指数与对数方程及不等式

AP 预备微积分· AP Precalculus CED — 指数与对数函数· 14 分钟阅读

1. 求解指数方程★★☆☆☆⏱ 4 min

指数方程的一般形式为 $a^{f (x)} = b^{g (x)}$ ，其中 $a, b > 0$ 且 $a, b \neq = 1$ 。根据底数能否改写为相同底数，共有两种核心求解方法。

如果方程两边都可以改写为相同底数，应用一对一性质去掉底数，直接求解得到的多项式方程即可。如果底数无法统一，对两边取自然对数或常用对数，利用幂法则 $ln a^{b} = b ln a$ 将指数降下，然后求解 $x$ 。

📘 定义

指数方程通解

$a^{k x + c} = d$

对于底数无法统一的方程，精确解可通过对两边取对数推导得到

例:

$x = \frac{l n d - c l n a}{k l n a}$

📐 例题

求解 $2^{4 x + 3} = 5^{x - 2}$ 中的 $x$ ，同时给出精确值和保留三位小数的近似值。

1
底数2和5不同，且无法改写为同底，因此我们使用对数法。
2
对两边取自然对数：
$\ln\left(2^{4x+3}\right) = \ln\left(5^{x-2}\right)$
3
应用幂法则降下指数：
$(4x+3)\ln 2 = (x-2)\ln 5$
4
展开并整理 $x$ 的同类项：
$4x\ln 2 + 3\ln 2 = x\ln 5 - 2\ln 5 \implies x(4\ln 2 - \ln 5) = -2\ln 5 - 3\ln 2$
5
求解 $x$ 得到精确形式和近似形式：
$x = \frac{-(2\ln 5 + 3\ln 2)}{4\ln 2 - \ln 5} \approx -4.553$

Exam tip:

始终确认题目要求的形式（精确值还是近似值）；AP预备微积分的近似结果几乎都要求保留三位小数，因此请务必检查你的舍入是否正确。

2. 求解对数方程★★★☆☆⏱ 4 min

求解对数方程时，我们可以对相同对数运用一对一性质，或利用对数定义将方程改写为指数形式。最关键的步骤是检查增根，增根出现在解使得原对数的真数非正的情况。

📘 定义

增根

满足变形后代数方程但不满足原方程定义域限制的解。对数方程的所有解都必须对照原定义域进行检查。

例:

$x = - 3$ 是 $lo g_{2} (x + 2) + lo g_{2} (x - 1) = 2$ 的增根

📐 例题

Solve $lo g_{2} (x + 2) + lo g_{2} (x - 1) = 2$ .

1
首先根据原方程写出定义域限制： $x + 2 > 0 ⟹ x > - 2$ ，且 $x - 1 > 0 ⟹ x > 1$ ，因此有效定义域为 $x > 1$ 。
2
利用对数乘积法则合并两个项：
$\log_2\left[(x+2)(x-1)\right] = 2$
3
利用对数定义改写为指数形式：
$(x+2)(x-1) = 2^2 = 4$
4
展开并整理为标准二次形式：
$x^2 + x - 2 = 4 \implies x^2 + x - 6 = 0$
5
因式分解并求解二次方程：
$(x+3)(x-2) = 0 \implies x = -3 \text{ or } x=2$
6
对照定义域检查： $x = - 3 < 1$ ，因此它是增根，舍去。 $x = 2 > 1$ 满足定义域要求，因此是唯一有效解。

Exam tip:

始终根据原方程写出定义域限制，而不只是合并后的对数；即使合并后的真数为正，原单个真数也可能为负，从而得到无效解。

3. 求解指数与对数不等式★★★☆☆⏱ 4 min

指数与对数不等式的初始步骤和方程相同：先求定义域，再改写运用一对一性质。关键区别在于，需要根据函数是递增还是递减调整不等号方向。

对于底数 $b > 1$ ， $b^{x}$ 和 $lo g_{b} x$ 都是严格递增函数，因此去掉底数或对数时不等号方向保持不变。对于 $0 < b < 1$ ，两个函数都是严格递减函数，因此去掉底数或对数时需要反转不等号方向。最终解集是化简后的解与原定义域的交集。

📐 例题

Solve $lo g_{0.5} (2 x - 3) < lo g_{0.5} (x + 1)$ .

