竞争函数模型验证

AP 预备微积分· AP 预备微积分 CED —— 指数与对数函数· 14 分钟阅读

1. 什么是竞争函数模型验证？★★☆☆☆⏱ 2 min

竞争函数模型验证是将两个或多个候选函数模型（最常见的是线性、指数和幂模型）与实际双变量数据对比，选出最能描述变量间内在关系模型的过程。该知识点占AP预备微积分考试总分的2-3%，在选择题和自由问答题部分均会出现。

考试中，题目通常会给出散点图、数据表或预先拟合好的候选模型，要求你使用定量或图形证据论证哪个模型最适用。与拟合单个模型不同，模型验证的核心是比较不同竞争选项，这是应用数据分析的关键技能，在自由问答题的论证得分点中占很高权重。

2. 图形残差分析★★☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

残差

$e_{i}$

对于给定数据点 $(x_{i}, y_{i})$ ，观测响应值 $y_{i}$ 与模型预测响应值 $\overset{y}{^}_{i}$ 之间的差值： $e_{i} = y_{i} - \overset{y}{^}_{i}$

例:

对于模型 $\overset{y}{^} = 2 x + 1$ 和点 $(3, 8)$ ， $e_{i} = 8 - 7 = 1$

残差分析是AP考试中最直观、最常考查的模型拟合比较方法。如果模型拟合良好，残差会在横轴 $e = 0$ 附近随机分布，没有明显的系统模式（如曲线、趋势或漏斗形）。如果残差呈现明显模式，说明模型没有捕捉到内在趋势，因此另一个竞争模型是更好的选择。

📐 例题

一位生态学家连续12年测量保护林区的鹿种群数量。两个候选模型的残差图：模型1（线性增长）的残差从正开始，中间变为负，之后又回到正，形成明显的开口向上抛物线模式。模型2（指数增长）的残差在 $- 18$ 到 $15$ 之间随机分布，均匀集中在 $e = 0$ 附近。哪个模型拟合效果更好？证明你的选择。

1
记住：拟合良好的模型产生的残差没有系统模式，在零线附近随机分布。
2
评估模型1：明显的抛物线模式说明线性模型未能捕捉到鹿种群增长的非线性趋势，因此拟合效果差。
3
评估模型2：残差没有系统模式，在零附近均匀分布，说明模型正确捕捉了内在趋势。
4
得出结论：模型2（指数增长）是拟合效果更好的模型。

Exam tip:

在AP自由问答题中，你必须明确提及残差是否存在模式才能获得论证分；只说"残差更好"无法得到满分。

3. 用于模型比较的决定系数（$R^2$）★★★☆☆⏱ 3 min

决定系数记为 $R^{2}$ ，是衡量拟合模型中解释变量 $x$ 对响应变量 $y$ 变异的解释比例的定量指标。 $R^{2}$ 的取值范围是 $0$ 到 $1$ （即0%到100%）。比较拟合于同一组数据的两个竞争模型时， $R^{2}$ 更高的模型对 $y$ 变异的解释更多，因此通常是拟合效果更好的模型。

📐 例题

一位小企业主比较10年间年收入的两个模型：线性模型 $R (t) = 125000 + 18000 t$ 和指数模型 $R (t) = 120000 (1.11)^{t}$ 。两个模型都拟合原始未变换的年收入数据。线性模型的 $R^{2} = 0.84$ ，指数模型的 $R^{2} = 0.95$ 。哪个模型拟合效果更好？给出证明。

1
确认两个模型使用相同的响应变量（原始未变换年收入 $R$ ），因此直接比较 $R^{2}$ 是有效的。
2
记住：对于响应变量相同的竞争模型， $R^{2}$ 越高说明解释的变异越多，整体拟合效果越好。
3
比较数值： $0.95 > 0.84$ ，因此指数模型比线性模型多解释了11%的年收入变异。
4
得出结论：指数模型是该收入数据的更好拟合模型。

Exam tip:

比较 $R^{2}$ 之前一定要检查两个模型的响应变量是否相同；变换后模型的 $R^{2}$ 仅能与其他相同变换响应变量的模型比较。

4. 非线性模型线性化的对数变换★★★★☆⏱ 4 min

比较两个非线性模型（指数模型 vs 幂模型）时，我们使用对数变换将两个模型都线性化，然后比较线性化版本的拟合效果，选出最优的原始模型。该方法仅在所有 $x$ 和 $y$ 都为正时有效，因为对数仅对正输入有定义。

指数模型的形式为 $y = a b^{x}$ 。对两边取自然对数得到线性形式：

y = ab^x \implies \ln(y) = \ln(a) + x\ln(b)

幂模型的形式为 $y = a x^{b}$ 。对两边取自然对数得到其线性形式：

y = ax^b \implies \ln(y) = \ln(a) + b\ln(x)

要比较哪个非线性模型拟合效果更好，我们查看线性化回归的 $R^{2}$ ：线性化形式 $R^{2}$ 更高（且回归后残差随机）的模型就是更优的原始非线性模型。

📐 例题

我们有9个数据点 $(x, y)$ ，其中 $x > 0$ 、 $y > 0$ ，需要在指数模型 $y = a b^{x}$ 和幂模型 $y = a x^{b}$ 之间选择。经过正确变换和回归后，指数模型的 $R^{2} = 0.88$ ，幂模型的 $R^{2} = 0.97$ 。两个线性化模型的残差都是随机分布的。哪个原始模型更优？给出证明。

