# 指数与对数方程及不等式

> AP 预备微积分 · 第2单元：指数与对数函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u2-exponential-and-logarithmic-equations-and/

本模块讲解如何利用一对一性质和反函数关系求解指数与对数方程及不等式，你将学习如何识别增根，并在AP预备微积分中正确处理不等号方向。

**先修:** [指数与对数的性质](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u2-exponential-logarithm-properties/); 求解一次方程与二次方程; 对数函数的定义域限制

## 学习目标

- 使用同底法和对数法求解指数方程
- 求解对数方程并识别增根
- 考虑函数单调性，求解指数与对数不等式
- 将求解技巧应用于实际建模问题

## 求解指数方程

指数方程的一般形式为 $a^{f(x)} = b^{g(x)}$，其中 $a,b>0$ 且 $a,b \neq 1$。根据底数能否改写为相同底数，共有两种核心求解方法。

如果方程两边都可以改写为相同底数，应用一对一性质去掉底数，直接求解得到的多项式方程即可。如果底数无法统一，对两边取自然对数或常用对数，利用幂法则 $\ln a^b = b\ln a$ 将指数降下，然后求解 $x$。

**指数方程通解** — 对于底数无法统一的方程，精确解可通过对两边取对数推导得到

*记法:* $a^{kx + c} = d$

*例:* $x = \frac{\ln d - c\ln a}{k\ln a}$

**例题:** 求解 $2^{4x+3} = 5^{x-2}$ 中的 $x$，同时给出精确值和保留三位小数的近似值。

1. 底数2和5不同，且无法改写为同底，因此我们使用对数法。
2. 对两边取自然对数：

   $$\ln\left(2^{4x+3}\right) = \ln\left(5^{x-2}\right)$$
3. 应用幂法则降下指数：

   $$(4x+3)\ln 2 = (x-2)\ln 5$$
4. 展开并整理 $x$ 的同类项：

   $$4x\ln 2 + 3\ln 2 = x\ln 5 - 2\ln 5 \implies x(4\ln 2 - \ln 5) = -2\ln 5 - 3\ln 2$$
5. 求解 $x$ 得到精确形式和近似形式：

   $$x = \frac{-(2\ln 5 + 3\ln 2)}{4\ln 2 - \ln 5} \approx -4.553$$

**考试命令词**

- **Give your answer to three decimal places** — 你必须提供近似小数值，不能只给出精确形式 *(除非另有说明，AP预备微积分要求所有近似结果保留三位小数)*

> **考试提示:** 始终确认题目要求的形式（精确值还是近似值）；AP预备微积分的近似结果几乎都要求保留三位小数，因此请务必检查你的舍入是否正确。

## 求解对数方程

求解对数方程时，我们可以对相同对数运用一对一性质，或利用对数定义将方程改写为指数形式。最关键的步骤是检查增根，增根出现在解使得原对数的真数非正的情况。

**增根** — 满足变形后代数方程但不满足原方程定义域限制的解。对数方程的所有解都必须对照原定义域进行检查。

*例:* $x=-3$ 是 $\log_2(x+2) + \log_2(x-1) = 2$ 的增根

**例题:** Solve $\log_2 (x+2) + \log_2 (x-1) = 2$.

1. 首先根据原方程写出定义域限制：$x+2>0 \implies x>-2$，且 $x-1>0 \implies x>1$，因此有效定义域为 $x>1$。
2. 利用对数乘积法则合并两个项：

   $$\log_2\left[(x+2)(x-1)\right] = 2$$
3. 利用对数定义改写为指数形式：

   $$(x+2)(x-1) = 2^2 = 4$$
4. 展开并整理为标准二次形式：

   $$x^2 + x - 2 = 4 \implies x^2 + x - 6 = 0$$
5. 因式分解并求解二次方程：

   $$(x+3)(x-2) = 0 \implies x = -3 \text{ or } x=2$$
6. 对照定义域检查：$x=-3 < 1$，因此它是增根，舍去。$x=2>1$ 满足定义域要求，因此是唯一有效解。

> **考试提示:** 始终根据原方程写出定义域限制，而不只是合并后的对数；即使合并后的真数为正，原单个真数也可能为负，从而得到无效解。

## 求解指数与对数不等式

指数与对数不等式的初始步骤和方程相同：先求定义域，再改写运用一对一性质。关键区别在于，需要根据函数是递增还是递减调整不等号方向。

对于底数 $b>1$，$b^x$ 和 $\log_b x$ 都是严格递增函数，因此去掉底数或对数时不等号方向保持不变。对于 $0<b<1$，两个函数都是严格递减函数，因此去掉底数或对数时需要反转不等号方向。最终解集是化简后的解与原定义域的交集。