1
求原不等式的定义域： $2 x - 3 > 0 ⟹ x > 1.5$ ，且 $x + 1 > 0 ⟹ x > - 1$ ，因此定义域为 $x > 1.5$ 。
2
两边都是以相同底数 $b = 0.5$ 的对数，0.5介于0和1之间，因此 $lo g_{0.5} x$ 是严格递减函数，去掉对数时我们需要反转不等号。
3
改写为化简后的不等式：
$2x - 3 > x + 1$
4
求解化简后的不等式：
$x>4$
5
与定义域 $x > 1.5$ 取交集：最终解为 $x > 4$ ，区间表示为 $(4, \infty)$ 。

Exam tip:

如果题目没有指定解的形式，使用区间记号；它在AP预备微积分考试中被普遍接受，更不容易出现记号错误。

4. AP风格练习题★★★★☆⏱ 2 min

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Which of the following is the solution set to the equation $ln (x^{2} - 4) = ln (3 x)$ ?
- A) ${4}$
- B) ${- 1, 4}$
- C) ${- 1}$
- D) No real solutions
显示答案
A) $\{4\}$ —
首先求定义域： $x^{2} - 4 > 0$ 得 $∣ x ∣ > 2$ ， $3 x > 0$ 得 $x > 0$ ，因此合并定义域为 $x > 2$ 。应用一对一性质得 $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ ，根为 $x = 4$ 和 $x = - 1$ 。只有 $x = 4$ 在定义域内，因此是唯一解。

5. 常见陷阱

错误做法:

求解 $lo g_{b} A = lo g_{b} C$ 时，直接得出 $A = C$ 并保留所有解，不检查原定义域。

原因:

学生记住了一对一性质，但忘记只有正真数才有效，因此常常保留增根。

正确做法:

开始求解前，务必先写下原方程的定义域，舍去任何不满足定义域限制的解。

错误做法:

求解任何指数不等式时，无论底数是多少都自动反转不等号。

原因:

学生混淆了不等号方向的底数规则，对于大于1的底数本应保持方向，却错误反转。

正确做法:

去掉底数前，明确检查底数：若 $b > 1$ ，保持不等号方向；若 $0 < b < 1$ ，反转方向。

错误做法:

求解 $5^{2 x} = 3^{x}$ 时，展开得到 $2 x ln 5 = x ln 3$ 后，两边同时除以 $x$ ，丢失了解 $x = 0$ 。

原因:

除以变量表达式时默认它非零，这会消除 $x = 0$ 处的可能根。

正确做法:

提取公变量项而不是除法： $x (2 ln 5 - ln 3) = 0$ ，这样可以得到所有解。

错误做法:

改写 $ln (2 x + 1)^{2} = 6$ 时，应用幂法则得到 $2 ln (2 x + 1) = 6$ ，只得到一个解。

原因:

幂法则 $ln a^{b} = b ln a$ 仅在 $a > 0$ 时成立；即使 $2 x + 1$ 为负，平方后真数也会为正，因此会丢失解。

正确做法:

先改写为指数形式： $(2 x + 1)^{2} = e^{6}$ ，所以 $2 x + 1 = \pm e^{3}$ ，得到所有有效解。

错误做法:

求解对数和的方程时，合并为单个对数后，只检查合并后的真数为正。

原因:

对于使原单个对数的真数为负的值，合并后的真数仍可能为正，从而得到无效解。

正确做法:

将定义域限制应用到原方程的每个对数项，而不只是合并后的对数。

6. 速查表

类别	法则/公式	说明
一对一性质（指数）	If $a^{m} = a^{n}$ , $a > 0, a \neq = 1$ , then $m = n$	仅适用于底数相等的情况；对任意实数指数都成立
指数方程通解	$a^{k x + c} = d ⟹ x = \frac{l n d - c l n a}{k l n a}$	当底数无法改写为同底时使用
一对一性质（对数）	If $lo g_{b} A = lo g_{b} C$ , $b > 0, b \neq = 1$ , then $A = C$	要求 $A > 0, C > 0$ ；务必检查增根
对数与指数互化	$lo g_{b} A = k ⟺ b^{k} = A$	要求 $A > 0$ , $b > 0$ , $b \neq = 1$
不等式法则： $b > 1$	$b^{f} < b^{g} ⟹ f < g$ ; $lo g_{b} f < lo g_{b} g ⟹ f < g$	两个函数都是递增的，因此不等号方向保持不变
不等式法则： $0 < b < 1$	$b^{f} < b^{g} ⟹ f > g$ ; $lo g_{b} f < lo g_{b} g ⟹ f > g$	两个函数都是递减的，因此不等号方向反转
对数幂法则	$ln a^{b} = b ln a$	仅在 $a > 0$ 时有效；对于 $ln a^{2}$ ，使用 $2 ln ∣ a ∣$ 保留所有解
对数方程定义域法则	All arguments of all logarithms must be strictly positive	应用于原方程，不只是合并后的对数

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · MCQ
求解关于x的对数方程
2023 · FRQ
指数增长不等式问题

下一步

本主题是指数与对数函数所有应用的核心技能，指数与对数函数占AP预备微积分考试总分的28%-35%。掌握这些求解技巧对于正确回答选择题和自由作答题都至关重要，尤其是依赖在实际模型中求未知值的应用类问题。接下来，你将把这些技能应用到情境问题中，对指数增长衰减、半衰期、复利和逻辑增长建模。如果不能正确求解方程、检查增根、正确处理不等号方向，你将无法正确解释模型，也无法在自由作答题中获得满分。本主题也为未来的微积分学习打下基础，你将来会大量使用指数和对数函数。