1
确认所有 $x$ 和 $y$ 都为正，因此两个模型都可以使用对数变换。
2
确认每个模型都被正确线性化：指数模型以 $ln (y)$ 对 $x$ 回归，幂模型以 $ln (y)$ 对 $ln (x)$ 回归。
3
比较正确线性化后模型的 $R^{2}$ ： $0.97 > 0.88$ ，因此幂模型线性化后的拟合效果更好。
4
线性化变换的拟合效果更好对应原始非线性模型的拟合效果更好，因此优先选择原始幂模型。

Exam tip:

永远记住：指数模型对 $x$ 线性化，而幂模型对 $ln (x)$ 线性化；混淆预测变量会得到错误的 $R^{2}$ 和错误结论。

5. AP风格概念检测★★★☆☆⏱ 2 min

✓ 快速检测

通过这道选择题测试你的理解：

一位研究人员比较随时间生长的番茄植株高度的三个模型，所有模型都拟合原始高度数据（单位：cm）。结果如下：
- 线性模型： $R^{2} = 0.82$ ，残差形成明显的向上弯曲趋势
- 指数模型： $R^{2} = 0.91$ ，残差在0附近随机分布
- 二次模型： $R^{2} = 0.92$ ，残差在0附近随机分布根据以上信息，哪个模型最适用？
- 线性模型，因为它的 $R^{2}$ 最低
- 二次模型，因为它的 $R^{2}$ 最高且残差随机
- 指数模型，因为它的 $R^{2}$ 比线性模型高
- 二次模型，因为生长总是曲线型的
显示答案
1 —
正确。线性模型因明显的弯曲残差模式被排除。剩余两个模型都拟合相同的响应变量且残差随机，因此我们选择 $R^{2}$ 更高的那个，即二次模型。

6. 常见陷阱

错误做法:

直接将拟合原始 $y$ 的线性模型的 $R^{2}$ ，与拟合 $ln (y)$ 的线性化指数模型的 $R^{2}$ 比较

原因:

$R^{2}$ 衡量响应变量的变异，因此仅当所有模型的响应变量相同时才能比较

正确做法:

如果你需要在原始尺度上比较，在原始尺度上用预测 $\overset{y}{^}$ （而非 $ln (\overset{y}{^})$ ）计算指数模型的 $R^{2}$ ，再进行比较

错误做法:

仅因为一个残差比其他残差大很多就判定模型不好

原因:

单个离群点不等于所有数据点都存在系统模式

正确做法:

根据所有残差的整体模式判断模型拟合效果，而非仅看一个极端离群点

错误做法:

对幂模型线性化时，用 $ln (y)$ 对 $x$ 回归，而非对 $ln (x)$ 回归

原因:

学生经常混淆指数模型和幂模型的线性化公式

正确做法:

记住：指数模型用预测变量 $x$ ，幂模型用预测变量 $ln (x)$ ，对应原始模型的形式

错误做法:

即使模型存在明显的系统残差模式，仅因为它的 $R^{2}$ 更高就判定它更优

原因:

学生过度依赖 $R^{2}$ ，忽略了拟合效果差的关键图形证据

正确做法:

总是先检查残差模式； $R^{2}$ 略低但残差随机的模型，优于 $R^{2}$ 更高但存在明显系统模式的模型

错误做法:

线性化时尝试对零或负的 $y$ -值取对数

原因:

学生在应用变换前没有检查数据的定义域

正确做法:

使用对数变换前确认所有 $x$ 和 $y$ 都为正；如果存在非正值，则改用原始数据的残差分析进行比较

7. 速查表

类别	公式 / 规则	注释
残差计算	$e_{i} = y_{i} - \overset{y}{^}_{i}$	$y_{i}$ = 观测 $y$ , $\overset{y}{^}_{i}$ = 模型预测的 $y$
良好残差模式	无系统模式，在 $e = 0$ 附近随机分布	说明模型拟合良好
不良残差模式	曲线、线性趋势或漏斗形	说明模型拟合效果差
$R^{2}$ 比较规则	$R^{2}$ 越高 = 拟合效果越好	仅在两个模型响应变量相同时有效
指数模型线性化	$ln (y) = ln (a) + (ln b) x$	响应变量 = $ln (y)$ ，预测变量 = $x$ ，仅对 $y > 0$ 有效
幂模型线性化	$ln (y) = ln (a) + b ln (x)$	响应变量 = $ln (y)$ ，预测变量 = $ln (x)$ ，仅对 $x > 0, y > 0$ 有效
模型选择优先级	先检查残差模式 2. 多个模型残差良好再比较 $R^{2}$	残差模式优先级永远高于 $R^{2}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · MCQ
比较两个模型的残差图
2023 · FRQ
对指数/幂模型进行线性化并比较

深入阅读

unit overviewAP 预备微积分第二单元概述完整单元内容大纲

下一步

竞争函数模型验证是第二单元《指数与对数函数》的核心建模顶点技能，它为你应对AP预备微积分考试中所有后续以建模为核心的内容做好准备。你在这里学到的残差分析、拟合优度比较和模型论证的核心技能，适用于你在课程剩余部分和期末考试中遇到的所有类型模型。掌握本知识点后，你将进入第三单元，学习多项式和有理函数，你会应用同样的核心模型验证技能，比较不同次数的多项式模型对双变量数据的拟合效果。如果不在这里掌握这些基础技能，非线性多项式模型选择的论证会困难得多，因为相同的原理直接适用。