解：

对于所有实数 $x$ ，以下哪个选项与 $\frac{6 \cdot ( 2 ^{3 x} ) ^{2}}{2 ^{x - 1}}$ 等价？
- A) $6 \cdot 1 6^{x}$
- B) $12 \cdot 3 2^{x}$
- C) $6 \cdot 3 2^{x}$
- D) $12 \cdot 1 6^{x}$
显示答案
B —
逐步化简： $(2^{3 x})^{2} = 2^{6 x}$ ，因此 $\frac{6 \cdot 2 ^{6 x}}{2 ^{x - 1}} = 6 \cdot 2^{5 x + 1} = 6 \cdot 2^{1} \cdot (2^{5})^{x} = 12 \cdot 3 2^{x}$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

化简 $2^{3 x}$ 时，错写为 $6^{x}$ 而非正确的 $8^{x}$ 。

原因:

混淆了幂的乘方法则 $(b^{m})^{n} = b^{mn}$ 和积的乘方法则 $(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$ ，错误地将指数应用到底数的系数上。

正确做法:

一定要先将常数与底数分离： $2^{3 x} = (2^{3})^{x} = 8^{x}$ ，明确确认哪个项被乘方。

错误做法:

将 $5 e^{0.2 x}$ 转换为 $a b^{x}$ 时，错算为 $b = 0.2 e$ 而非正确的 $b = e^{0.2}$ 。

原因:

混淆了 $e^{k x}$ 中常数 $k$ 的位置，误将指数读为 $k e^{x}$ 而非 $k x$ 。

正确做法:

对于 $a e^{k x}$ ，始终将 $x$ 的整个系数作为 $e$ 的指数来计算 $b$ ，绝不要将 $k$ 乘以 $e$ 。

错误做法:

合并 $3^{2 x} + 3^{x + 1}$ 时，错写为 $3^{3 x + 1}$ 。

原因:

混淆了指数的乘积法则（该法则仅适用于乘法，不适用于加法），在相加项时错误地相加指数。

正确做法:

只有当乘以同底数的项时才相加指数。相加项时，改用换元法（如 $u = 3^{x}$ ）进行因式分解或化简。

错误做法:

因式分解得到 $u = 2^{x} = - 4$ 后求解 $x$ 时，错误地保留 $x = lo g_{2} (- 4)$ 作为实截距。

原因:

忘记对于实数输入，指数函数的输出始终为正，因此负 $u$ 没有实数解。

正确做法:

解出 $u = b^{k x}$ 后，在求解 $x$ 之前立即舍去所有 $u$ 的负解或零解。

错误做法:

将 $b^{x - h}$ 错改写为 $b^{x} - b^{h}$ 而非正确的 $b^{- h} b^{x}$ 。

原因:

混淆了指数法则和分配律，错误地将指数分配给指数内的减法。

正确做法:

始终应用指数加法法则： $b^{m - n} = b^{m} b^{- n} = \frac{b ^{m}}{b ^{n}}$ ，绝不要将指数拆分到加法或减法上。

6. 速查表

类别	公式	说明
乘积法则	$b^{u} \cdot b^{v} = b^{u + v}$	仅适用于同底数；不适用于项的加法
商法则	$\frac{b ^{u}}{b ^{v}} = b^{u - v}$	仅适用于同底数；分子指数减去分母指数
幂的乘方法则	$(b^{u})^{v} = b^{uv}$	适用于幂的乘方；分离常数避免错误
积的乘方法则	$(ab)^{u} = a^{u} b^{u}$	指数适用于括号内的每个因子
将 $a b^{x}$ 转换为 $a e^{k x}$	$k = ln b$	得到连续增长率/衰减率，对 $b > 0$ 有效
将 $a e^{k x}$ 转换为 $a b^{x}$	$b = e^{k}$	得到周期增长底数，对所有实数 $k$ 有效
指数二次型	$A b^{2 k x} + B b^{k x} + C = A u^{2} + B u + C, u = b^{k x}$	始终舍去 $u$ 的负解，对所有实数 $x$ ， $b^{k x} > 0$
平移指数改写	$b^{x - h} = b^{- h} b^{x}$	将常数平移提出指数以化简

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · MCQ
化简复合指数表达式
2023 · FRQ
转换指数底数，求增长率

下一步

指数函数变形是第2单元所有剩余主题的基础，也是AP预备微积分课程其余部分许多定量主题的基础。你会用到这些改写技巧来求解指数和对数方程，以及将指数模型拟合到真实世界数据集。如果不能快速正确地将指数函数改写为等价形式，你就无法在建模问题中分离变量求解方程或解释增长率，会在要求得到函数特定等价形式的考题中丢掉本该拿到的分数。这个主题也为你大学微积分中的指数函数求导、连续增长模型积分等内容做好准备。