**例题:** Solve $\log_{0.5}(2x - 3) < \log_{0.5}(x + 1)$.

1. 求原不等式的定义域：$2x-3>0 \implies x>1.5$，且 $x+1>0 \implies x>-1$，因此定义域为 $x>1.5$。
2. 两边都是以相同底数 $b=0.5$ 的对数，0.5介于0和1之间，因此 $\log_{0.5}x$ 是严格递减函数，去掉对数时我们需要反转不等号。
3. 改写为化简后的不等式：

   $$2x - 3 > x + 1$$
4. 求解化简后的不等式：

   $$x>4$$
5. 与定义域 $x>1.5$ 取交集：最终解为 $x>4$，区间表示为 $(4, \infty)$。

> **考试提示:** 如果题目没有指定解的形式，使用区间记号；它在AP预备微积分考试中被普遍接受，更不容易出现记号错误。

## AP风格练习题

**概念自测**

用这些AP风格题目测试你的理解程度

1. Which of the following is the solution set to the equation $\ln (x^2 - 4) = \ln (3x)$?

   - A) $\{4\}$
   - B) $\{-1, 4\}$
   - C) $\{-1\}$
   - D) No real solutions

   *解析:* 首先求定义域：$x^2-4>0$ 得 $|x|>2$，$3x>0$ 得 $x>0$，因此合并定义域为 $x>2$。应用一对一性质得 $x^2-3x-4=0$，根为 $x=4$ 和 $x=-1$。只有 $x=4$ 在定义域内，因此是唯一解。

## 常见错误

- **错误做法:** 求解 $\log_b A = \log_b C$ 时，直接得出 $A=C$ 并保留所有解，不检查原定义域。
  - 原因: 学生记住了一对一性质，但忘记只有正真数才有效，因此常常保留增根。
  - 正确做法: 开始求解前，务必先写下原方程的定义域，舍去任何不满足定义域限制的解。
- **错误做法:** 求解任何指数不等式时，无论底数是多少都自动反转不等号。
  - 原因: 学生混淆了不等号方向的底数规则，对于大于1的底数本应保持方向，却错误反转。
  - 正确做法: 去掉底数前，明确检查底数：若 $b>1$，保持不等号方向；若 $0<b<1$，反转方向。
- **错误做法:** 求解 $5^{2x} = 3^x$ 时，展开得到 $2x \ln 5 = x \ln 3$ 后，两边同时除以 $x$，丢失了解 $x=0$。
  - 原因: 除以变量表达式时默认它非零，这会消除 $x=0$ 处的可能根。
  - 正确做法: 提取公变量项而不是除法：$x(2 \ln 5 - \ln 3) = 0$，这样可以得到所有解。
- **错误做法:** 改写 $\ln (2x + 1)^2 = 6$ 时，应用幂法则得到 $2 \ln (2x + 1) = 6$，只得到一个解。
  - 原因: 幂法则 $\ln a^b = b \ln a$ 仅在 $a>0$ 时成立；即使 $2x+1$ 为负，平方后真数也会为正，因此会丢失解。
  - 正确做法: 先改写为指数形式：$(2x+1)^2 = e^6$，所以 $2x+1 = \pm e^3$，得到所有有效解。
- **错误做法:** 求解对数和的方程时，合并为单个对数后，只检查合并后的真数为正。
  - 原因: 对于使原单个对数的真数为负的值，合并后的真数仍可能为正，从而得到无效解。
  - 正确做法: 将定义域限制应用到原方程的每个对数项，而不只是合并后的对数。

## 速查表

| 类别 | 法则/公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 一对一性质（指数） | If $a^m = a^n$, $a>0, a\neq1$, then $m=n$ | 仅适用于底数相等的情况；对任意实数指数都成立 |
| 指数方程通解 | $a^{kx + c} = d \implies x = \frac{\ln d - c \ln a}{k \ln a}$ | 当底数无法改写为同底时使用 |
| 一对一性质（对数） | If $\log_b A = \log_b C$, $b>0, b\neq1$, then $A=C$ | 要求 $A>0, C>0$；务必检查增根 |
| 对数与指数互化 | $\log_b A = k \iff b^k = A$ | 要求 $A>0$, $b>0$, $b\neq1$ |
| 不等式法则：$b>1$ | $b^f < b^g \implies f < g$; $\log_b f < \log_b g \implies f < g$ | 两个函数都是递增的，因此不等号方向保持不变 |
| 不等式法则：$0<b<1$ | $b^f < b^g \implies f > g$; $\log_b f < \log_b g \implies f > g$ | 两个函数都是递减的，因此不等号方向反转 |
| 对数幂法则 | $\ln a^b = b \ln a$ | 仅在 $a>0$ 时有效；对于 $\ln a^2$，使用 $2 \ln \|a\|$ 保留所有解 |
| 对数方程定义域法则 | All arguments of all logarithms must be strictly positive | 应用于原方程，不只是合并后的对数 |

## 下一步

本主题是指数与对数函数所有应用的核心技能，指数与对数函数占AP预备微积分考试总分的28%-35%。掌握这些求解技巧对于正确回答选择题和自由作答题都至关重要，尤其是依赖在实际模型中求未知值的应用类问题。接下来，你将把这些技能应用到情境问题中，对指数增长衰减、半衰期和复利建模。如果不能正确求解方程、检查增根、正确处理不等号方向，你将无法正确解释模型，也无法在自由作答题中获得满分。本主题也为未来的微积分学习打下基础，你将来会大量使用指数和对数函数。

- [对数函数应用场景与数据建模](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u2-logarithmic-function-context-and-data/)
- [半对数图](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u2-semi-log-plots/)
- [三角函数与极坐标函数概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u3-overview/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u2-exponential-and-logarithmic-equations-and/